D12數(shù)列的極限99005

1、 第一章 二二 、收斂數(shù)列的性質(zhì)、收斂數(shù)列的性質(zhì) 三三 、極限存在準(zhǔn)則、極限存在準(zhǔn)則 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 第二節(jié)第二節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)學(xué)語言描述:r一一 、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義引例引例. 設(shè)有半徑為 r 的圓 ,na逼近圓面積 s .n如圖所示 , 可知nannnrcossin2),5,4,3(n當(dāng) n 無限增大時, na無限逼近 s (劉徽割圓術(shù)) , ,0,n正整數(shù)當(dāng) n n 時,san用其內(nèi)接正 n 邊形的面積總有劉徽 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義: 自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作)(nfxn或.nxnx

2、稱為通項(一般項) .若數(shù)列nx及常數(shù) a 有下列關(guān)系 :,0,n正數(shù)當(dāng) n n 時, 總有記作此時也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(nn 即),(axn)(nn axnnlim或)(naxn1nx2nxaxn則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 已知,) 1(nnxnn證

3、明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1n則當(dāng)nn 時, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11n則當(dāng)nn 時, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1n也可由2) 1(10nnx. 11n 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 n .說明說明: 取11

4、n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 設(shè),1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qnlnln1, 則當(dāng) n n 時, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為 0 . 1nq機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23baab22abnabax二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證證: 用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 n1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 n2 , 使當(dāng) n n2 時, 有

5、2banx1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng) n n1 時, 2ba2ab2ab假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng) n n 時, ,max21nnn 取故假設(shè)不真 !nx滿足的不等式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的. 證證: 用反證法.假設(shè)數(shù)列nx收斂 , 則有唯一極限 a 存在 .取,21則存在 n ,2121axan但因nx交替取值 1 與1 , ),(2121aa內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在21a21aa長度為 1 的開區(qū)間 使當(dāng) n n 時 ,

6、 有因此該數(shù)列發(fā)散 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.證證: 設(shè),limaxnn取,1,n則當(dāng)nn 時, 從而有nxaaxna1取 ,max21nxxxma1則有. ),2,1(nmxn由此證明收斂數(shù)列必有界.說明說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立 . 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有數(shù)列機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性.若,limaxnn且0a,nn則nn 當(dāng)時, 有0nx, )0(. )0(證證: 對 a 0 , 取,2a,nn則,時當(dāng)nn axn2anx02aaax2a2a推論推

7、論: 若數(shù)列從某項起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *,axkn4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .證證: 設(shè)數(shù)列knx是數(shù)列nx的任一子數(shù)列 .若,limaxnn則,0,n當(dāng) nn 時, 有axn現(xiàn)取正整數(shù) k , 使,nnk于是當(dāng)kk 時, 有knknn從而有由此證明 .limaxknk*nknnxknx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、極限存在準(zhǔn)則三、極限存在準(zhǔn)則由此性質(zhì)可知 , 若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kk

8、x1lim2kkx發(fā)散 !夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則; 柯西審斂準(zhǔn)則 .則原數(shù)列一定發(fā)散 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: azynnnnlimlim)2(1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則1) (p49),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,0,1n當(dāng)1nn 時,ayn當(dāng)2nn 時,azn令,max21nnn 則當(dāng)nn 時, 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準(zhǔn)則 .nnnnn2221211

9、nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)則2 ) ( p52 ) mxxxxnn121mxxxxnn121)(limmaxnn)(limmbxnnnx1nxm1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè), ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列nx極限存在 . (p52p54)證證: 利用二項式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31

10、!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比較可知機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 根據(jù)準(zhǔn)則 2 可知數(shù)列nx記此極限為 e ,ennn)1 (lim1 e 為無理數(shù)

11、, 其值為590457182818284. 2e即有極限 .原題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n*3. 柯西極限存在準(zhǔn)則柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理) (p55)數(shù)列nx極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù) n , 使當(dāng)nnnm,時,mnxx證證: “必要性”.設(shè),limaxnn則,0nnnm,時, 有 使當(dāng),2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 證明從略 .,n有柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ n ” 定義及應(yīng)用2. 收斂數(shù)

12、列的性質(zhì):唯一性 ; 有界性 ; 保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3. 極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則 ; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ; 柯西準(zhǔn)則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時, 下述作法是否正確? 說明理由.設(shè),limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處nnxlim機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)p30 3 (2) , (3) , 4 , 6p56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222

13、nx12nx可用數(shù)學(xué)歸納法證 2nx第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故極限存在，備用題備用題 1.1.設(shè) )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設(shè)axnnlim則由遞推公式有)(21aaaaaa)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準(zhǔn)則,0nx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè), ),2, 1(0iai證證: 顯然,1nnxx證明下述數(shù)列有極限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nn

14、aaaaaaaaanx),2, 1(n即nx單調(diào)增, 又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在“拆項相消拆項相消” 法法劉徽劉徽(約約225 295年年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家. 他撰寫的重 差對九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評 注, 指出并糾正了其中的錯誤 , 在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué) 理論上作出了杰出的貢獻(xiàn) . 他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率 “ 割之彌細(xì)割之彌細(xì) , 所失彌小所失彌小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 ,