如果積分區(qū)域為

1、機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分x型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzddyxfd 應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xa),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyx

2、f 得得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy y型型)(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. y型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3d2d1d在分割后的三個區(qū)

3、域上分別在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 dddd則必須分割則必須分割.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy 1例例 1 1 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 例例 2 2 改改變變積積分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 3 3 改變積分改變積分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4

4、4 求求 ddxdyyx)(2，其中，其中d是由拋物線是由拋物線2xy 和和2yx 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域.解解兩兩曲曲線線的的交交點點2xy 2yx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 5 求求 dydxdyex22，其其中中 d 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(為為頂頂點點的的三三角角形形.例例 6 6 計計算算積積分分 yxydxedyi212141 yyxydxedy121.2xy xy 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 7 7 求由下列曲面所圍成的立體體積，求由下列曲面所圍成的立體體積，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解曲面

5、圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 aodiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( ddrdrdrrfdxdyyxf 一、利用極坐標(biāo)系計算二重積分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ado)(1 r)(2 r drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 區(qū)域特征如圖區(qū)

6、域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd drdrdrrf )sin,cos(aod)(2r)(1r機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 aod)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r drdrdrrf )sin,cos(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（

7、）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 rdoa)(r,2 0機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 1 寫寫出出積積分分 ddxdyyxf),(的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxd 10 x.例例 2 2 計算計算dxdyedyx 22，其中，其中 d 是由中心在是由中心在原點，半徑為原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.解解機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 3 求求廣廣義義積積分分 02dxex.例例 4 4 計算計算dxdyyxd)(22 ，其，其 d為由圓為由圓yyx222 ，yyx422 及直線及

8、直線yx3 0 ，03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 5 5 計算二重積分計算二重積分 ddxdyyxyx2222)sin(,其中積分區(qū)域為其中積分區(qū)域為41| ),(22 yxyxd.例例 6 6 求曲線求曲線 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、二重積分的換元法 .sin,cosryrx間的關(guān)系為間的關(guān)系為坐標(biāo)與極坐標(biāo)之坐標(biāo)與極坐標(biāo)之平面上同一個點，直角平面上同一個點，直角的一種變換，的一種變換，坐標(biāo)平面坐

9、標(biāo)平面到直角到直角標(biāo)平面標(biāo)平面上式可看成是從直角坐上式可看成是從直角坐xoyro 換是一對一的換是一對一的，且這種變，且這種變平面上的一點平面上的一點成成，通過上式變換，變，通過上式變換，變面上的一點面上的一點平平即對于即對于),(),(yxmxoyrmro .),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( dddudvvujvuyvuxfdxdyyxfddtvuyxvujddvuyvuxdxoyduovvuyyvuxxtdxoyyxf是一對一的，則有是一對一的，則有變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在且滿足且滿足，平面上的平面上的變?yōu)樽優(yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域平面上的閉區(qū)域?qū)⑦B續(xù)，變換連續(xù)，變換上上平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)定理定理機(jī)動 目錄 上頁 下頁