高中數(shù)學(xué)人教A版浙江專版必修4講義：第二章 2.3 2．3.1　平面向量基本定理 含答案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料23.1平面向量基本定理預(yù)習(xí)課本預(yù)習(xí)課本 p9394,思考并完成以下問題思考并完成以下問題(1)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？(2)如何定義平面向量基底？如何定義平面向量基底？(3)兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？兩向量夾角的定義是什么？如何定義向量的垂直？新知初探新知初探1平面向量基本定理平面向量基本定理條件條件e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量不共線向量結(jié)論結(jié)論這一平面內(nèi)的任意向量這一平面內(nèi)的任意向量 a,有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù)1,2,使使 a1e12e2基底基底不共線不共線的向量的向量

2、 e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底點睛點睛對平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點對平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點：e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量線向量；該平面內(nèi)任意向量該平面內(nèi)任意向量 a 都可以用都可以用 e1,e2線性表示線性表示,且這種表示是唯一的且這種表示是唯一的；基底不唯基底不唯一一,只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可作為基底只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可作為基底2向量的夾角向量的夾角條件條件兩個兩個非零非零向量向量 a 和和 b產(chǎn)生過程產(chǎn)生過程作向量作向量 oaa, obb,則則aob 叫

3、做向量叫做向量 a 與與 b 的夾角的夾角范圍范圍0180特殊情況特殊情況0a 與與 b 同向同向90a 與與 b 垂直垂直,記作記作 ab180a 與與 b 反向反向點睛點睛當(dāng)當(dāng) a 與與 b 共線同向時共線同向時,夾角夾角為為 0,共線反向時共線反向時,夾角夾角為為 180,所以兩個向量的所以兩個向量的夾角的范圍是夾角的范圍是 0180.小試身手小試身手1判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確(正確的打正確的打“”“”,錯誤的打錯誤的打“”“”)(1)任意兩個向量都可以作為基底任意兩個向量都可以作為基底()(2)一個平面內(nèi)有無數(shù)對不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底一個平面內(nèi)有

4、無數(shù)對不共線的向量都可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底()(3)零向量不可以作為基底中的向量零向量不可以作為基底中的向量()答案：答案：(1)(2)(3)2若向量若向量 a,b 的夾角為的夾角為 30,則向量則向量a,b 的夾角為的夾角為()a60b30c120d150答案：答案：b3設(shè)設(shè) e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,以下各組向量中不能作為基底的是以下各組向量中不能作為基底的是()ae1,e2be1e2,3e13e2ce1,5e2de1,e1e2答案：答案：b4在等腰在等腰 rtabc 中中,a90,則向量則向量ab,bc的夾角為的夾角為_答案：答案：13

5、5用基底表示向量用基底表示向量典例典例如圖如圖,在平行四邊形在平行四邊形 abcd 中中,設(shè)對角線設(shè)對角線aca,bdb,試用基底試用基底 a,b 表示表示ab,bc.解解法一：法一：由題意知由題意知,aooc12ac12a,bood12bd12b.所以所以abao obaobo12a12b,bcbooc12a12b,法二：法二：設(shè)設(shè)abx,bcy,則則adbcy,又又abbcac，adabbd，則則xya，yxb，所以所以 x12a12b,y12a12b,即即ab12a12b,bc12a12b.用基底表示向量的方法用基底表示向量的方法將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量將兩個不共線的向量作

6、為基底表示其他向量,基本方法有兩種：一種是運用向量的線性基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解利用基底表示向量的唯一性求解活學(xué)活用活學(xué)活用如圖如圖,已知梯形已知梯形 abcd 中中,adbc,e,f 分別是分別是 ad,bc 邊上的中點邊上的中點,且且 bc3ad, baa,bcb.試以試以 a,b 為基底表示為基底表示ef,df, cd.解：解：adbc,且且 ad13bc,ad13bc13b

7、.e 為為 ad 的中點的中點,aeed12ad16b.bf12bc,bf12b,ef eaabbf16ba12b13ba,dfdeef16b13ba16ba, cdcffd(dffc)(dfbf)16ba12ba23b.向量夾角的簡單求解向量夾角的簡單求解典例典例已知已知|a|b|2,且且 a 與與 b 的夾角為的夾角為 60,則則 ab 與與 a 的夾角是多少？的夾角是多少？ab 與與 a的夾角又是多少？的夾角又是多少？解解如圖所示如圖所示,作作 oaa, obb,且且aob60.以以 oa, ob為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形 oacb,則則ocab, baab.因為因為|a|b|

8、2,所以平行四邊形所以平行四邊形 oacb 是菱形是菱形,又又aob60,所以所以oc與與 oa的夾角為的夾角為 30, ba與與 oa的夾角為的夾角為 60.即即 ab 與與 a 的夾角是的夾角是 30,ab 與與 a 的夾角是的夾角是 60.求兩個向量夾角的方法求兩個向量夾角的方法求兩個向量的夾角求兩個向量的夾角,關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量的起點重合關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量的起點重合,根據(jù)向量夾角的概根據(jù)向量夾角的概念確定夾角念確定夾角,再依據(jù)平面圖形的知識求解向量的夾角過程簡記為再依據(jù)平面圖形的知識求解向量的夾角過程簡記為“一作二證三算一作二證三算”活學(xué)活用活學(xué)活用如圖如圖,已

9、知已知abc 是等邊三角形是等邊三角形(1)求向量求向量ab與向量與向量bc的夾角；的夾角；(2)若若 e 為為 bc 的中點的中點,求向量求向量ae與與ec的夾角的夾角解：解：(1)abc 為等邊三角形為等邊三角形,abc60.如圖如圖,延長延長 ab 至點至點 d,使使 abbd,則則abbd,dbc 為向量為向量ab與與bc的夾角的夾角dbc120,向量向量ab與與bc的夾角為的夾角為 120.(2)e 為為 bc 的中點的中點,aebc,ae與與ec的夾角為的夾角為 90.平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量基本定理的應(yīng)用典例典例如圖如圖,在在abc 中中,點點 m 是是 bc 的中點的中點

10、,點點 n 在在 ac 上上,且且 an2nc,am 與與 bn 相相交于點交于點 p,求求 appm 與與 bppn.解解設(shè)設(shè) bme1,cne2,則則 amac cm3e2e1,bnbccn2e1e2.a,p,m 和和 b,p,n 分別共線分別共線,存在實數(shù)存在實數(shù),使得使得ap ame13e2, bpbn2e1e2.故故 ba bp pa bpap(2)e1(3)e2.而而 babc ca2e13e2,由平面向量基本定理由平面向量基本定理,得得22，33，解得解得45，35.ap45 am, bp35bn,appm41,bppn32.一題多變一題多變1變設(shè)問變設(shè)問在本例條件下在本例條件下

11、,若若 cma,cnb,試用試用 a,b 表示表示 cp,解：解：由本例解析知由本例解析知 bppn32,則則np25nb, cpcnnpcn25nbb25( cbcn)b45a25b35b45a.2變條件變條件若本例中的點若本例中的點 n 為為 ac 的中點的中點,其它條件不變其它條件不變,求求 appm 與與 bppn.解：解：如圖如圖,設(shè)設(shè) bme1,cne2,則則 amac cm2e2e1,bnbccn2e1e2.a,p,m 和和 b,p,n 分別共線分別共線,存在實數(shù)存在實數(shù),使得使得ap ame12e2, bpbn2e1e2.故故 ba bp pa bpap(2)e1(2)e2.而

12、而 babc ca2e12e2,由平面向量基本定理由平面向量基本定理,得得22，22，解得解得23，23.ap23 am, bp23bn,appm2,bppn2.若直接利用基底表示向量比較困難若直接利用基底表示向量比較困難, ,可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式關(guān)系式, ,然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論, ,從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量( 一般需建立兩一般需建立兩個不同的向量表達式個不同的向量表達式),再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù),建立方程或方程組建立方程或方程組,

13、解方程或方程組即解方程或方程組即得得層級一層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1已知已知abcd 中中dab30,則則ad與與 cd的夾角為的夾角為()a30b60c120d150解析：解析：選選 d如圖如圖,ad與與 cd的夾角為的夾角為abc150.2設(shè)點設(shè)點 o 是是abcd 兩對角線的交點兩對角線的交點,下列的向量組中可作為這個平行四邊形所在平下列的向量組中可作為這個平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是面上表示其他所有向量的基底的是()ad與與ab；da與與bc； ca與與dc；od與與 ob.abcd解析解析：選選 b尋找不共線的向量組即可尋找不共線的向量組即可,在在abcd 中

14、中,ad與與ab不共線不共線, ca與與dc不不共線；而共線；而dabc,od ob,故故可作為基底可作為基底3若若 ad 是是abc 的中線的中線,已知已知aba,acb,則以則以 a,b 為基底表示為基底表示ad()a12(ab)b12(ab)c12(ba)d12ba解析：解析：選選 b如圖如圖,ad 是是abc 的中線的中線,則則 d 為線段為線段 bc 的中點的中點,從而從而bddc,即即adabacad,從而從而ad12(abac)12(ab)4在矩形在矩形 abcd 中中,o 是對角線的交點是對角線的交點,若若bce1,dce2,則則oc()a12(e1e2)b12(e1e2)c1

15、2(2e2e1)d12(e2e1)解析解析：選選 a因為因為 o 是矩形是矩形 abcd 對角線的交點對角線的交點,bce1,dce2,所以所以oc12(bcdc)12(e1e2),故選故選 a.5(全國全國卷卷)設(shè)設(shè) d 為為abc 所在平面內(nèi)一點所在平面內(nèi)一點,bc3 cd,則則()aad13ab43acbad13ab43accad43ab13acdad43ab13ac解析：解析：選選 a由題意得由題意得adac cdac13bcac13ac13ab13ab43ac.6已知向量已知向量 a,b 是一組基底是一組基底,實數(shù)實數(shù) x,y 滿足滿足(3x4y)a(2x3y)b6a3b,則則 xy

16、 的值的值為為_解析：解析：a,b 是一組基底是一組基底,a 與與 b 不共線不共線,(3x4y)a(2x3y)b6a3b,3x4y6，2x3y3，解得解得x6，y3，xy3.答案答案：37已知已知 e1,e2是兩個不共線向量是兩個不共線向量,ak2e115k2 e2與與 b2e13e2共線共線,則實數(shù)則實數(shù) k_.解析：解析：由題設(shè)由題設(shè),知知k2215k23,3k25k20,解得解得 k2 或或13.答案：答案：2 或或138如下圖如下圖,在正方形在正方形 abcd 中中,設(shè)設(shè)aba,adb,bdc,則在以則在以 a,b 為基底時為基底時,ac可可表示為表示為_,在以在以 a,c 為基底時

17、為基底時,ac可表示為可表示為_解析解析： 以以 a,c 為基底時為基底時,將將bd平移平移,使使 b 與與 a 重合重合,再由三角形法則或平行四邊形法則即再由三角形法則或平行四邊形法則即得得答案：答案：ab2ac9.如圖所示如圖所示,設(shè)設(shè) m,n,p 是是abc 三邊上的點三邊上的點,且且 bm13bc,cn13 ca,ap13ab,若若aba,acb,試用試用 a,b 將將mn,np, pm表示出來表示出來解：解：npap an13ab23ac13a23b,mncn cm13ac23 cb13b23(ab)23a13b, pm mp(mnnp)13(ab)10證明：三角形的三條中線共點證明

18、：三角形的三條中線共點證明證明：如圖所示如圖所示,設(shè)設(shè) ad,be,cf 分別為分別為abc 的三條中線的三條中線,令令aba,acb.則有則有bcba.設(shè)設(shè) g 在在 ad 上上,且且agad23,則有則有adabbda12(ba)12(ab)beaeab12ba.bgagab23adab13(ab)a13b23a2312ba23be.g 在在 be 上上,同理可證同理可證cg23cf,即即 g 在在 cf 上上故故 ad,be,cf 三線交于同一點三線交于同一點層級二層級二應(yīng)試能力達標(biāo)應(yīng)試能力達標(biāo)1在在abc 中中,點點 d 在在 bc 邊上邊上,且且bd2dc,設(shè)設(shè)aba,acb,則則a

19、d可用基可用基底底a,b 表示為表示為()a12(ab)b23a13bc13a23bd13(ab)解析：解析：選選 cbd2dc,bd23bc.adabbdab23bcab23(acab)13ab23ac13a23b.2ad 與與 be 分別為分別為abc 的邊的邊 bc,ac 上的中線上的中線,且且ada,beb,則則bc()a43a23bb23a43bc23a23bd23a23b解析解析：選選 b設(shè)設(shè) ad 與與 be 交點為交點為 f,則則fd13a,bf23b.所以所以bdbffd23b13a,所以所以bc2bd23a43b.3如果如果 e1,e2是平面是平面內(nèi)所有向量的一組基底內(nèi)所有

20、向量的一組基底,那么那么,下列命題中正確的是下列命題中正確的是()a若存在實數(shù)若存在實數(shù)1,2,使得使得1e12e10,則則120b平面平面內(nèi)任一向量內(nèi)任一向量 a 都可以表示為都可以表示為 a1e12e2,其中其中1,2rc1e12e2不一定在平面不一定在平面內(nèi)內(nèi),1,2rd對于平面對于平面內(nèi)任一向量內(nèi)任一向量 a,使使 a1e12e2的實數(shù)的實數(shù)1,2有無數(shù)對有無數(shù)對解析：解析：選選 ba 中中,(12)e10,120,即即12；b 符合平面向量基本定理；符合平面向量基本定理；c中中,1e12e2一定在平面一定在平面內(nèi)；內(nèi)；d 中中,1,2有且只有一對有且只有一對4 已知非零向量已知非零向

21、量 oa, ob不共線不共線,且且 2 opx oay ob,若若 paab(r),則則 x,y滿足的關(guān)系是滿足的關(guān)系是()axy20b2xy10cx2y20d2xy20解析：解析：選選 a由由 paab,得得 oa op( ob oa),即即 op(1) oa ob.又又 2 opx oay ob,x22，y2，消去消去得得 xy2.5設(shè)設(shè) e1,e2是平面內(nèi)的一組基底是平面內(nèi)的一組基底,且且 ae12e2,be1e2,則則 e1e2_a_b.解析：解析：由由ae12e2，be1e2，解得解得e113a23b，e213a13b.故故 e1e213a23b13a13b23a13 b.答案：答案：23136 已知非零向量已知非零向量 a,b,c 滿足滿足 abc0,向量向量 a,b 的夾角為的夾角為 120,且且|b|2|a|,則向量則向量 a 與與c 的夾角為的夾角為_解析：解析：由題意可畫出圖形由題意可畫出圖形,在在oab 中中,因為因為oab60,|b|2|a|,所以所以abo30,oaob,即向量即向量 a 與與 c 的夾角為的夾角為 90.答案：答案：907設(shè)設(shè) e1,e2是不共線的非零向量是不共線的非零向