向量定義分類線性組合線性表示及秩的判斷定理和推

1、線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1教學(xué)目的掌握向量的概念，掌握向量組線性表示向量掌握向量的概念，掌握向量組線性表示向量（組）的判定方法，會用初等變換求解向量（組）的判定方法，會用初等變換求解向量的線性表達式。掌握線性相關(guān)性的概念和基的線性表達式。掌握線性相關(guān)性的概念和基本判定方法。本判定方法。作業(yè)重點向量組的線性表示、相關(guān)性及判定方法向量組的線性表示、相關(guān)性及判定方法練習(xí)冊練習(xí)冊難點向量組線性表示方法向量組線性表示方法講授方法講授講授講授內(nèi)容講授內(nèi)容主線主線向量定義向量定義- -分類分類線性組合線性組合線性表示及秩的線性表示及秩的判斷定理和推論判斷定理和推論

2、練習(xí)練習(xí)向量組線性表示及向量組線性表示及等價和秩的判斷方法等價和秩的判斷方法向量組線性相關(guān)定義向量組線性相關(guān)定義判定方法判定方法時間安排向量向量組的線性表示通過解析成矩陣方程向量向量組的線性表示通過解析成矩陣方程組組, ,可用秩的判定方法來判定和求解線性表示可用秩的判定方法來判定和求解線性表示系數(shù)。線性相關(guān)性則是通過等價定義的齊次系數(shù)。線性相關(guān)性則是通過等價定義的齊次方程組來判定方程組來判定. .班級： 星期 ： 節(jié) 年 月 日第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性2友情提示友情提示 本次課講

3、第四章第一二節(jié)：向量組的線性表本次課講第四章第一二節(jié)：向量組的線性表示與線性相關(guān)性；示與線性相關(guān)性； 下一次課講第四章第二節(jié)（續(xù)）與第三節(jié)：下一次課講第四章第二節(jié)（續(xù)）與第三節(jié)：相關(guān)性與向量組的秩；相關(guān)性與向量組的秩； 下次上課時下次上課時交作業(yè)交作業(yè)p25p25p26p26線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性3 的的變變量量個個數(shù)數(shù)為為注注意意：有有無無窮窮多多解解。有有唯唯一一解解；有有解解無無解解；有有非非零零解解。有有唯唯一一零零解解；xnrbarbararbararbarxanarna narnar0x),(),(,arnmnmb bbaxbbbxxx

4、abaxmm 即：即：數(shù)方程組數(shù)方程組的結(jié)論推廣到多個同系的結(jié)論推廣到多個同系將將復(fù)習(xí)方程組秩的解法：復(fù)習(xí)方程組秩的解法：),(),(2121第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性4一、向量組及其相關(guān)概念一、向量組及其相關(guān)概念1.向量向量:(1)向量的定義向量的定義個個分分量量是是第第因因此此個個數(shù)數(shù)稱稱為為向向量量的的分分量量維維向向量量所所組組成成的的數(shù)數(shù)組組稱稱為為個個有有次次序序的的數(shù)數(shù)iannaaanin,;,21 (2)向量與矩陣向量與矩陣 n 維向量可寫成一行維向量可寫成一行行向

5、量行向量；也稱行矩陣；也可寫；也稱行矩陣；也可寫成一列成一列列向量，也稱列矩陣列向量，也稱列矩陣總總被被看看成成是是不不同同的的向向量量維維列列向向量量與與維維行行向向量量并并且且 nnaaanaaan2,121),(因此規(guī)定：因此規(guī)定：行向量和列向量都按矩陣的規(guī)則進行運算行向量和列向量都按矩陣的規(guī)則進行運算（3）向量的記法：）向量的記法： 1）列向量用用字母）列向量用用字母 表示；表示； 、ba行向量用行向量用、ttba表示表示.tt 、第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性52.向量組的概

6、念向量組的概念（1）向量組的定義）向量組的定義：若干個若干個同維數(shù)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合：的行向量）所組成的集合：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211a如矩陣：如矩陣：有有 n 個個 m 維列向量維列向量,21 mjjjaaa nj,2, 1 ja（2）所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時，）所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量都當(dāng)作列向量 t120112013如如：量量的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置的的形形式式，也也將將列列向向量量寫寫成成行行向向）經(jīng)經(jīng)常常地地，為為書書寫寫方方便便（ 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第

7、八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性6（2）矩陣與向量組：）矩陣與向量組：由由 m 個個 n 維行向量所組成的向量組維行向量所組成的向量組 構(gòu)成一個構(gòu)成一個 mn矩陣矩陣tmtt ,21.21tmttb 因此，矩陣與它所對應(yīng)的行（列）向量組有一一對應(yīng)的關(guān)因此，矩陣與它所對應(yīng)的行（列）向量組有一一對應(yīng)的關(guān)系，向量組稱矩陣的向量組，矩陣稱向量組的矩陣系，向量組稱矩陣的向量組，矩陣稱向量組的矩陣的的行行向向量量組組稱稱為為矩矩陣陣的的行行向向量量組組同同理理，組組成成矩矩陣陣aatmtt ,21naaa,21矩陣矩陣a組成的向量組組成

8、的向量組稱為稱為矩陣矩陣 a 的列向量組的列向量組；反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣. 由由 m 個個 n 維列向量所組成的向量組維列向量所組成的向量組 構(gòu)成構(gòu)成一個一個nm矩陣矩陣maaa,21;,21maaaa第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性73.線性組合的概念線性組合的概念：定義定義2 2給定向量組給定向量組 a ： ，maaa,21對于任何一組實數(shù)對于任何一組實數(shù),21mkkk向量向量mmakakak 2211 稱為

9、向量組稱為向量組 a 的一個的一個線性組合線性組合，mkkk,21稱為這個稱為這個線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù).4.線性表示的概念：線性表示的概念：給定向量組給定向量組 a ： 和向量和向量 ，maaa,21b如果存在一組數(shù)如果存在一組數(shù),21m使使,2211mmaaab則向量則向量 是向量組是向量組 a 的線性組合，的線性組合，b這時稱這時稱向量向量 能由向量組能由向量組 a 線性表示線性表示。b線性表示的關(guān)鍵是線性表示系數(shù)的存在與求解線性表示的關(guān)鍵是線性表示系數(shù)的存在與求解第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相

10、關(guān)性向量組的線性相關(guān)性8,01020011021即向量 能由向量組 線性表示.021010001,例如：例如：5.向量組由向量組線性表示概念向量組由向量組線性表示概念定義定義3 3設(shè)有兩個向量組設(shè)有兩個向量組 a： 及及 b： ，maaa,2112,lb bb則稱則稱向量組向量組 b 能由向能由向量組量組 a 線性表示線性表示。6.向量組的等價：向量組的等價：向量組向量組 a 與向量組與向量組 b 能相互線性表示，能相互線性表示，則稱這兩個則稱這兩個向量組等價。向量組等價。 這是第二次遇到等價概念：一個是矩陣間互相初等這是第二次遇到等價概念：一個是矩陣間互相初等變換的等價；這里是向量組間間互相

11、線性表示的等價變換的等價；這里是向量組間間互相線性表示的等價若若 b 組中的每個向量都能由向量組組中的每個向量都能由向量組 a 線性表示，線性表示，b第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性97.向量組的線性相關(guān)概念向量組的線性相關(guān)概念(1)(1)定義定義給定向量組給定向量組 a ： ，maaa,21如果如果存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù),21mkkk使使021maaa mkkk 21則稱向量組則稱向量組 a 是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，否則稱它的，否則稱它線性無關(guān)線性無關(guān)“否則否則”只有當(dāng)只有當(dāng)

12、0 21mkkk時，時，式才成立。式才成立?；蛉粝蛄拷M或若向量組 a ： ，maaa,21線性無關(guān)，線性無關(guān)，且且式成立，式成立，則必有則必有. 0 21 mkkk第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性相關(guān)。線性相關(guān)。，證明向量組證明向量組：設(shè)：設(shè)例例43212112112112113,)1(p31t 0144332214321 ）（）（）（）（證明：由定義，證明：由定義， 線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性10二、用方程組判斷和求解向量組的線性表示的系數(shù)二、用方程組判斷和求解向量組的線性表示的系數(shù) ),(,);()(21

13、21baaaraaarbrarmm 或或即：即： 的的秩秩的的秩秩等等于于是是件件線線性性表表示示的的充充分分必必要要條條能能由由向向量量組組向向量量定定理理：baaabaaaaaaaabmmm,),(,:. 1212121 向量向量 能由向量組能由向量組 a 線性表示，線性表示，b也就是方程組有解也就是方程組有解baaam 21mxxx 21證：證： maaa,21 mxxx21b 將方程組變形為：將方程組變形為：第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性相關(guān)。線性相關(guān)。使得使得存在存在43214321,0, 1, 1 , 1, 1 線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章

14、第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性11為線性表示系數(shù)為線性表示系數(shù)其中解其中解的解的問題，的解的問題，為方程組：為方程組：即線性表示問題恒變形即線性表示問題恒變形tmxxxxbax),(21 ),()(,:21bararbaxaaaabm 有有解解線線性性表表示示能能由由向向量量組組向向量量 式式無無窮窮多多。一一，有有無無窮窮解解，則則表表示示有有唯唯一一解解，則則表表示示式式唯唯來來求求線線性性表表示示系系數(shù)數(shù)。）可可以以用用方方程程組組（來來線線性性表表示示。能能否否由由來來判判斷斷）可可以以用用秩秩（定定理理告告訴訴我我們們，baxaaabbaaaraaarmmm 2,),(

15、,1212121第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性12（1 1）秩的等式定理）秩的等式定理2:2:的秩等于矩陣的秩等于矩陣向量組向量組 : : 能由向量組能由向量組 : : 線性線性表示的表示的充分必要條件充分必要條件是矩陣是矩陣bmaaaa,21,1212ml(a,b)= a ,a ,a ,b ,bb12ma ,a ,a12lb ,b ,ba的秩的秩.()()r a = r a,b即即:2.用方程組判定與求解向量組間的線性表示系數(shù)用方程組判定與求解向量組間的線性表示系數(shù).設(shè)向量組設(shè)向量組

16、 a 與向量組與向量組 b 所構(gòu)成的矩陣依次記作所構(gòu)成的矩陣依次記作 sbbbb,21 和和 maaaa,21 b 組能由組能由 a 組線性表示，組線性表示，即對每個向量即對每個向量jb , 2 , 1sj :,21使使得得存存在在mjjjxxx,),(21212211 mjjjmmmjjjjxxxaaaaxaxaxb , 2 , 1sj 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性13baxbbbbxxxxbbbaxaxaxbaxbaxbaxasssssss :),(),(),(),( :,212

17、121212211矩陣方程組矩陣方程組則上式成則上式成令令即即寫成矩陣形式寫成矩陣形式的方程組的方程組個同系數(shù)個同系數(shù)這是這是.),(:.21個個向向量量線線性性表表示示的的系系數(shù)數(shù)組組個個向向量量用用組組為為的的列列向向量量分分別別其其中中的的解解的的判判定定與與求求解解問問題題陣陣方方程程組組線線性性表表示示問問題題變變成成了了矩矩由由向向量量組組向向量量組組masbxxxxbaxabs 有解有解無解無解是否有解是否有解線性表示線性表示由向量組由向量組向量組向量組),()(),()(bararbararbaxab系系數(shù)數(shù)解解的的列列向向量量即即線線性性表表示示用用初初等等行行變變換換解解出

18、出有有解解時時),(,21sxxxx 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性14特別提示：特別提示：定理所涉及的向量組均是列向量組，方程組的定理所涉及的向量組均是列向量組，方程組的解也是列向量表示，解也是列向量表示，“行變換、列向量行變換、列向量”一定要記牢一定要記牢(2)兩個推論。由以上定理，不難推出以下結(jié)論兩個推論。由以上定理，不難推出以下結(jié)論)()(),(),(),()(2brarbrbarbarar 故故由秩的不等式知由秩的不等式知，知：知：分析：由定理分析：由定理),()(),()(

19、:,:,:21212121smmsbbbrbraaararaaaabbbb 則則線性表示線性表示能由向量組能由向量組若向量若向量不等式推論不等式推論),()()(,:,:2121barbrarbbbbaaaalm ：等等價價的的充充分分必必要要條條件件是是與與組組向向量量組組等等價價結(jié)結(jié)論論：向向量量分析：由定理分析：由定理2和向量組等價定義易推出結(jié)論成立和向量組等價定義易推出結(jié)論成立第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性15（4）線性表示秩的解法的概括：）線性表示秩的解法的概括：)()()(

20、),()()(),()(brararbarbrxabxabbrbararxbaxbaba 為為表表示示系系數(shù)數(shù)解解有有解解線線性性表表示示為為表表示示系系數(shù)數(shù)解解有有解解線線性性表表示示等等價價、例例2：設(shè)向量組 111,22a 212,13a 311,40a10,31b 證明: 能 由向量組 線性表示,并求出表達式.123,aaab第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性16證：證：10320121000000001111121021432301br(a)=r(b)=2,因 能 由向量組 線性

21、表示.123,a aab所以 cccxxxcxxxxx1223,122332133231得得通通解解為為：令令解解方方程程組組：(其中其中c可取任意值可取任意值)123( 32)(21).bcacaca 112323(,)xba a axx第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性17)(),(,)(),(,),min(),(),(),()(0212121arnbarnarbarnsnnrbarnraraasnn 且：且：，又又滿秩，即：滿秩，即：，證明：證明： 線性表示線性表示能由能由，證明：證

22、明：若若，：組成，向量組組成，向量組個向量個向量由由維向量組維向量組：設(shè)：設(shè)例例nssnabnan , 0.,221212121 線線性性表表示示能能由由，要要條條件件，由由向向量量組組線線性性表表示示的的充充ns ,2121第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性18第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性例例3（05，2，9分）分） 線性表示線性表示，不能由向量組不能由向量組，線性表示，但向量組線性表示，但向量組可由向量組可由向量組使向量組使向量組確定常數(shù)確定

23、常數(shù)3213213213212,42,11:11,11,11:, ttttttaaaabaaaaa 作初等行變換作初等行變換故首先對增廣矩陣故首先對增廣矩陣即即無解無解即即線性表示線性表示不能由不能由向量組向量組同理同理即即有解有解即即線性表示線性表示能由能由向量組向量組分析分析),(),()(,:).,()(,:,:abbararbaxababrbrabxba 211034201102201122111411111221aaaaaaaaaaaaaaaa線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性192) 1(33040011022011221aaaaaaaa線性表示。

24、線性表示。，可由可由，即，即，方程組有解，方程組有解，時，時，可見，可見，321321),()(2, 4 abrbraa 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性 aaaaaaaaaaaaaaaa342011022011022111411111221112),(),()(babararbaxab考察增廣矩陣考察增廣矩陣無解，即無解，即線性表示，即線性表示，即不能由不能由同理，由已知，同理，由已知， 線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性20線性表示線性表示，不能由不能由，時，時，或或可見：可見：32132121 aa 24620)1

25、)(20022011022111aaaaaaaaa（繼續(xù)往行階梯化下去：繼續(xù)往行階梯化下去：第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性21三、用方程組判定線性相關(guān)無關(guān)性三、用方程組判定線性相關(guān)無關(guān)性只有零解。只有零解。則則有非零解，無關(guān)，有非零解，無關(guān)，向量組相關(guān)向量組相關(guān)將等式看作一個方程，將等式看作一個方程，鍵式：鍵式：復(fù)述相關(guān)無關(guān)定義：關(guān)復(fù)述相關(guān)無關(guān)定義：關(guān)mmmmkkkkkkkkk,0. 121212211 三三點點共共面面滿滿足足三三個個向向量量相相關(guān)關(guān)兩兩點點共共線線。同同理理：空空間

26、間中中兩兩點點成成比比例例向向量量相相關(guān)關(guān)，兩兩個個維維向向量量對對應(yīng)應(yīng)空空間間中中的的點點注注：設(shè)設(shè)相相關(guān)關(guān)的的幾幾何何意意義義值值得得關(guān)關(guān) , 0, 03. 2321332211kkkkkk 為線性系數(shù)為線性系數(shù)其中其中的解，的解，tmmmxxxxaxkkk),(00. 3212211 。是是否否有有唯唯一一零零解解的的問問題題成成了了方方程程組組的的相相關(guān)關(guān)無無關(guān)關(guān)問問題題就就演演變變。因因此此向向量量組組于于方方程程列列向向量量），則則等等式式恒恒等等題題。在在這這一一等等式式中中，令令系系數(shù)數(shù)是是否否只只有有零零解解的的問問的的向向量量關(guān)關(guān)鍵鍵是是等等式式線線性性相相關(guān)關(guān)與與無無關(guān)關(guān)

27、問問題題的的00(),(),(021212211 axaxxxxxakkktmmmm 第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性22（1）按照定義判定。）按照定義判定。思路：用定義，無關(guān)即向量的齊次線性方程組只有非零解，思路：用定義，無關(guān)即向量的齊次線性方程組只有非零解，即系數(shù)行列式不等于零即系數(shù)行列式不等于零證證:設(shè)有 使321,xxx0321bbb 321 xxx即0133221aaaaaa 321 xxx322131 xxxxxx0321aaa 因 線性無關(guān)，故321,aaa321,aaa的

28、系數(shù)只有零解的系數(shù)只有零解4.線性相關(guān)性的判定：線性相關(guān)性的判定：例例4 已知向量組 線性無關(guān)，,322211aabaab試證向量組 線性無關(guān).321,bbb,133aab321,aaa第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性23 000322131xxxxxx此方程組的系數(shù)行列式為110011101. 02 方程組只有零解, 0321 xxx所以向量組 線性無關(guān).321,bbb定理定理4 4（2）按照向量組的秩判定：）按照向量組的秩判定：向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)的充

29、分必要條件是它所構(gòu)maaa,21成的矩陣成的矩陣 的秩的秩r(a) m；maaaa,21向量組向量組線性無關(guān)線性無關(guān)的充分的充分必要條件是必要條件是 r(a) =m .maaa,21：是是否否有有唯唯一一零零解解的的問問題題因因此此相相關(guān)關(guān)無無關(guān)關(guān)的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是為為等等式式可可恒恒等等變變形形中中系系數(shù)數(shù)是是否否為為零零。由由于于相相關(guān)關(guān)無無關(guān)關(guān)的的關(guān)關(guān)鍵鍵是是等等式式組組前前面面已已經(jīng)經(jīng)分分析析到到：向向量量0, 00,:221121 axaxaxaxaxaaaammm第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性

30、向量組的線性相關(guān)性24maraxaaamaraxaaaaxaxaxaxmmmm )(0,)(0,0:21212211有唯一零解有唯一零解線性無關(guān)線性無關(guān)有非零解有非零解線性相關(guān)線性相關(guān)組向量的線性表示系數(shù)組向量的線性表示系數(shù)解為解為例例5 已知已知,742 ,520 ,111321 aaa試討論向量組試討論向量組 及向量組及向量組 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性.321,aaa21,aa解解對矩陣對矩陣 施行施行初等行變換初等行變換，321,aaa751421201,321aaa12rr 13rr 201 2205502325rr 000220201 則則 r, 2,321aaa向量組向量組321,

31、aaa21,aar =2,線性無關(guān)線性無關(guān).向量組向量組21,aa線性相關(guān)線性相關(guān)；第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性25（3）按照整體與部分的關(guān)系判定）按照整體與部分的關(guān)系判定定理定理5 5 （1 1）若向量組）若向量組 a： 線性相關(guān)，線性相關(guān)，maaa,21則向量組則向量組 b：121,mmaaaa也相關(guān)也相關(guān)；反言之，反言之， 若向量組若向量組 b 線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān)，則向量組a 也線性無關(guān)也線性無關(guān).即即線線性性相相關(guān)關(guān)顯顯然然，, 1)(,)(1)()|()(1 mbr

32、mararaarbrm（4）用向量的維數(shù)判定）用向量的維數(shù)判定： m 個個 n 維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù) n 小于向量個數(shù)小于向量個數(shù)m 時一定線性相關(guān)時一定線性相關(guān).所以線性相關(guān)所以線性相關(guān)分析：顯然，分析：顯然，smarmnnmar,)(),min()( （5）線性表示與相關(guān)性的關(guān)系定理）線性表示與相關(guān)性的關(guān)系定理：一一線性表示，且表示式唯線性表示，且表示式唯能由向量組能由向量組則向量則向量線性相關(guān)，線性相關(guān)，線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組若向量組若向量組abbaaabaaaamm,:,:2121第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示

33、與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性26證明：證明：記,21maaaa,21baaabm由秩的定理，有r(a)r(b).因 a 組線性無關(guān)，有r(a) = m；因 b 組線性相關(guān)，有r(b) m+1.所以 mr(b) m+1, 即有r(b) = m.由 r(a) = r(b) = m,及線性方程組秩的解法定理，知方程組bxaaam,21有唯一解， 即b能由a組線性表示且表示唯一.第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性27證證:1)234,aaa因因線

34、性無關(guān)線性無關(guān), 由定理由定理23,aa線性無關(guān)線性無關(guān),又又123,a aa線性相關(guān)線性相關(guān), 由定理由定理23,aa1a能由能由 線性表示線性表示.所以所以2)設(shè)設(shè)4a能由能由 線性表示線性表示.123,a aa由由(1)4a能由能由 線性表示線性表示.23,aa234,aaa線性無關(guān)矛盾線性無關(guān)矛盾.與與證明證明:1)23,aa1a能由能由 線性表示線性表示.2)4a123,a aa不能由不能由 線性表示線性表示.分析：分析：1.部分無關(guān)、整體相關(guān)則增加部分可由無關(guān)組線性部分無關(guān)、整體相關(guān)則增加部分可由無關(guān)組線性表示，表示，2.否定命題多用反證，若能線性表示推出矛盾即可否定命題多用反證，

35、若能線性表示推出矛盾即可第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性例例4.設(shè)向量組設(shè)向量組 線性相關(guān)線性相關(guān),向量組向量組 線性無關(guān)線性無關(guān),123,a aa234,aaa線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性28第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性第八講：向量組的線性表示與線性相關(guān)性與假設(shè)相關(guān)矛盾與假設(shè)相關(guān)矛盾線性無關(guān)，線性無關(guān)，則，則，若若, 0,021211 mmm 不全為零，不全為零，其中其中線性表示線性表示可由向量組可由向量組，則，則若若mmmmmmmxxxxxxal,)(102122111112211121 矛盾，故結(jié)論成

36、立。矛盾，故結(jié)論成立。線性表示，與題設(shè)條件線性表示，與題設(shè)條件能由向量組能由向量組即即alxlxlxmmmmmmm212122111112)()()(1 0)(0,1,:. 52112211, 121212121212121 lllmaaammmmmmm使得使得，的的為為線性相關(guān)，則存在不全線性相關(guān)，則存在不全，證：假設(shè)證：假設(shè)必線性無關(guān)。必線性無關(guān)。，個向量個向量線性表示。證明：線性表示。證明：不能由向量組不能由向量組而向量而向量線性表示，線性表示，可由向量組可由向量組線性無關(guān)，向量線性無關(guān)，向量設(shè)向量組設(shè)向量組線性代數(shù)線性代數(shù) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性29 不等價。不等價。與與為何值時，向量組為何值時，向量組等價，當(dāng)?shù)葍r，當(dāng)與與組組為何值時，向量為何值時，向量試問，當(dāng)試問，當(dāng)向量組向量組分）設(shè)有向量組分）設(shè)有向量