三重積分概念北工大

1、1一、三重積分的概念一、三重積分的概念二、重積分的計算二、重積分的計算三、三重積分的換元三、三重積分的換元四、簡單應用四、簡單應用2一、三重積分的概念一、三重積分的概念設三元函數(shù)設三元函數(shù) 在有界閉體在有界閉體v v有定義，有定義，用分法用分法t t將將v v分成分成n n個小體個小體,21nvvv設它們的體積分別是設它們的體積分別是 , ,在小體在小體nvvv ,21kv上任取一點上任取一點),2 , 1)(,(nkpkkkk 作和作和,),(1knkkkkvf 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在體在體v v的積分和。的積分和。 令令).(,),(),(max21nvdvdvdt ),(zyxf),(zy

2、xf3若當若當 時，三元函數(shù)時，三元函數(shù) 在在v v0t的積分和存在極限的積分和存在極限j(j(數(shù)數(shù)j j與分法與分法t t無關(guān)，也與無關(guān)，也與點點 的取法無關(guān)的取法無關(guān)) )，即，即kp,),(lim10jvfknkkkkt 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在體在體v v可積，可積，j j是函數(shù)是函數(shù)在體在體v v的的三重積分三重積分，記為，記為dvzyxfv ),(或或 ,),(dxdydzzyxfv ),(zyxf),(zyxf),(zyxf4其中其中v v稱為稱為積分區(qū)域積分區(qū)域， 稱為稱為被積函被積函 數(shù)數(shù), ,dvdv 或或dxdydzdxdydz稱為稱為體積微元體積微元。),(zyxf三重積分

3、的幾何意義三重積分的幾何意義設被積函數(shù)設被積函數(shù), 1),( zyxf vvvd1則區(qū)域則區(qū)域v v 的體積為的體積為設有界體設有界體 上每一點的密度是上每一點的密度是v).,(zyx 則則 的質(zhì)量為的質(zhì)量為v vxmdydz.z)dy,(x, 5二、三重積分的計算二、三重積分的計算1.1.直角坐標系中將三重積分化為三次積分直角坐標系中將三重積分化為三次積分設積分區(qū)域設積分區(qū)域v為為 ),(),(),(21yxzzyxzzyxv bxaxyyxy ),()(216如如 圖，圖，xyzovdab)(1xyy )(2xyy 1s),(1yxzz 2s),(2yxzz ),(yx1z2z),(:),

4、(:2211yxzzsyxzzs dyx ),(,1穿入穿入從從 z過點過點穿出穿出從從2z閉區(qū)域閉區(qū)域v v在在xoyxoy平面的投影為閉區(qū)域平面的投影為閉區(qū)域d.d. bxaxyyxy ),()(217 ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxf,),()(:21bxaxyyxyd ),(yxf再計算再計算上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間 dd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf dyxf d),( d d vzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd則則vz 軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這時平

5、行于這時平行于注注sv 的邊界曲面的邊界曲面內(nèi)部的直線與閉區(qū)域內(nèi)部的直線與閉區(qū)域相交不多兩點情形相交不多兩點情形. .8 vdvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdzzyxfyxzyxz ),(),(21),(表示當表示當 固定時固定時, ,ryx ),(z對對 積分積分, , 的變化由的變化由 到到z),(1yxz).,(2yxz其次其次, ,當當 固定時固定時, ,對對 積分積分. .,bax y,),(),(),()()(2121dzzyxfdyyxzyxzxyxy 即即9最后對最后對 積分積分, ,x的變化從的變化從 到到

6、.y)(1xy)(2xy即即.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxx的變化從的變化從 到到 . .ab10 x0z yz=z2(x,y)i = ),(),(d),(yxzyxzzzyxf dyxddp dz=z1(x,y)zyxzyxfiddd ),( 11例例1 1 計算平面計算平面 與與0, 0, 0 zyx1 zyx所圍成的四面體的體積所圍成的四面體的體積. .例例2 2 計算三重積分計算三重積分，上半橢球體：上半橢球體：, vzdxdydz. 0, 1222222 zczbyax其中是其中是12z =0y = 0 x =00y xv：平面平面

7、 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域x0z y1121dxydxy:x = 0, y = 0, x+2y =1 圍成圍成121 yxxzyxxddd 481 例例3 3 計算三重積分計算三重積分x + 2y + z =1dxyzyxxivddd yxdzxyxxydddi =解解13 2.2.截面法截面法( (紅色部分紅色部分) )(1)(1)向某軸向某軸把積分區(qū)域把積分區(qū)域 )(軸軸如如z投影投影, ,得投影區(qū)間得投影區(qū)間;,21cc(2)(2),21ccz 對對, 的平面去截的平面去截軸且平行軸且平行用過用過xoyz;zd得截面得截面(3

8、)(3)計算二重積分計算二重積分 zdyxzyxfdd),();(zfz的的函函數(shù)數(shù)其其結(jié)結(jié)果果為為(4)(4).d)(21 cczzf最后計算單積分最后計算單積分xzoy 1c2czzd.dd),(d),(21 zdyxzyxfccdzvzyxf即即14 cczz d2 zdyxddzyxziddd2 dz 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域 是是由由 其其中中 1222222 czbyax.bczyxziddd2 cczzczabd1222 3154abc =例例4 計算計算x0yzd0a1)1()1(22222222 czbyczax 2222221)(czbyax, czc|z , y,xz

9、15三三. . 三重積分換元法三重積分換元法定定理理若三元函數(shù)若三元函數(shù) 在有界閉體在有界閉體 連續(xù)連續(xù), ,),(zyxfv則三重積分則三重積分 存在存在. .dxdydzzyxfv),(設函數(shù)組設函數(shù)組 ),(),(),(wvuzzwvuyywvuxx在在 空間有界閉體空間有界閉體 有定義有定義. .若滿足若滿足下列條件下列條件: :uvwv)1(161) 1) 函數(shù)函數(shù)),(),(),(wvuzzwvuyywvuxx 所有的偏導數(shù)在所有的偏導數(shù)在 連續(xù)連續(xù); ;v2) 2) ;0),(),( pwzvzuzwyvyuywxvxuxwvuzyx, ),( vwvup 17vzyxzyxfd

10、dd),(.ddd),(),(),(),(),( vwvuwvuzyxwvuzwvuywvuxf則有三重積分的換元公式則有三重積分的換元公式3)3)函數(shù)組函數(shù)組(1)(1)將將 空間中的空間中的 一一對一一對uvwv應地變換為應地變換為 空間中的空間中的 . .xyzv18例例5 5計算六個平面計算六個平面 ,333322221111hzcybxahzcybxahzcybxa, 0333222111 cbacbacba所圍成的平行六面體所圍成的平行六面體v v的體積，其中的體積，其中iiiihcba,是常數(shù)，且是常數(shù)，且).3 , 2 , 1(0 ihi19例例6 6 計算計算 其中其中 是由曲面是由曲面 ,2dxdydzxixzxzbaybyzayz ,),0 , 0(,22)0(),0( hhz 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. .解解 作變換作變換,:2zwxzvyzut ,0 ,| ),(hwvbuawvu ：變變成成則則* 20而而由公式由公式, ,1),(),(),(),( zyxwvuwvuzyx