微積分之隱函數(shù)

1、第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo) 相關(guān)變化率 第二章 31xy一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程0),(yxf可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: 0),(yxf0),(ddyxfx兩邊對(duì) x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

2、 返回 結(jié)束 例例1. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo))32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故210ddxxy0確定的隱函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求橢圓191622yx在點(diǎn))3,2(23處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為323y43)2( x即03843 yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求)0(sinxxyx的導(dǎo)數(shù)

3、. 解解: 兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱式xxylnsinln兩邊對(duì) x 求導(dǎo)yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 對(duì)冪指函數(shù)vuy 可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1說明說明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意注意:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對(duì)數(shù)yln兩邊對(duì) x 求導(dǎo)yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxln

4、lnlnxbalnlnaxb機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對(duì) x 求導(dǎo)21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對(duì)數(shù)2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個(gè) y 與 x 之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo), 且,0 )( )(22tt則0)( t時(shí), 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時(shí), 有yxddyttxd

5、dddtytxdd1dd)()(tt(此時(shí)看成 x 是 y 的函數(shù) )關(guān)系,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導(dǎo),22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例4. 設(shè))(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22x

6、y1)(tf 已知解解:)()(tftfty練習(xí)練習(xí): p111 題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:注意注意 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為 1tvx 求拋射體在時(shí)刻 t 的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:速度的水平分量為,dd1vtx垂直分量為,dd2tgvty故拋射體速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 則yxo2212tgtvy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 拋射體軌跡的參數(shù)

7、方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出 (即 t = 0 )時(shí), 傾角為12arctanvv達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻,2gvt 高度ygv2221落地時(shí)刻,22gvt 拋射最遠(yuǎn)距離xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè)由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數(shù), )(xyy 求.ddxy解解: 方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo) , 得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtydd

8、txdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率)(, )(tyytxx為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì) t 求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,其速率為,minm140當(dāng)氣球高度為 500 m 時(shí), 觀察員視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則tan500h兩邊對(duì) t 求導(dǎo)2sectddthdd5001已知,minm14

9、0ddth h = 500m 時(shí),1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題思考題: 當(dāng)氣球升至500 m 時(shí)停住 , 有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來,當(dāng)距離為500 m 時(shí), 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對(duì) t 求導(dǎo)2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 試求當(dāng)容器內(nèi)水rhxhr例例8. 有一底半徑為 r cm , 高為 h cm 的圓錐容器 ,今以 自頂部向容器內(nèi)注水 ,s

10、cm253位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度.解解: 設(shè)時(shí)刻 t 容器內(nèi)水面高度為 x , 水的vhr231)(231xhrxrh)(33322xhhhr兩邊對(duì) t 求導(dǎo)tvdd22hr2)(xh,ddtx而,)(25222xhrh,2時(shí)當(dāng)hx hxhrr故txdd) scm(25dd3tv) scm(100dd2rtx體積為 v , 則r機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4. 相關(guān)變化率問題列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式對(duì) t 求導(dǎo)相關(guān)變化率

11、之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時(shí),從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 求螺線r在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線方程.解解: 化為參數(shù)方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)斜率xykdd222, ),0(2m 切線方程為22xy2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè),)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對(duì)數(shù)微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln2

12、1xxxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè))(xyy 由方程eyxey確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得0yxyyey再求導(dǎo), 得2yey yxey)(02 y當(dāng)0 x時(shí), 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)p110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2 等式兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)y1yxddxeyx