用二分法求方程的近似解課件147453

1、2021-11-14研修班2學習目標學習目標1、理解求方程近似解的二分法的基本思想，能夠借助科學計理解求方程近似解的二分法的基本思想，能夠借助科學計算器用二分法求給定方程的滿足一定精確度要求的近似解算器用二分法求給定方程的滿足一定精確度要求的近似解2、體驗求方程近似解的二分法的探究過程，感受方程與函數(shù)體驗求方程近似解的二分法的探究過程，感受方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，初步認識算法化的形式表達之間的聯(lián)系，初步認識算法化的形式表達2021-11-14研修班3學習導(dǎo)圖學習導(dǎo)圖歸納求函數(shù)零點的一般步驟歸納求函數(shù)零點的一般步驟鞏固練習鞏固練習作作 業(yè)業(yè) 解方程：解方程：062ln xx探究函數(shù)探究函數(shù) 零點的

2、近似解零點的近似解62ln)( xxxf 求方程求方程 的近似解的近似解732 xx2021-11-14研修班4由表由表3-1和圖和圖3.13可知可知f(2)0， 即即f(2)f(3)0，說明說明 由于函數(shù)由于函數(shù)f(x)在定義域在定義域(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，所以內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點。它僅有一個零點。解：用計算器或計算機作出解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應(yīng)值表（表的對應(yīng)值表（表3-1）和圖象（圖和圖象（圖3.13） 4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972123456789x0246105y2410861

3、21487643219的的零零點點個個數(shù)數(shù)六六、求求函函數(shù)數(shù)62 xxxfln)(函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點內(nèi)有零點2021-11-14研修班5學習過程學習過程問題問題 一、解方程：一、解方程：062ln xx如何找出在區(qū)間如何找出在區(qū)間 內(nèi)的這個零點內(nèi)的這個零點?)3 , 2(1.1.對于簡單方程，可以通過變形、換元或套用公式求解對于簡單方程，可以通過變形、換元或套用公式求解2.2.實際問題中，一般只需要求出符合一定精確度的近似解實際問題中，一般只需要求出符合一定精確度的近似解3.3.將求方程近似解的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)零點的近似值問題將求方程近似解的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)零點的近

4、似值問題2021-11-14研修班6問題問題方程近似解方程近似解(或函數(shù)零點的近似值或函數(shù)零點的近似值)的精確的精確度與函數(shù)零點所在范圍的大小有何關(guān)系度與函數(shù)零點所在范圍的大小有何關(guān)系?1.若知道零點在若知道零點在(250，253)內(nèi)，我們就可以得到方程的一內(nèi)，我們就可以得到方程的一個精確到個精確到01的近似解的近似解2.50；2.若知道零點在若知道零點在(2515，2516)內(nèi)，我們就可以得到方程的內(nèi)，我們就可以得到方程的一個更為精確近似解，等等一個更為精確近似解，等等 求方程近似解的問題求方程近似解的問題(或函數(shù)零點的近似值或函數(shù)零點的近似值)不斷縮小零點所在范不斷縮小零點所在范圍圍(或區(qū)

5、間或區(qū)間)的問題的問題2021-11-14研修班7問題問題如何縮小零點所在的范圍，得到一個越來如何縮小零點所在的范圍，得到一個越來越小的區(qū)間，以使零點仍在此區(qū)間內(nèi)越小的區(qū)間，以使零點仍在此區(qū)間內(nèi)?從上海到美國舊金山的海底電纜有從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現(xiàn)在某接點個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少需要檢查接點的個數(shù)為至少需要檢查接點的個數(shù)為個個上海上海舊金山舊金山a b c d e f g h i j k l m n o為了縮小零點所在的范圍，一般可以先將區(qū)間分為兩個子區(qū)為了縮小零點所在的范圍

6、，一般可以先將區(qū)間分為兩個子區(qū)間，如果分點不是零點，則零點必在兩個中的一個內(nèi)，從而間，如果分點不是零點，則零點必在兩個中的一個內(nèi)，從而達到縮小零點所在區(qū)間的目的達到縮小零點所在區(qū)間的目的2021-11-14研修班8問題問題將一個區(qū)間分為兩個區(qū)間，該找怎樣的分點將一個區(qū)間分為兩個區(qū)間，該找怎樣的分點?取中點取中點對于一個已知的零點所在區(qū)間對于一個已知的零點所在區(qū)間(a，b)，取中點，取中點 ，計算計算 ，根據(jù)零點所在范圍的判斷方法，如果這，根據(jù)零點所在范圍的判斷方法，如果這個函數(shù)值為個函數(shù)值為0，那么中點就是函數(shù)的零點；如果不為，那么中點就是函數(shù)的零點；如果不為0，通過比較中點與兩個端點函數(shù)值的

7、正負，即可判知零點通過比較中點與兩個端點函數(shù)值的正負，即可判知零點是在是在 內(nèi)，還是在內(nèi)，還是在 內(nèi)，從而將零點所在內(nèi)，從而將零點所在范圍縮小了一半范圍縮小了一半 2ba )2(baf )2,(baa ),2(bba 2021-11-14研修班9062ln: xx 解方程解方程的零點的零點找函數(shù)找函數(shù)62ln)( xxx f的的零零點點所所在在范范圍圍逐逐漸漸縮縮小小函函數(shù)數(shù)62ln)( xxxf)3 , 2(問題問題2021-11-14研修班10(a，b)中點中點x1f(a)f(x1 )(2 , 3)2.5負負 -0.084(2.5,3) 2.75負負0.512(2.5,2.75)2.625

8、負負0.215(2.5,2.625)2.5625負負0.066(2.5,2.5625)2.53125負負 -0.009(2.53125,2.5625)2.546875負負0.029(2.53125,2.546875)2.5390625負負0.010(2.53125,2.5390625) 2.53515625負負0.001| 2.5390625 2.53125|=0.0078125001 f(b)正正正正正正正正正正正正 正正正正精確度已達到精確度已達到0012021-11-14研修班11結(jié)論結(jié)論1.通過這樣的方法，我們可以得到任意精確度的零點近似值通過這樣的方法，我們可以得到任意精確度的零點近

9、似值2.給定一個精確度，即要求誤差不超過某個數(shù)如給定一個精確度，即要求誤差不超過某個數(shù)如001時，可時，可以通過有限次不斷地重復(fù)上述縮小零點所在區(qū)間的方法步驟，以通過有限次不斷地重復(fù)上述縮小零點所在區(qū)間的方法步驟，而使最終所得的零點所在的小區(qū)間內(nèi)的任意一點，與零點的誤而使最終所得的零點所在的小區(qū)間內(nèi)的任意一點，與零點的誤差都不超過給定的精確度，即都可以作為零點的近似值差都不超過給定的精確度，即都可以作為零點的近似值3.本題中，如在精確度為本題中，如在精確度為001的要求下，我們可以將區(qū)間的要求下，我們可以將區(qū)間(2.53125,2.5390625)內(nèi)的任意點及端點作為此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意點及端

10、點作為此函數(shù)在區(qū)間(2，3)內(nèi)的零點近似值內(nèi)的零點近似值4.若再將近似值保留兩為小數(shù)，那么若再將近似值保留兩為小數(shù)，那么253，254都可以作都可以作為在精確度為為在精確度為001的要求下的函數(shù)在的要求下的函數(shù)在(2，3)內(nèi)的零點的近似內(nèi)的零點的近似值一般地，為便于計算機操作，常取區(qū)間端點作為零點的值一般地，為便于計算機操作，常取區(qū)間端點作為零點的近似值，即近似值，即2531252021-11-14研修班12象這種運用象這種運用縮小零點所在范圍縮小零點所在范圍的方法在數(shù)學和計算機科學上被的方法在數(shù)學和計算機科學上被稱為稱為二分法二分法二分法的實質(zhì)二分法的實質(zhì)就是將函數(shù)零點所在的區(qū)間不斷地一分為

11、二，就是將函數(shù)零點所在的區(qū)間不斷地一分為二，使新得到的區(qū)間不斷變小，兩個端點逐步逼近零點使新得到的區(qū)間不斷變小，兩個端點逐步逼近零點對于在區(qū)間對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且上連續(xù)不斷且 的函數(shù)的函數(shù) 通過不斷地把函數(shù)通過不斷地把函數(shù) 的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法分法0)()( bfaf)(xfy )(xf2021-11-14研修班13概括利用二分法求函數(shù)概括利用二分法求函數(shù) 零點的近似值的步驟零點的近似值的步驟)(xf1 1確定區(qū)間確定區(qū)間aa，bb

12、，驗證，驗證 ，給定精確度，給定精確度 0)()( bfaf 2 2求區(qū)間求區(qū)間(a(a，b)b)的的中點中點c c3 3計算計算f(cf(c) )(1)(1)若若f(cf(c)=0)=0，則，則c c 就是函數(shù)的零點就是函數(shù)的零點(2)(2)若若 ，則令，則令b=0b=0（此零點（此零點 ）0)()( bfaf),(0cax 4 4判斷是否達到精確度判斷是否達到精確度 ：即若：即若 ，則得到零點近似值，則得到零點近似值 a(a(或或b)b)；否則重復(fù)步驟；否則重復(fù)步驟2-42-4 ba(3)(3)若若 ，則令，則令a=0a=0（此時零點（此時零點 ）0)()( bfcf),(0bcx 202

13、1-11-14研修班14求方程求方程 的近似解的近似解(精確到精確到0 01 1)732 xx解解 精確度為精確度為零點為零點為令令, 732)(0 xxxfx 易知：易知：f(1)0f(1)0f(2)0取取x=1.5x=1.5，計算，計算f(1.5)0.330f(1.5)0.330)5 . 1 , 1(0 x取取x=1.25x=1.25，計算，計算f(1.25)-0.870f(1.25)-0.870)5 . 1,25. 1(0 x 取取x=1.375x=1.375，計算，計算f(1f(1375)-0.280375)-0.280f(1.4375)0.020)4375. 1,375. 1(0 x

14、 1 . 00625. 0|375. 14375. 1| 此時此時 原方程的近似解取為原方程的近似解取為1.43751.43752021-11-14研修班15p102)習題習題a組第組第4題題 借助計算器或計算機，用二分法求方程借助計算器或計算機，用二分法求方程 在區(qū)間在區(qū)間(-1,0)內(nèi)的近似解內(nèi)的近似解(精確度精確度0.1) 1)3)(2)(1( xxx解解 精確度為精確度為零點為零點為令令, 1)3)(2)(1()(0 xxxxxf 易知：易知：f(-1)0f(-1)0f(0)0取取x=-0.5x=-0.5，計算，計算f(-0.5)3.3750f(-0.5)3.3750)5 . 0, 1(0 x取取x=-0.75x=-0.75，計算，計算f(-0.75)1.580f(-0.75)1.580)75. 0, 1(0 x取取x=-