導(dǎo)數(shù)的幾何意義75720

1、 一條直線與一條曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，我們就說(shuō)這條直線是這條曲線的割線割線，當(dāng)這兩個(gè)點(diǎn)不斷靠近，并重合為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，這條直線就變成了這條曲線的切線。 回顧回顧平均變化率平均變化率割線割線的斜率的斜率oabxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y1212)()(xxxfxfxy1212)()(xxxfxfxyk回顧回顧我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是: 由導(dǎo)數(shù)的意義可知由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是的

2、導(dǎo)數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導(dǎo)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù)它可正也可負(fù). 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.回顧回顧y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy如圖：如圖：pq叫做曲線的割線叫做曲線的割線 那么，它們的那么，它們的 橫坐標(biāo)相差（橫坐標(biāo)相差（ ） 縱坐標(biāo)相差

3、（縱坐標(biāo)相差（ ） yx請(qǐng)問(wèn)：是割線pq的什么?xy斜率斜率當(dāng)當(dāng)q點(diǎn)沿曲線靠近點(diǎn)沿曲線靠近p時(shí)，割線時(shí)，割線pq雜么變化？雜么變化？x呢？呢？y呢？呢？pqoxyy=f(x)割割線線切線切線t 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)p即即x0時(shí)時(shí),割線割線pq如果有一個(gè)極限位置如果有一個(gè)極限位置pt.則我則我們把直線們把直線pt稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)p處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那那么當(dāng)么當(dāng)x0時(shí)時(shí),割線割線pq的斜的斜率率,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)p處的處的切切線的斜率線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf

4、xykf xxx 切線這個(gè)概念這個(gè)概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).pqoxyy=f(x)割割線線切切線線t例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)p(1,2)處的切線方程處的切線方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟的基本步驟

5、:求出求出p點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo);利用切線斜率的定義求利用切線斜率的定義求 出切線的斜率出切線的斜率;利用點(diǎn)斜式求切線方程利用點(diǎn)斜式求切線方程.:如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點(diǎn)點(diǎn)p處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點(diǎn)點(diǎn)p處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313pxy上上一一點(diǎn)點(diǎn) yx-2-112-2-11234op313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點(diǎn)點(diǎn)p處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點(diǎn)在點(diǎn)p處的切線

6、方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時(shí)，在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( )()( ).yfxxfxfxfxx 函 數(shù)在 點(diǎn)處 的 導(dǎo) 數(shù)等 于 函 數(shù)的 導(dǎo) 函 數(shù)在 點(diǎn)處 的函 數(shù) 值 由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),f(x0) 是一個(gè)確定的數(shù)是一個(gè)確定的數(shù).那么那么,當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí),便是便是x的一個(gè)函數(shù)的一個(gè)函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).即即: 如何求函數(shù)

7、如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導(dǎo)函數(shù).yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx （3），即，即 。這也是。這也是 求函數(shù)在點(diǎn)求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf （2），是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的而言的, 。)(xf （1），就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，變量與自變量的改變量之比的極限，不是變數(shù)。，不是變數(shù)。1、弄清、弄清“函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函導(dǎo)函數(shù)數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數(shù)在點(diǎn)）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線，得到曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,f(