隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

1、2021-11-141第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 第九章第九章 (derivation of implicit function)一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形二、方程組的情形二、方程組的情形三、小結(jié)與思考練習(xí)三、小結(jié)與思考練習(xí)2021-11-142本節(jié)討論本節(jié)討論 :1) 方程在方程在什么條件什么條件下才能確定隱函數(shù)下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02cyx當(dāng) c 0 時(shí), 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時(shí)在方程能確定隱函數(shù)時(shí), 研究其研究其連續(xù)性、可微性連續(xù)性、可微性 及及求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法問題問題 .2021-11-143一、一個(gè)方程的情形定理定理1 1 設(shè)函數(shù)),(00yx

2、p),(yxf;0),(00yxf則方程00),(xyxf在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxffxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域某鄰域內(nèi)內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxfy滿足條件導(dǎo)數(shù)2021-11-1440)(,(xfxf兩邊對(duì) x 求導(dǎo)0ddxyyfxfyxffxydd0yf,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxfxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則2021-11-145sin1xyexy在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd

3、22xxyxxy并求例例1 驗(yàn)證方程解解: 令, 1sin),(yxeyyxfx,0)0 , 0(f, yefxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yf0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyfy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且2021-11-1460ddxxy0 xffyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx2021-11-1470 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì)

4、 x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時(shí)1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex 利用隱函數(shù)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法2021-11-148若函數(shù) ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzffxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程0),(zyxf在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足0),(000zyxf0),(000zyxfz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確定理定理22021-11-1490),(,

5、(yxfyxf兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)xfzxffxzzyffyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設(shè)yxfyxfz則zfxz00),(000zfzyx的某鄰域內(nèi)在2021-11-1410,04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對(duì) x 求導(dǎo)例2 設(shè)設(shè)2021-11-1411設(shè)zzyxzyxf4),(222則,2xfxzxffxz兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zfz解法2 利用公式

6、2021-11-1412二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxgvuyxf),(),(yxvvyxuu由 f, g 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuggffvugfj),(),(稱為f, g 的雅可比雅可比( jacobi )行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 , 即2021-11-1413,0),(0000vuyxf的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf則方程組0),(,0),(vuyxgvuyxf),(00yx在點(diǎn)的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式: 在點(diǎn)的

7、某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:0),(),(pvugfpj;0),(0000vuyxg導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu ),(000yxvv 定理定理3 32021-11-1414),(),(1vxgfjxu),(),(1vygfjyu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：vvvuvugfggff1vvvuvugfggff1uuvuvugfggff1uuvuvugfggff1xxgfyygfxxgfyygf2021-11-14150),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxgyxvyxuyxf0),(0),(vuyxgvuy

8、xf有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuuxuxvxuxvxfufvf0 xgugvg0設(shè)方程組二元線性代二元線性代數(shù)方程組解數(shù)方程組解的公式的公式,的線性方程組這是關(guān)于xvxu,0vuvuggffj在點(diǎn)p 的某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式2021-11-1416同樣可得),(),(1vygfjyu),(),(1vxgfjxu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv2021-11-1417分析：分析：此題可以直接用課本中的公式（公式（6）求解， 但也可按照推導(dǎo)公式（6）的方法來求解. 下面用后一種方法求解.2021-11-14181,222 .uvxxuvuvxx

9、x 11221122xvuxvxvuuv11221122uxvuxxvuuv2021-11-1419解：解：cossin1,sincos0.xxxxrrrr 2021-11-1420內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)隱函數(shù)( 組組) 存在定理存在定理2. 隱函數(shù)隱函數(shù) ( 組組) 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法方法2. 代公式代公式思考與練習(xí)1. 設(shè)設(shè), ),(zyxzyxfz求求.,yxzxxz2021-11-1421zx ),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxz

10、y 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf解法1:2021-11-1422),(zyxzyxfz,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx由d y, d z 的系數(shù)即可得解法解法2： 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù)利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).2021-11-1423)()(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分別由下列兩式確定 :又函數(shù)),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,2. 設(shè)解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得321)s

11、in()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此2021-11-1424 zxfyfy0zfz fx)1 (y)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxf所確定的函數(shù) , 求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得f fxfzyfx xzyfzfyf)0( zyffxfzyxyffxfffxffxf )(xzdd 1 zyfffxxyfffxffx(99考研考研)3. 設(shè)設(shè)2021-11-14250),(),(zyxfyxfxz對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去yd.ddxzyf d20d3zfyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zfyfxfxfxfd)(xf d1可得解法解法2 微分法微分法.2021-11-1426雅可比(1804 1851)德國(guó)數(shù)學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). 他對(duì)行列式理論也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引進(jìn)了“雅