16微積分基本定理課件

1、 1、如果函數(shù)如果函數(shù)f（x）在）在a，b上連續(xù)且上連續(xù)且f（x）0時，那么：時，那么：定積分定積分 就表示以就表示以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積）為曲邊的曲邊梯形面積。badxxf)( 2、定積分定積分 的的數(shù)值數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯在幾何上都可以用曲邊梯形面積的形面積的代數(shù)和代數(shù)和來表示。來表示。badxxf)(1s2s3s321sssdxxfba )(復習：復習：1、定積分的幾何意義是什么？、定積分的幾何意義是什么？, 0)( xf baadxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baadxxf)(說明：說明：曲邊梯形的面積的負值曲邊梯形的面積的負值2.定積分的簡

2、單性質定積分的簡單性質(1)( )( ) ()bbaakf x dxkf x dxk為常數(shù)1212(2) ( )( )( )( )bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)( )( )( ) (acb)bcbaacf x dxf x dxf x dx？、3141dx？、axdx02？、dxx302)2(3？、dxx302948 825221a問題問題1 1：你能求出下列格式的值嗎？不妨試試。你能求出下列格式的值嗎？不妨試試。49復習引入復習引入2112.?dxx 由由 定定 積積 分分 的的 定定 義義 可可 以以 計計 算算嗎嗎 niinbafnabdxxf1lim xxf1

3、解解：令令（1 1）分割）分割 ,121個個分分點點上上等等間間隔隔的的插插入入，在在區(qū)區(qū)間間 n 個個小小區(qū)區(qū)間間等等分分成成，將將區(qū)區(qū)間間n21 , 2 , 11 ,11ninini 每每個個小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度為為 nix1nni111 （2）近似代替）近似代替 , 2 , 111ninii 取?。?）求和）求和xnifsdxxnin 121111 ninni11111 niin111 12121111nnnn怎么求怎么求問題問題2 2：一個作變速直線運動的物體的運動規(guī)一個作變速直線運動的物體的運動規(guī)律律s ss(ts(t) )。由導數(shù)的概念可以知道，它在任意。由導數(shù)的概念可以知道，

4、它在任意時刻時刻t t的速度的速度v(tv(t) )ss（t)t)。設這個物體在時。設這個物體在時間段間段a a，b b內的位移為內的位移為s s，你能分別用，你能分別用s(ts(t) )，v(tv(t) )來表示來表示s s嗎？嗎？從中你能發(fā)現(xiàn)導數(shù)和定積分的從中你能發(fā)現(xiàn)導數(shù)和定積分的內在聯(lián)系嗎？內在聯(lián)系嗎？另一方面，從另一方面，從導數(shù)導數(shù)角度來看：角度來看：如果已知該變速直如果已知該變速直線運動的路程函數(shù)為線運動的路程函數(shù)為s=s(t)，則在時間區(qū)間，則在時間區(qū)間a,b內物內物體的位移為體的位移為s(b)s(a)， 所以又有所以又有 ).()(d)(asbsttvba由于由于 ，即，即s(t

5、)是是v(t)的原函數(shù)，這就是說，的原函數(shù)，這就是說，定積分定積分 等于被積函數(shù)等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的增量上的增量s(b)s(a).)()(tvtsbattvd)( 從從定積分定積分角度來看：角度來看：如果物體運動的速度函數(shù)為如果物體運動的速度函數(shù)為v=v(t)，那么在時間區(qū)間，那么在時間區(qū)間a,b內物體的位移內物體的位移s可以用定可以用定積分表示為積分表示為.d)(battvs探究新知：探究新知：toy tyy bnisssss 21a aybsa(t )0t1it 1it nb(t )nt 1t2s1s2 is ns1h2hihnha by ay

6、bys ttvsii 1 嗎？表示，你能分別用內的位移為時間段設這個物體在的速度為時刻的概念可知，它在任意由導數(shù)是運動的物體的運動規(guī)律如圖：一個作變速直線s,tvtysbatytvttyy 1 itynab ttyi 1 aybys badtty tyy ay bynisssss 21 111 iiiitynabttyttvs ttytdpchsiii 1tan ttvsniin 11lim niintty11lim dttvba aybydttysba 二、微積分基本定理 牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式 ,f xa bf xf x 如如果果是是區(qū)區(qū)間間上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)并并且且則則

7、bafx dxf bf a bbaafx dxf xf bf a 或或 的的導導函函數(shù)數(shù)叫叫做做的的原原函函數(shù)數(shù)，叫叫做做xxfxfxff牛頓萊布尼茨公式溝通了導數(shù)與積分之間的關系牛頓萊布尼茨公式溝通了導數(shù)與積分之間的關系求定積分問題轉化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉化為求原函數(shù)的問題.nx1nnx 1x1lnxasin xcos xsin x cos xxexalnxaaxec0函數(shù)f(x)導函數(shù)f(x)回顧：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式回顧：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式logax ln x被積函數(shù)f(x)一個原函數(shù)f(x)新知：基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式新知：基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式ccxnx111nx

8、n sin xcos x sin xcos xxalnxaaxexe1xln|x .dxx1x22;dxx11:131221計算下列定積分計算下列定積分例例 ,x1xln1因為解2121|xlndxx1所以.2ln1ln2ln ,x1x1,x2x222因為dxx1xdx2dxx1x23123131231312x1|x.32213119( )( )|( )( )bbaaf x dxf xf bf a找出找出f(x)的原函數(shù)是的原函數(shù)是關鍵關鍵 120212212113212332141_xtdtxdxxxxdxedx 1322ln 921ee 練習練習1:.xdxsin,dxxsin,dxxsi

9、n:22020計算下列定積分計算下列定積分例例00|xcosdxxsin, xsinxcos因為解 ;20coscos22|xcosdxxsin ; 2cos2cos202|xcosdxxsin0 0 .00cos2cos問題：問題：通過計算下列定積分，進一步說明其定通過計算下列定積分，進一步說明其定積分的幾何意義。積分的幾何意義。通過計算結果能發(fā)現(xiàn)什么結通過計算結果能發(fā)現(xiàn)什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示發(fā)現(xiàn)的結論論？試利用曲邊梯形的面積表示發(fā)現(xiàn)的結論2sin xdx20sin xdx我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：（）定積分的值可取正值也可取負值，還可以是（）定積分的值可取正值也可取負值，還可以是0

10、0；（2 2）當曲邊梯形位于）當曲邊梯形位于x x軸上方時，定積分的值取正值；軸上方時，定積分的值取正值；（3 3）當曲邊梯形位于）當曲邊梯形位于x x軸下方時，定積分的值取負值；軸下方時，定積分的值取負值；（4 4）當曲邊梯形位于）當曲邊梯形位于x x軸上方的面積等于位于軸上方的面積等于位于x x軸下方軸下方的面積時，定積分的值為的面積時，定積分的值為0 0得到定積分的幾何意義：得到定積分的幾何意義：曲邊梯形面積的曲邊梯形面積的代數(shù)和代數(shù)和。1.微積分基本定理微積分基本定理)()()(afbfdxxfba 三、小結被積函數(shù)f(x)一個原函數(shù)f(x)2.基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式基本初等函數(shù)的原