42羅必達(dá)法則

1、第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則一、一、 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則三三、小結(jié)小結(jié)型未定式解法型未定式解法二、二、00100 ,一、一、 型及型及 型未定式解法型未定式解法: 洛比達(dá)法則洛比達(dá)法則0 00 0 定理定理(或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大);設(shè)設(shè)(1) 當(dāng)當(dāng) 時時, 函數(shù)函數(shù) 及及 都趨于零都趨于零;xa( )f x( )f x(2) 在在 點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi), 及及 都存在都存在a( )fx ( )fx (3) 存在存在( )lim( )xafxfx ( )0;fx 且且那么那么( )( )limlim.( )( )xaxaf xfxf xfx -此法則稱為此法則稱為洛必達(dá)法則洛

2、必達(dá)法則. .注注:1)此法則只適用于不定式此法則只適用于不定式;2)公式右端是分子、分母分別求導(dǎo)；公式右端是分子、分母分別求導(dǎo)；3)這只是一個充分條件這只是一個充分條件.該法則仍然成立該法則仍然成立.4)( )( )limlim.( )( )xxf xfxf xfx 當(dāng)當(dāng) 時的未定式時的未定式 ,xa x 也有相應(yīng)的法則也有相應(yīng)的法則.5), ax, ax,xx,x可以繼續(xù)使用洛比達(dá)法則可以繼續(xù)使用洛比達(dá)法則,如果如果 仍為仍為 型型,( )( )fxfx 00且且 滿足定理的滿足定理的條件條件,( ),( )fx fx即即( )lim( )xaf xf x( )lim( )xafxfx .

3、 ( )lim( ) xafxfx什么時候用什么時候用:0,0 ( )( )limlim.( )( )xaxaf xfxf xfx 怎么用怎么用:6)解解例例1 求求xxxxsinlim3011 ()0 00 0解解12333221 xxxxlim原式原式266lim1 xxx.23 例例2 2.lim1232331 xxxxxx求求()0 00 0例例3 求求30 xxxxsinlim ()0 00 0解解203cos1limxxx xxx6sinlim0 61 原式原式原式原式16 230112 13 (1)limcosxxxx 解解221limxxx . 1 解解0cossinlimco

4、ssinxaaxbxbbxax . 1 ()0 00 0() axabxbbaxcoscoslim0 2211lim1xxx axbxbaxsinsinlim0 原式原式原式原式例例5 5arctan2lim.1xxx 求求例例6 60lnsinlim,(0,0).lnsinxaxabbx求求解解222seclim3sec 3xxx xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 () 原式原式例例7 72tanlim.tan3xxx 求求注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有

5、注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法效方法, ,解解例例8 8.sintanlimxxxxx20 求求30 xxxx tanlim原式原式xxxx6220tanseclim 22031xxx seclimxxxtanlim031 .31 但與其它求極限方法結(jié)合使用但與其它求極限方法結(jié)合使用, , 效果更好效果更好. .30arctanlim_.ln(12)xxxx 例例9 (000203) 解解2202111lim612xxxx 320(12)lim6(1)xxx 16 (方法方法2)原式原式=302arctanlimxxxx 2206111limxxx 22206)1(limxxxx 1

6、6 (方法方法1)原式原式000,0 ,1 , 二二、型型未未定定式式解解法法關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型可解決的類型. .例例1111解解.limxxex2 求求()0 0 xexx2 lim原式原式2limxxe . 1. 0 型型步驟步驟: :10, 100.0 或或例例12 求求)(lnlim00 xxx解解lnlimxxx 0lim()xx00注注:若將極限化成若將極限化成0lim,1lnxxx 則問題會復(fù)雜化則問題會復(fù)雜化.limxxx 101原式原式解解例例1313).sin(limxxx110 求求() 00.0 0 0

7、sinlimsinxxxxx 20sinlimxxxx 2. 型型步驟步驟: :原式原式01coslim2xxx 0 1100步驟步驟: :0.1 0 ln10 ln 恒等變形恒等變形000 ln0 003. 0 ,1 , 型型解解0( 0 )xxxelnlim 0原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 0lnlim1xxxe 例例14140lim.xxx 求求解解(1 ) 1ln11limxxxe 1lnlim1xxxe 11lim1xxe .1 e解解0() )ln(cotln1lim0 xxx xxxxsincoslim0 原式原式例例1 16 61ln0li

8、m(cot ).xxx 求求例例1 15 5111lim.xxx 求求1.e 原式原式1ln(cot)ln,xxe 2011cotsinlim1xxxx 取對數(shù)得取對數(shù)得1ln(cot )xx解解1sinlim1xx ).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效洛必達(dá)法則失效.1lim(1cos )xxx. 1 注意：洛必達(dá)法則的使用條件注意：洛必達(dá)法則的使用條件例例1 17 7coslim.xxxx 求求原式原式原式原式 201sinlimsinxxxx 原原式式0112sincoslimcos xxxxx不存在注注意意：當(dāng)當(dāng) 不存在不存在, , 也不為無窮大也不為無窮大,

9、, 不不能利用能利用洛必達(dá)洛必達(dá)法則求極限法則求極限. . ()lim() xafxgx201sinlimsinxxxx201sinlim xxxx201sin. limsinxxxx例例解解2201112 sincoslimcos xxxxx xx01limsin0 xxx洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型0010 ,型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取對數(shù)取對數(shù)令令gfy 三、小結(jié)作業(yè)作業(yè): 4.2思考題思考題設(shè)設(shè))()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不存存在在

10、？舉舉例例說說明明. . 不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在極限存在思考題解答思考題解答一、一、 填空題：填空題： 1 1、 洛必達(dá)法則除了可用于求 “洛必達(dá)法則除了可用于求 “00” ， 及 “” ， 及 “ ”兩種類型的未定式的極限外，也可通過兩種類型的未定式的極限外，也可通過變換解決變換解決_，_ ， _ ，_，_，等型，等型的未定式的求極限的問題的未定式的求極限的問題. . 2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_. 3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_. 練練 習(xí)習(xí) 題題二二、 用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則求求下下列列極極限限： 1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ； 3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx； 5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ； 7 7、xxx)arctan2(lim . . 三三、 討討論論函函數(shù)數(shù) 0,0,)1()