31仿射坐標(biāo)變換的一般理論

1、上頁 下頁 結(jié)束 在空間或平面中在空間或平面中, 同一點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的坐標(biāo)同一點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的坐標(biāo) 不相同不相同, 從而從而圖形方程也不相同圖形方程也不相同. 如在平面上如在平面上, 圓錐曲線圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線橢圓、雙曲線、拋物線) 只在只在直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中的方程才是的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程:pxybyaxbyax211222222222 , ,在其他坐標(biāo)系下方程可能會(huì)很復(fù)雜在其他坐標(biāo)系下方程可能會(huì)很復(fù)雜. 在第二章中在第二章中 的的橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面、橢圓拋 物面和馬鞍面物面和馬鞍面等也是在等也是在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)

2、系中討論的中討論的.第三章第三章 二次曲線的分類二次曲線的分類 上頁 下頁 結(jié)束 在一般的仿射坐標(biāo)系中在一般的仿射坐標(biāo)系中二次方程的圖像是否也二次方程的圖像是否也 屬于這屬于這 14 類曲面之一類曲面之一? 還有沒有其他可能還有沒有其他可能? 于是于是 產(chǎn)生了下面的產(chǎn)生了下面的兩個(gè)問題兩個(gè)問題:(1) 對(duì)于給定的圖形對(duì)于給定的圖形, 怎樣選擇坐標(biāo)系怎樣選擇坐標(biāo)系, 使得它使得它 的方程最簡(jiǎn)單的方程最簡(jiǎn)單? (2) 在不同的坐標(biāo)系中在不同的坐標(biāo)系中, 圖形的方程之間有什圖形的方程之間有什 么關(guān)系么關(guān)系? 第三章第三章 二次曲線的分類二次曲線的分類 上頁 下頁 結(jié)束 1.1 過渡矩陣、向量和點(diǎn)的坐

3、標(biāo)變換公式過渡矩陣、向量和點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式1.2 圖形的坐標(biāo)變換公式圖形的坐標(biāo)變換公式 1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 1.4 代數(shù)曲面和代數(shù)曲線代數(shù)曲面和代數(shù)曲線 1.5 直角坐標(biāo)變換的過渡矩陣、正交矩陣直角坐標(biāo)變換的過渡矩陣、正交矩陣 1 仿射坐標(biāo)變換一般理論仿射坐標(biāo)變換一般理論 上頁 下頁 結(jié)束 本節(jié)討論本節(jié)討論坐標(biāo)變換的一般規(guī)律坐標(biāo)變換的一般規(guī)律, 給出給出點(diǎn)、向量點(diǎn)、向量 和圖形的坐標(biāo)變換公式和圖形的坐標(biāo)變換公式. 設(shè)空間中有兩個(gè)仿射坐標(biāo)系設(shè)空間中有兩個(gè)仿射坐標(biāo)系i: o; e1, e2, e3 和和 i : o ; e1 , e2 , e3 . 一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)或或一個(gè)向量一個(gè)向

4、量在在 i 和和 i 中有不同的坐標(biāo)中有不同的坐標(biāo) (x, y, z) 和和 (x ,y , z ), 它們有它們有什么什么關(guān)系關(guān)系? 一個(gè)一個(gè)圖形圖形在在 i 和和 i 中有中有 不同的不同的方程方程, 它們它們?cè)鯓踊ハ噢D(zhuǎn)化怎樣互相轉(zhuǎn)化? 1 仿射坐標(biāo)變換一般理論仿射坐標(biāo)變換一般理論 上頁 下頁 結(jié)束 向量的坐標(biāo)變換公式向量的坐標(biāo)變換公式 設(shè)設(shè)向量向量 在在 i 和和 i 中的坐標(biāo)分別為中的坐標(biāo)分別為(x, y, z) 和和 (x ,y , z ), 設(shè)設(shè)e1 , e2 , e3 在在 i 中的坐標(biāo)分別為中的坐標(biāo)分別為 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c

5、13, c23, c33), 即即 333223113333222211223312211111eeeeeeeeeeeeccccccccc根據(jù)根據(jù)坐標(biāo)定義坐標(biāo)定義 , 1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 = x e1 + y e2 + z e3 = x (c11e1 + c21e2 + c31e3) + y (c12e1 + c22e2 + c32e3) + z (c13e1 + c23e2 + c33e3) = (c11x + c12y + c13z ) e1 + (c21x + c22y + c23z ) e2 + (c31 x + c32y + c33z ) e

6、3說明說明 在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)為為 zcycxczzcycxcyzcycxcx333231232221131211(3.1) 1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 寫成矩陣形式寫成矩陣形式 . zyxccccccccczyx333231232221131211(3.1a) 稱稱(3.1)和和(3.1a)為為向量的坐標(biāo)變換公式向量的坐標(biāo)變換公式, (3.1a)中中 的矩陣的矩陣 333231232221131211cccccccccc稱為從坐標(biāo)系稱為從坐標(biāo)系 i 到到 i 的的過渡矩陣過渡矩陣, 是是以以e1 , e2 , e3 在在 i 中坐標(biāo)為各個(gè)中坐標(biāo)為各個(gè)

7、列向量列向量的三階矩陣的三階矩陣.1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) m 在在 i 和和 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)分別為分別為(x, y, z) 和和 (x , y , z ), 它們分別是它們分別是向量向量 om 在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)和和 o m 在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo). 根據(jù)根據(jù) (3.1a) 得得 o m 在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)為為 . zyxccccccccc333231232221131211設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) o ( 即即oo ) 在在 i 中中 的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為 (d1, d2, d3) ,1.1, 1.2 坐

8、標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 由于由于 om = oo + o m , 則則 . 321333231232221131211dddzyxccccccccczyx(3.2a) 稱稱(3.2a)為為點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式的矩陣形式點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式的矩陣形式, 其一般其一般 形式為形式為 333323122322211131211dzcycxczdzcycxcydzcycxcx(3.2) 1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 曲面的坐標(biāo)變換公式曲面的坐標(biāo)變換公式 設(shè)設(shè) s 是一張是一張曲面曲面, 它它在在 i 中的一般方程中的一般方程為為 f (x, y, z) = 0

9、, 求它求它在在 i 中的一般方程中的一般方程. 對(duì)于點(diǎn)對(duì)于點(diǎn) m, 如果它如果它在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)為為 (x , y , z ), 則它則它在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)為為(c11x + c12y + c13z +d1, c21x + c22y + c23z +d2, c31x + c32y + c33z +d3 ), 1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 因此因此 m s f (c11x + c12y + c13z +d1, c21x + c22y + c23z +d2, c31x + c32y + c33z +d3) = 0. 記上式左邊函數(shù)為記上式左邊函數(shù)

10、為 g(x , y , z ) , 則則g(x , y , z ) = 0 是是 s 在在 i 中的一般方程中的一般方程, 稱它為稱它為由由 s 在在 i 中的方中的方 程程 f(x, y, z) = 0 經(jīng)過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化為經(jīng)過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化為 s 在在 i 中的中的方程方程.1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 曲線的坐標(biāo)變換公式曲線的坐標(biāo)變換公式 由于由于曲線可以看作兩張曲面的交線曲線可以看作兩張曲面的交線, 它在它在 i 中中的的一般方程一般方程為為兩個(gè)三元方程式的聯(lián)立方程組兩個(gè)三元方程式的聯(lián)立方程組, 將將這兩個(gè)方程都用這兩個(gè)方程都用坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換化為化為 i

11、中中的方程的方程, 聯(lián)立聯(lián)立即得它在即得它在 i 中的中的一般方程一般方程.1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 例例 3.1 設(shè)從坐標(biāo)系設(shè)從坐標(biāo)系 i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為 , 101110012co 在在 i 中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為 (1, 2, 0) . (1) 設(shè)平面設(shè)平面 在在 i 中的一般方程中的一般方程為為 3x + 2y z + 2 = 0, 求求 在在 i 中的一般方程中的一般方程. 1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 (2) 設(shè)直線設(shè)直線 l 在在 i 中的標(biāo)準(zhǔn)方程中的標(biāo)準(zhǔn)方程為為 ,12231 zyx求求 l

12、在在 i 中的方程中的方程. 解解: 由已知由已知, 向量的坐標(biāo)變換公式向量的坐標(biāo)變換公式為為 zxzzyyyxx2(3.3) 1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式為為 zxzzyyyxx212(3.4) (1) 將將 (3.4) 代入平面的一般方程代入平面的一般方程, 得得 3(2x + y + 1) + 2(y z 2) (x + z ) + 2 = 0, 整理得整理得 在在 i 中的一般方程中的一般方程為為 5x + 5y 3z + 1 = 0 . 1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 (2) 方法方法1:

13、 求求 l 在在 i 中的一般方程中的一般方程. 容易求得容易求得 l 在在 i 中的一般方程中的一般方程為為 0420232zyyx將點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式將點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式 (3.4) 分別代入得兩平面在分別代入得兩平面在 i 中的一般方程中的一般方程, 化簡(jiǎn)并聯(lián)立得化簡(jiǎn)并聯(lián)立得 l 在在 i 中的一般中的一般方程方程為為. 06206354zyxzyx1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 方法方法2: 求求 l 在在 i 中的標(biāo)準(zhǔn)方程中的標(biāo)準(zhǔn)方程. 記記m 是是 i 中坐標(biāo)為中坐標(biāo)為 (1, 0, 2) 的的點(diǎn)點(diǎn), 是是 i 中坐標(biāo)中坐標(biāo) 為為 (3, 2, 1) 的的

14、向量向量, 則則 l 過點(diǎn)過點(diǎn)m, 平行于向量平行于向量 . 以以 x = 1, y = 0, z = 2 代入代入(3.4), 得到關(guān)于得到關(guān)于 m 在在 i 中坐標(biāo)的方程組中坐標(biāo)的方程組 2202zxzyyx 分別求出分別求出 m 和和 在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo) 即可得到即可得到 l 在在 i 中的標(biāo)準(zhǔn)方程中的標(biāo)準(zhǔn)方程.1.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 同理可得同理可得 在在 i 中坐標(biāo)的方程組中坐標(biāo)的方程組 1232zxzyyx由于由于兩方程組系數(shù)矩陣兩方程組系數(shù)矩陣相同相同, 用用矩陣消元法矩陣消元法解解: 121012211030012 14210221

15、10121011.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 361005801044001于是于是 m 和和 在在 i 中的坐標(biāo)分別為中的坐標(biāo)分別為 ( 4, 8, 6) 和和 (4, 5, 3) , 從而得從而得 l 在在 i 中的標(biāo)準(zhǔn)方程中的標(biāo)準(zhǔn)方程為為.365844 zyx 3610022110121011.1, 1.2 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式 上頁 下頁 結(jié)束 1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 命題命題: 過渡矩陣是可逆矩陣過渡矩陣是可逆矩陣. 證明證明: 因?yàn)橐驗(yàn)?i 中坐標(biāo)向量中坐標(biāo)向量 e1 , e2 , e3 不共面不共面, 因此過渡矩陣因此過渡矩陣 c

16、的行列式的行列式 |c| 0. 命題命題 3.1 設(shè)有三個(gè)仿射坐標(biāo)系設(shè)有三個(gè)仿射坐標(biāo)系 i, i , i , i 到到 i 的過渡矩陣為的過渡矩陣為c, i 到到 i 的過渡矩陣為的過渡矩陣為d, 則則 i 到到 i 的過渡矩陣為的過渡矩陣為cd. 證明證明: 記記 , 333231232221131211dddddddddd上頁 下頁 結(jié)束 則則 i 的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)向量 ei 在在 i 中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為 (d1i, d2i, d3i), .,321321 c idddiii于是于是 i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為 332313322212312111dddddddddc c c

17、.cdc 333231232221131211ddddddddd根據(jù)公式根據(jù)公式(3.1a), ei 在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)為為1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 推論推論 若若 i 到到 i 的過渡矩陣為的過渡矩陣為 c, 則則 i 到到 i 的過渡的過渡 矩陣為矩陣為 c 1.例例 3.2 已知仿射坐標(biāo)系已知仿射坐標(biāo)系 i 的三個(gè)坐標(biāo)平面在仿的三個(gè)坐標(biāo)平面在仿 射坐標(biāo)系射坐標(biāo)系 i 中的一般方程為中的一般方程為 y o z 面面: 3x + 2y 2z + 1 = 0, x o z 面面: 2x + y z 2 = 0, x o y 面面: x 2y + z + 2

18、 = 0, 并且并且 i 的原點(diǎn)的原點(diǎn) o 在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)為為 (1, 4, 2) , 求求 i 到到 i 的坐標(biāo)變換公式的坐標(biāo)變換公式.1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 解解: 方法一方法一. 已知已知 i 的原點(diǎn)的原點(diǎn) o 在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo), 可可先求先求 i 到到 i 的坐標(biāo)變換公式的坐標(biāo)變換公式. 設(shè)設(shè) i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為 , 333231232221131211dddddddddd1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 則則 i 到到 i 的坐標(biāo)變換公式的坐標(biāo)變換公式為為 2413332312322211

19、31211zdydxdzzdydxdyzdydxdx于是于是y o z 平面平面, 即即 x = 0 在在 i 中的方程為中的方程為 d11x + d12y + d13z + 1 = 0. 已知已知y o z 面在面在 i 中的方程中的方程: 3x + 2y 2z + 1 = 0, 比較系數(shù)得比較系數(shù)得: d11 = 3, d12 = 2, d13 = 2; 1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 類似可得類似可得: d21 = 4, d22 = 2, d23 = 2, d31 = 1, d32 = 2, d33 = 1. 從而從而 , 121224223d于是于是 i 到到

20、i 的坐標(biāo)變換公式的坐標(biāo)變換公式為為 , 2242241223zyxzzyxyzyxx1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 即即 . 241121224223zyxzyx于是于是 , 2411212242231zyxzyx, 241281025602221zyx1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 ,. 231551451523011zyx從而從而 i 到到 i 的坐標(biāo)變換公式的坐標(biāo)變換公式為為 . 2345155235zyxzzyxyyxx1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 方法二方法二. 直接求直接求 i 到到 i 的坐標(biāo)變換公式的坐

21、標(biāo)變換公式. 解方程組解方程組 可求得可求得 02202201223zyxzyxzyxi 的原點(diǎn)的原點(diǎn)o 在在 i 中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為 (5, 15, 23), 由條件易求得由條件易求得x 軸軸, y 軸軸, z 軸的方向軸的方向可分別取為可分別取為(1, 3, 5), (2, 5, 8), (0, 1, 1), 下面確定下面確定 i 的三個(gè)坐標(biāo)向量的三個(gè)坐標(biāo)向量在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo). 1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 k (1, 3, 5), m (2, 5, 8), n (0, 1, 1), k, m, n 0.設(shè)設(shè) e1 , e2 , e3 在在 i 中的坐

22、標(biāo)分別為中的坐標(biāo)分別為: 則則 i 到到 i 的坐標(biāo)變換公式的坐標(biāo)變換公式應(yīng)為應(yīng)為 . 2385155352znymxkzznymxkyymxkx將將 i 的原點(diǎn)的原點(diǎn) o 在在 i, i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo) 代入上式得代入上式得 . 23232501522030580nmknmkmk1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 解得解得 k = 1, m = 0.5, n = 1 , 因此因此 i 到到 i 的坐標(biāo)變換公式的坐標(biāo)變換公式為為 . 2345155235zyxzzyxyyxx1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 例例 3.3 設(shè)設(shè) (a1, b1, c1

23、) 與與 (a2, b2, c2) 不成比例不成比例, 證明證明 在任意仿射坐標(biāo)系在任意仿射坐標(biāo)系 i 中中, 形如形如 f (a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z) = 0 的方程的圖像的方程的圖像 s 是柱面是柱面. 分析分析: 若若 s 在坐標(biāo)系中在坐標(biāo)系中 i 的方程為的方程為 f (x , y ) = 0, 則則 s 為柱面為柱面, 于是問題轉(zhuǎn)化為于是問題轉(zhuǎn)化為: 找到找到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換變換使得使得 s 在新坐標(biāo)系在新坐標(biāo)系i 中的方程為中的方程為f (x , y ) = 0. 1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 證明證明:

24、由于由于 (a1, b1, c1) 與與 (a2, b2, c2) 不成比例不成比例, 因此存在因此存在 a3, b3, c3 , 使得使得 333222111cbacbacbac是可逆矩陣是可逆矩陣. 設(shè)設(shè) , 3332312322211312111dddddddddc1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 作仿射坐標(biāo)系作仿射坐標(biāo)系 i : o; e1 , e2 , e3 , 使得使得 e1 , e2 , e3 在在 i 中的坐標(biāo)依次是中的坐標(biāo)依次是 c 1 的三個(gè)列向量的三個(gè)列向量. . zcybxazzcybxayzcybxax333222111 于是于是i 中方程為中方

25、程為 f (x , y ) = 0 的的柱面柱面在在 i 中的中的方程為方程為 f (a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z) = 0. 因此它就是因此它就是 s . 則則 i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為 c 1, 從而從而 i 到到 i 的過的過渡矩陣渡矩陣為為c, 注意到注意到 i 與與 i 有相同的原點(diǎn)有相同的原點(diǎn), 因此因此i 到到 i 的的 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式為為1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 注注: 平面平面坐標(biāo)變換中坐標(biāo)變換中過渡矩陣為二階矩陣過渡矩陣為二階矩陣. 點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式為的坐標(biāo)變換公式為 2222111

26、211dycxcydycxcx(3.2b) 向量向量的坐標(biāo)變換公式為的坐標(biāo)變換公式為 ycxcyycxcx22211211(3.1b) 1.3 過渡矩陣的性質(zhì)過渡矩陣的性質(zhì) 上頁 下頁 結(jié)束 1.4 代數(shù)曲面和代數(shù)曲線代數(shù)曲面和代數(shù)曲線 定義定義: 如果如果 f (x, y, z) 是是 x, y, z 的一個(gè)的一個(gè)多項(xiàng)式多項(xiàng)式, 則稱方程則稱方程 f (x, y, z) = 0 的圖像為的圖像為代數(shù)曲面代數(shù)曲面, 把把 f (x, y, z) 的次數(shù)的次數(shù)稱為這稱為這 個(gè)代數(shù)曲面的個(gè)代數(shù)曲面的次數(shù)次數(shù). 注注: (1) 次數(shù)次數(shù)的概念并的概念并不是純幾何的不是純幾何的, 代數(shù)曲面代數(shù)曲面 的

27、次數(shù)與方程有關(guān)的次數(shù)與方程有關(guān). 例如方程例如方程 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0 與與 x + y + z = 0 次數(shù)不同次數(shù)不同, 但表示但表示同一平面同一平面. 代數(shù)曲面代數(shù)曲面 上頁 下頁 結(jié)束 (2) 代數(shù)曲面代數(shù)曲面及其及其次數(shù)次數(shù)與與坐標(biāo)系坐標(biāo)系的選擇的選擇無關(guān)無關(guān). 如果一張代數(shù)曲面在坐標(biāo)系如果一張代數(shù)曲面在坐標(biāo)系 i 中的方程為中的方程為 f (x, y, z) = 0 , 當(dāng)從坐標(biāo)系當(dāng)從坐標(biāo)系 i 到坐標(biāo)系到坐標(biāo)系 i 作坐標(biāo)變換作坐標(biāo)變換 時(shí)時(shí), 多項(xiàng)式多項(xiàng)式 f (x, y, z) 變?yōu)楹瘮?shù)變?yōu)楹瘮?shù) g(x , y , z ) ,

28、 則則 g(x , y , z ) 也是多項(xiàng)式也是多項(xiàng)式, 且次數(shù)不會(huì)超過且次數(shù)不會(huì)超過 f (x, y, z) ; 反過來從反過來從 i 到到 i 的坐標(biāo)變換又把的坐標(biāo)變換又把 g(x , y , z ) 變?yōu)楹瘮?shù)變?yōu)楹瘮?shù) f (x, y, z), 從而從而 f (x, y, z) 的次數(shù)的次數(shù) 又不會(huì)超過又不會(huì)超過 g(x , y , z ), 于是于是 f (x, y, z) 與與 g(x , y , z ) 是同次多項(xiàng)式是同次多項(xiàng)式.1.4 代數(shù)曲面和代數(shù)曲線代數(shù)曲面和代數(shù)曲線 上頁 下頁 結(jié)束 問題問題: 空間中一個(gè)二次曲面和一張平面的交線空間中一個(gè)二次曲面和一張平面的交線 是什么曲

29、線是什么曲線? 設(shè)設(shè) s 是空間中的一個(gè)是空間中的一個(gè)二次曲面二次曲面, 它在坐標(biāo)系它在坐標(biāo)系 i 中的方程為中的方程為 f(x, y, z) = 0, 為平面為平面. 代數(shù)曲線代數(shù)曲線 定義定義: 如果在一個(gè)平面上如果在一個(gè)平面上 f (x, y) 是是 x, y 的一個(gè)的一個(gè)多項(xiàng)式多項(xiàng)式, 則稱方程則稱方程 f (x, y) = 0 的圖像為的圖像為代數(shù)曲線代數(shù)曲線, 把把 f (x, y) 的次數(shù)的次數(shù)稱為這稱為這 個(gè)代數(shù)曲線的個(gè)代數(shù)曲線的次數(shù)次數(shù). 以以 為為x o y 平面平面, 做一個(gè)新的坐標(biāo)系做一個(gè)新的坐標(biāo)系 i , 設(shè)從設(shè)從 i 到到 i 的坐標(biāo)變換的坐標(biāo)變換把把 f(x, y

30、, z) 變?yōu)樽優(yōu)?g(x , y , z ) .1.4 代數(shù)曲面和代數(shù)曲線代數(shù)曲面和代數(shù)曲線 上頁 下頁 結(jié)束 于是于是 s 與與 的交線的交線在在 i 的坐標(biāo)平面的坐標(biāo)平面x o y 上的上的 方程為方程為g(x , y , 0) = 0.顯然顯然, 它是它是次數(shù)不超過次數(shù)不超過 2 的代數(shù)曲線的代數(shù)曲線. 這樣上述問題的結(jié)論為這樣上述問題的結(jié)論為: 如果如果 s 與與 相交相交, 并且并且 交點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)交點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn), 則交線是二次曲線或者直線則交線是二次曲線或者直線. 則則 s 在在 i 中的方程為中的方程為g(x , y , z ) = 0, 而而 在在 i 中的方程為中的方程為

31、z = 0.1.4 代數(shù)曲面和代數(shù)曲線代數(shù)曲面和代數(shù)曲線 上頁 下頁 結(jié)束 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 定義定義: 對(duì)對(duì) n 階實(shí)矩陣階實(shí)矩陣 a, 若若 a 1 = at, 則稱則稱 a 為為 正交矩陣正交矩陣. 性質(zhì)性質(zhì): (4) a 是正交矩陣是正交矩陣 a 的各行的各行(列列)元素的平方和元素的平方和等于等于1, 不同兩行不同兩行(列列)對(duì)應(yīng)元素乘積之和為零對(duì)應(yīng)元素乘積之和為零.(3) 正交矩陣正交矩陣的的逆矩陣逆矩陣和和轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣仍是仍是正交矩陣正交矩陣; 正交矩陣正交矩陣 (2) 兩個(gè)兩個(gè)正交矩陣的乘積正交矩陣的乘積仍是仍是正交矩陣正交矩陣; (1) 若若a 是正交矩陣

32、是正交矩陣, 則則|a| = 1 或或 |a| = 1;上頁 下頁 結(jié)束 命題命題 3.2 兩個(gè)兩個(gè)直角坐標(biāo)系之間的過渡矩陣直角坐標(biāo)系之間的過渡矩陣是是正正 交矩陣交矩陣. 證明證明: 設(shè)設(shè) i: o; e1, e2, e3 和和 i : o ; e1 , e2 , e3 是是 空間中的兩個(gè)直角坐標(biāo)系空間中的兩個(gè)直角坐標(biāo)系, i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為 . 333231232221131211cccccccccc 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 因?yàn)橐驗(yàn)?i 是直角坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系, c 的各個(gè)列向量的各個(gè)列向量依次是依次是 e1 ,

33、 e2 , e3 在在 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo), 所以它們之間的內(nèi)積為所以它們之間的內(nèi)積為ei ej = c1ic1j + c2ic2j + c3ic3j , i, j = 1, 2, 3. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?i 是直角坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系, 所以所以 c1ic1j + c2ic2j + c3ic3j = ei ej = 1, i = j , 0, i j , 于是于是 ctc = 332313322212312111eeeeeeeeeeeeeeeeee.e 1000100011.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 注注: 命題命題3.2也適用于平面的情況也適用于平面的情況, 即即兩個(gè)平面

34、直兩個(gè)平面直 角坐標(biāo)系之間的過渡矩陣是二階正交矩陣角坐標(biāo)系之間的過渡矩陣是二階正交矩陣.對(duì)二階正交矩陣對(duì)二階正交矩陣 , 22211211ccccc有有 1222212222221212211221211 ccccccccc11c12 + c12c22 = c11c21 + c21c22 = 0.于是于是 |c11| = |c22|, |c12| = |c21|. 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 根據(jù)上面的關(guān)系根據(jù)上面的關(guān)系, 取角取角 , 使得使得cos = c11, sin = c21. 此時(shí)此時(shí)c12 = sin , 并且并且 當(dāng)當(dāng) c12 = sin 時(shí)時(shí), c22

35、 = cos ; 當(dāng)當(dāng) c12 = sin 時(shí)時(shí), c22 = cos . 于是二階正交矩陣只有下面兩種形式于是二階正交矩陣只有下面兩種形式: .cossinsincos,cossinsincos 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè)設(shè) i: o; e1, e2 和和 i : o ; e1 , e2 是平面上兩個(gè)是平面上兩個(gè)直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系, 且且o , e1 , e2 在在 i 中的坐標(biāo)分別為中的坐標(biāo)分別為 (d1, d2), (c11, c21), (c12, c22), 則有則有 c11 = e1 e1 = cos e1, e1 , c21 = e2 e1 = co

36、s e2, e1 , c12 = e1 e2 = cos e1, e2 , c22 = e2 e2 = cos e2, e2 . 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 設(shè)設(shè) 是是e1 到到 e1 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角, 0 2 . (1) 若若 i 和和 i 都是右手直角坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系, 則則 c11 = cos e1, e1 = cos , c21 = cos e2, e1 = sin , c12 = cos e1, e2 = sin , c22 = cos e2, e2 = cos , e1 e2 e1 e2 從而從而 i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為 ,cossin

37、sincos c |c| = 1.1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 (2) 若若 i 和和 i 都是左手直角坐標(biāo)系都是左手直角坐標(biāo)系, 則則 c11 = cos e1, e1 = cos , c21 = cos e2, e1 = sin , c12 = cos e1, e2 = sin , c22 = cos e2, e2 = cos , 從而從而 i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為 ,cossinsincos c |c| = 1.e1 e2 e1 e2 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 (3) 若若 i 是是右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系, i 是左手系

38、是左手系, 則則 c11 = cos e1, e1 = cos , c21 = cos e2, e1 = sin , c12 = cos e1, e2 = sin , c22 = cos e2, e2 = cos , 從而從而 i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為 ,cossinsincos c |c| = 1.e1 e2 e1 e2 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 (4) 若若 i 是是左手直角坐標(biāo)系左手直角坐標(biāo)系, i 是右手系是右手系, 則則 c11 = cos e1, e1 = cos , c21 = cos e2, e1 = sin , c12 = cos e1

39、, e2 = sin , c22 = cos e2, e2 = cos , 從而從而 i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為 ,cossinsincos c |c| = 1.e1 e2 e1 e2 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 注注: (1) 平面平面(或空間或空間)的兩個(gè)坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)系, 如果它們?nèi)绻鼈兌际怯沂窒刀际怯沂窒? 或者或者都是左手系都是左手系, 則稱它們是則稱它們是同定同定 向向的的; 如果如果一個(gè)是右手系一個(gè)是右手系, 另一個(gè)是左手系另一個(gè)是左手系, 則則稱它們是稱它們是反定向反定向的的.命題命題: 設(shè)設(shè) i, i 都是平面都是平面(或空間或空間)的

40、的直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系, i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為c, 則則i 和和 i 同定向同定向 |c| = 1; i 和和 i 反定向反定向 |c| = 1. 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 (2) 設(shè)設(shè) i 和和 i 都是平面都是平面右手直角右手直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系, 由上面由上面分析可知分析可知, i 到到 i 的坐標(biāo)變換公式的坐標(biāo)變換公式為為 ,cossinsincos 21ddyxyx即即.cossinsincos 21dyxydyxx1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 ,cossinsincos yxyx(i) 當(dāng)當(dāng) i 與與 i 的原點(diǎn)重合的原

41、點(diǎn)重合時(shí)時(shí), i 可由可由 i 繞原點(diǎn)逆繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角角得到得到, 這樣的的坐標(biāo)變換稱為這樣的的坐標(biāo)變換稱為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸變換軸變換, (簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸), 其其坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式為為即即.cossinsincos yxyyxx1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 , 21ddyxyx(ii) 當(dāng)當(dāng) = 0 時(shí)時(shí), i 到到 i 的過渡矩陣的過渡矩陣為為二階單位矩二階單位矩陣陣, 此時(shí)此時(shí), 兩個(gè)坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)向量相同坐標(biāo)向量相同, 僅僅原點(diǎn)不原點(diǎn)不同同, i 可由可由 i 沿沿oo 的方向平移的方向平移|oo |的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度得到得到, 這樣的的坐標(biāo)變

42、換稱為這樣的的坐標(biāo)變換稱為移軸變換移軸變換, (簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為移軸移軸), 其其坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式為為即即. 21dyydxx1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 上述分析也表明上述分析也表明, 平面任一右手直角坐標(biāo)變換平面任一右手直角坐標(biāo)變換 都可以經(jīng)過移軸和轉(zhuǎn)軸得到都可以經(jīng)過移軸和轉(zhuǎn)軸得到, 即對(duì)于右手直角坐即對(duì)于右手直角坐標(biāo)系標(biāo)系i: o; e1, e2 和和 i : o ; e1 , e2 , 有有 i: o; e1, e2 o ; e1, e2 i : o ; e1 , e2 移軸移軸 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 i: o; e1, e2 o; e1 , e2 i : o ; e1

43、, e2 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸 移軸移軸 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 在在 n = 2, 3 時(shí)時(shí), 過渡矩陣的列向量過渡矩陣的列向量代表了進(jìn)行代表了進(jìn)行 坐標(biāo)變換之后新坐標(biāo)系坐標(biāo)變換之后新坐標(biāo)系 i 中坐標(biāo)向量在舊坐標(biāo)中坐標(biāo)向量在舊坐標(biāo) 系系 i 中的坐標(biāo)中的坐標(biāo), 正交矩陣正交矩陣的的各行各行(列列)元素的平方元素的平方和等于和等于1, 不同兩行不同兩行(列列)對(duì)應(yīng)元素乘積之和為零對(duì)應(yīng)元素乘積之和為零, 于是于是 正交矩陣正交矩陣的幾何意義的幾何意義 二階正交矩陣二階正交矩陣必然可作為某必然可作為某平面直角坐標(biāo)變換平面直角坐標(biāo)變換的的過渡矩陣過渡矩陣.三階正交矩陣三階正交矩陣必

44、然可作為某必然可作為某空間直角坐標(biāo)變換空間直角坐標(biāo)變換的的過渡矩陣過渡矩陣.1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 例例 3.4 在平面上在平面上, 設(shè)設(shè) x , y 軸在原坐標(biāo)系中的方程軸在原坐標(biāo)系中的方程 分別為分別為: 3x 4y + 1 = 0, 4x + 3y 7 = 0, 且新、舊坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系且新、舊坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系. 求求 i 到到 i 的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式的點(diǎn)的坐標(biāo)變換公式; 直線直線 l1: 2x y + 3 = 0 在新在新 坐標(biāo)系中的方程坐標(biāo)系中的方程; 直線直線 l2: x + 2y 1 = 0 在原坐在原坐 標(biāo)系中的方程標(biāo)系中的方程.解解

45、: 設(shè)原坐標(biāo)系為設(shè)原坐標(biāo)系為 i: o; e1, e2, 新坐標(biāo)系為新坐標(biāo)系為 i : o ; e1 , e2 .1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 解方程組解方程組 3x 4y + 1 = 0, 4x + 3y 7 = 0,得得 x = 1, y = 1. 因此因此 o 在在 i 中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為 (1, 1). 因?yàn)橐驗(yàn)?x 軸的標(biāo)準(zhǔn)方程為軸的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,3431yx 因此因此 x 軸的方向向量為軸的方向向量為 (4, 3), 于是于是 e1 在在 i 中的中的 坐標(biāo)為坐標(biāo)為 , 5354 或者或者 , 5354 1.5 直角坐標(biāo)變換直角坐標(biāo)變換 上頁 下頁 結(jié)束 取取 5354 ,為為 e1 在在 i 中坐標(biāo)中坐標(biāo), 可得由可得由 i 到到 i 的坐的坐標(biāo)變換公式標(biāo)變換公式為為 . 1154535354yxyx直線直線 l1: 2