第一節(jié)二重積分概念

1、第九章一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分重 積 分 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例一、引例 二、二重積分的定義與可積性二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算 二重積分的概念與性質(zhì) 第九章 解法解法: 類似定積分解決問題的思想:一、引例一、引例1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域 d頂頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)面：以 d 的邊界為準線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” d),

2、(yxfz d),(yxfz 1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分d為 n 個區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“常代變”在每個k, ),(kk3)“近似和”nkkvv1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfvkkkk則中任取一點小曲頂柱體k),(kk4)“取極限”的直徑為定義kkk,pppp2121max)(令)(max1knknkkkkfv10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk2. 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 d ,),(cyx計算該薄片的質(zhì)量 m .度為),(),(常數(shù)若yx設(shè)d 的面積為 , 則

3、m若),(yx非常數(shù) , 仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分d 為 n 個小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .dyx2)“常代變”中任取一點k在每個),(kk3)“近似和”nkkmm1nkkkk1),(4)“取極限”)(max1knk令nkkkkm10),(limk),(kk),2, 1(),(nkmkkkk則第 k 小塊的質(zhì)量yx兩個問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfv10),(limnkkkkm10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 二、

4、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性定義定義:),(yxf設(shè)將區(qū)域 d 任意分成 n 個小區(qū)域),2,1(nkk任取一點,),(kkk若存在一個常數(shù) i , 使nkkkkfi10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱dyxfd),(),(yxfi為稱在d上的二重積分二重積分.稱為積分變量yx,積分和dyxfd),(積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 d上的有界函數(shù) , dyxfvd),(引例1中曲頂柱體體積:dyxmd),(引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在d上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作.dd),(dyxyxf,kkkyx 這時分區(qū)域d ,

5、因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃 記作dyxyxfdd),(dyxyxdd),(二重積分存在定理二重積分存在定理:若函數(shù)),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在則dyxf),(證明略)定理1.在d上可積可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 d上連續(xù), 則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 d 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在d :10 x10 y上二重積分存在 ;yxyxf1),(但在d 上 y1xo1d二重積分不存在 . 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)dyxfkd),(. 1( k 為常數(shù))dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d)

6、,(. 3dddyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfd上若在dddd1 為d 的面積, 則 ),(2121無公共內(nèi)點ddddddyxfkd),(ddyxgyxfd),(d),(特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfdyxfd),(則dyxfd),(dyxd),(5. 若在d上),(yxf, ),(yxdyxfd),(6. 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfmddd 的面積為 ,myxfmdd),(則有7.(二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(d),(),(fdyxfd證證: 由性質(zhì)6 可知,myxfmdd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點d),(dyxffd

7、),(1),(),(d),(fyxfd在閉區(qū)域d上 為d 的面積 ,則至少存在一點使使連續(xù),因此例例1. 比較下列積分的大小:d)(,d)(32ddyxyx其中2) 1()2( :22yxd解解: 積分域 d 的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與 x 軸交于點 (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 d 位, 1 yx從而d)(d)(32ddyxyx于直線的上方, 故在 d 上 1y2xo1d例例2. 判斷積分yxyxyxdd1432222的正負號.解解: 分積分域為,321ddd則原式 =yxyxddd11322yxyxddd12322yxyxddd1332

8、21dddyxyxddd1333)34(2323d32d11dyxo0)21 (3猜想結(jié)果為負 但不好估計 .舍去此項例例3. 估計下列積分之值10:coscos100ddi22yxdyxyxd解解: d 的面積為200)210(2由于yx22coscos1001積分性質(zhì)5100200i102200即: 1.96 i 210101010d10011021xyoxyo d例例4. 設(shè)函數(shù)),(yxfd 位于 x 軸上方的部分為d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf當區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時, 仍1d

9、在 d 上d),(21dyxf在閉區(qū)域上連續(xù), 域d 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有1:,221 yxdd 為圓域如dyxyxdd)(22dyxyxdd)(1dd)(422dyxyx0 xbad 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxd)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為dyxfvd),(yyxfxaxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxad )(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xdydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxd),

10、()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算dyxfvd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd例例4. 求兩個底圓半徑為r 的直角圓柱面所圍的體積.xyzrro解解: 設(shè)兩個直圓柱方程為,222ryx利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為yxxrvddd822220dxryxxrrd)(80223316r222rzx22xrz 00:),(22rxxrydyxxxrrd8022222ryx222rzxd內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性

11、質(zhì) (與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法被積函數(shù)相同, 且非負, 思考與練習思考與練習yxyxiyxdd1122yxyxiyxdd12yxyxidd11113解解: 321,iii由它們的積分域范圍可知312iii11xyo1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:2. 設(shè)d 是第二象限的一個有界閉域 , 且 0 y 1, 則,d31dxyi,d322dxyidxyid3213的大小順序為 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321iiidiiiciiibiiia提示: 因 0 y 1, 故;212yyyd故在d上有, 03x又因323321xyxyxyyox1d3. 計算

12、.dd)(sin2200yxyxi解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyid)(sind2200024. 證明:, 2d)cossin(122dyx其中d 為.10, 10yx解解: 利用題中 x , y 位置的對稱性, 有d)cossin(22dyxd)cossin(d)cossin(222221ddxyyxd)cossin(d)cossin(222221ddyyxxd)cossin(22dxxd)sin(242dx,1)sin(,1042212xx又 d 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .yox1d15 . 04 . 0i備用題備用題1. 估計 的值, 其中 d 為dxyyxi162d22. 20, 10yx解解: 被積函數(shù)