控制工程基礎(chǔ)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制工程基礎(chǔ)

1、2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）1控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）2n物理系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述數(shù)學(xué)模型物理系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述數(shù)學(xué)模型n建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟n非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化n拉普拉斯變換拉普拉斯變換n控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n系統(tǒng)方塊圖及其變換系統(tǒng)方塊圖及其變換n系統(tǒng)信號(hào)流圖系統(tǒng)信號(hào)流圖2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）3n微分方程是在時(shí)間域里描述控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型。微分方程是在時(shí)間域里描述控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型。n在給定外作用及初始條件下

2、，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出特性；在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出特性；這種方法比較直觀，特別是借助于計(jì)算機(jī)，可迅速準(zhǔn)確地求得結(jié)果。這種方法比較直觀，特別是借助于計(jì)算機(jī)，可迅速準(zhǔn)確地求得結(jié)果。然而不用計(jì)算機(jī)，則求解微分方程，特別是高階微分方程的計(jì)算工作然而不用計(jì)算機(jī)，則求解微分方程，特別是高階微分方程的計(jì)算工作相當(dāng)復(fù)雜。相當(dāng)復(fù)雜。n在時(shí)間域里直接求解微分方程，難于找出微分方程的系數(shù)（在時(shí)間域里直接求解微分方程，難于找出微分方程的系數(shù)（由組成系由組成系統(tǒng)的元件的參數(shù)決定統(tǒng)的元件的參數(shù)決定）對(duì)方程解（）對(duì)方程解（一般為系統(tǒng)的被控制量一般為系統(tǒng)的被控制量輸出量輸出量）影響

3、的一般規(guī)律。影響的一般規(guī)律。n一旦求得的結(jié)果不滿足要求，便無(wú)法從解中找出改進(jìn)方案（一旦求得的結(jié)果不滿足要求，便無(wú)法從解中找出改進(jìn)方案（如何調(diào)整如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)）。因此這種方法）。因此這種方法不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）4n工程技術(shù)上常用傅立葉方法分析線性系工程技術(shù)上常用傅立葉方法分析線性系統(tǒng)，因?yàn)槿魏沃芷诤瘮?shù)都可展開(kāi)為含有統(tǒng)，因?yàn)槿魏沃芷诤瘮?shù)都可展開(kāi)為含有許多正弦分量的傅氏級(jí)數(shù)，而任何非周許多正弦分量的傅氏級(jí)數(shù)，而任何非周期函數(shù)可表示為傅氏積分，從而可將一期函數(shù)可表示為傅氏積分，從而可將一個(gè)時(shí)

4、間域的函數(shù)變換為頻率域的函數(shù)個(gè)時(shí)間域的函數(shù)變換為頻率域的函數(shù)傅立葉變換。傅立葉變換。n工程實(shí)踐中，常用的一些函數(shù)，如階躍工程實(shí)踐中，常用的一些函數(shù)，如階躍函數(shù)，它們往往不能滿足傅氏變換的條函數(shù)，它們往往不能滿足傅氏變換的條件，如果對(duì)這種函數(shù)稍加處理，一般都件，如果對(duì)這種函數(shù)稍加處理，一般都能進(jìn)行傅氏變換，因而也就引入了拉普能進(jìn)行傅氏變換，因而也就引入了拉普拉斯變換。拉斯變換。n拉普拉斯變換是求解線性微分方程的簡(jiǎn)拉普拉斯變換是求解線性微分方程的簡(jiǎn)捷工具，同時(shí)也是建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的捷工具，同時(shí)也是建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。n拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義n常用函數(shù)的拉普拉斯變換常

5、用函數(shù)的拉普拉斯變換n拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)n常見(jiàn)函數(shù)拉普拉斯變換表常見(jiàn)函數(shù)拉普拉斯變換表n拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換n利用拉氏變換解微分方程利用拉氏變換解微分方程2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）5 dtetftffftj deffftftj211傅立葉變換：傅立葉變換：傅立葉反變換：傅立葉反變換：2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）6n以時(shí)間以時(shí)間t t為自變量、定義域?yàn)闉樽宰兞?、定義域?yàn)閠 t 0 0的的函數(shù)函數(shù)f f（t t）的拉氏變換定義為：）的拉氏變換定義為：式中：式中：s s為復(fù)變量，為復(fù)變量，s s j j ；n一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù)

6、f f（t t）可以進(jìn)行拉氏變換的充分條件（狄里赫利條件）是：）可以進(jìn)行拉氏變換的充分條件（狄里赫利條件）是：q在在t0t0時(shí)，時(shí)，f f（t t）0 0；q在在t t 0 0的任一有限區(qū)間內(nèi)，的任一有限區(qū)間內(nèi)，f f（t t）是分段連續(xù)的；）是分段連續(xù)的；q積分積分 。即。即f f（t t）為指數(shù)級(jí)的。）為指數(shù)級(jí)的。n在工程實(shí)際中，上述條件通常是滿足的。在工程實(shí)際中，上述條件通常是滿足的。f f（s s）稱為象函數(shù)，）稱為象函數(shù)，f f（t t）稱為原函數(shù)。稱為原函數(shù)。 dtetfsftflst0 dtetft02021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）7n單位階躍函數(shù)：?jiǎn)挝浑A躍函

7、數(shù)：n單位階躍函數(shù)的拉氏變換：n幅度為a的階躍函數(shù)的拉氏變換為：0, 10, 0)(tttussedtedtetutulsfststst1)()()(000sadtetautaulsfst0)()()(t10u(t)2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）8n單位脈沖函數(shù)：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)：（幅值（幅值1/t1/t0 0與作用時(shí)間與作用時(shí)間t t0 0的乘積等于的乘積等于1 1）n單位脈沖函數(shù)的拉氏變換：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)的拉氏變換：n當(dāng)沖擊函數(shù)的幅值為當(dāng)沖擊函數(shù)的幅值為a/ta/t0 0，與作用時(shí)間的乘積等于，與作用時(shí)間的乘積等于a a時(shí)：時(shí)：000001limtt00)(0tttttt和

8、11lim11lim1lim1lim)()(00000000000000000000ssstdtdedtdestsetdtettlsfsttstttstttsttt1/t00(t)t0atalsf)()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）9n單位斜坡函數(shù)：?jiǎn)挝恍逼潞瘮?shù)：n單位斜坡函數(shù)的拉氏變換：?jiǎn)挝恍逼潞瘮?shù)的拉氏變換：n斜率為斜率為a a的斜坡函數(shù)的拉氏變換為：的斜坡函數(shù)的拉氏變換為：0,0, 0)(ttttf2000011|)()(sdtesstedestdttetflsfstststst20)()(sadtatetaflsfstt10f(t)12021-11-14第三講

9、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）10n指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：n指數(shù)函數(shù)的拉氏變換：指數(shù)函數(shù)的拉氏變換：atetf)(asdtedteeelsftasstatat1)(0)(02021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）11n正弦函數(shù)：正弦函數(shù)：n正弦函數(shù)的拉氏變換：正弦函數(shù)的拉氏變換：n余弦函數(shù)余弦函數(shù)的拉氏變換：的拉氏變換：ttfsin)(220)(0)(011212121sinsin)(sjsjsjdtejdtejdttetlsftjstjsst220coscos)(ssdttetlsfsttjtetjtetjtjsincossincos2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）1

10、2-線性定理線性定理q若若g g（t t）f f1 1（t t）f f2 2（t t），）， 則則 g g（s s）f f1 1（s s）f f2 2（s s）即函數(shù)之和的拉氏變換等于各函數(shù)拉氏變換之和。即函數(shù)之和的拉氏變換等于各函數(shù)拉氏變換之和。q若若g g（t t）a af f（t t），）， 則則 g g（s s）a af f（s s）即函數(shù)的即函數(shù)的a a（實(shí)數(shù)）倍的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換的（實(shí)數(shù)）倍的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換的a a倍。倍。2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）13-衰減定理衰減定理q若若g g（t t）f f（t t）e eatat， 則則 g g（

11、s s）f f（s sa a）。）。a a為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù))()()()(0)(0asfdtetfdtetfetfeltasstatat2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）14-延遲定理延遲定理n若若g g（t t）f f（t ta a），）， 則則g g（s s）e easasf f（s s）。）。即一個(gè)函數(shù)是另一個(gè)函數(shù)延時(shí)即一個(gè)函數(shù)是另一個(gè)函數(shù)延時(shí)a a后再現(xiàn)，則它的象函后再現(xiàn)，則它的象函數(shù)是另一個(gè)函數(shù)象函數(shù)的數(shù)是另一個(gè)函數(shù)象函數(shù)的e easas倍。倍。)()()()()()(00sfeadefatdteatfatflasasst2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（

12、2）15-比例定理比例定理n若若 g g（t t）f f（t/at/a），）， 則則 g g（s s）afaf（asas）。）。即若一個(gè)函數(shù)在時(shí)間上展寬（或壓縮）即若一個(gè)函數(shù)在時(shí)間上展寬（或壓縮）a a倍，則它的象函倍，則它的象函數(shù)在復(fù)平面上向原點(diǎn)將收縮（或伸展）數(shù)在復(fù)平面上向原點(diǎn)將收縮（或伸展）a a倍。當(dāng)倍。當(dāng)a1a1a1時(shí)，時(shí)， g g（t t）將被壓縮。）將被壓縮。)()()/()/(00asafdaefatdteatfatflsast2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）16-時(shí)間時(shí)間t乘函數(shù)乘函數(shù)f（t） dssdfttfl)()()()()()()(000ttfld

13、tettfdttfesdtetfdsddssdfststst2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）17-微分定理微分定理n若若 ， 則則 。n當(dāng)初始條件當(dāng)初始條件f f（0 0）0 0時(shí)，時(shí)，g g（s s）s sf f（s s）。）。ssgsfdtetfdtdssftdfsesetfdestfdtetfsfststststst)()0()(1)0()(|)(1)()()(00000dttdftg)()()0()()(fssfsg2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）18-微分定理微分定理n若若 ， 則則n當(dāng)當(dāng)f f（0 0）0 0，f f（1 1）（0 0）0 0

14、，f f（n n1 1）（0 0）0 0時(shí)，時(shí)，nndttfdtg)()()0()0(.)0()()()1()2(1nnnnfsffssfssg)()(sfssgn2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）19-積分定理積分定理n若若 ， 則則 。n當(dāng)初始條件當(dāng)初始條件g g（0 0）0 0時(shí)，時(shí)， 。dttftg)()(sgssfsg)0()()(ssfsg)()( 01000)()0()(|)(1)()()(ssfsfdttfsesedttfdesdttfdtedttfdttflstststst2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）20-積分定理積分定理n若若 則則

15、qf f1 1（0 0） 在在t t0 0處的值；處的值；qf f2 2（0 0） 在在t t0 0處的值；處的值； ndttftg)(.)(sfsfsfssfsgnnnn)0(.)0()0()()(121dttf)(2)(dttf2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）21-初值定理初值定理n若函數(shù)若函數(shù)f f（t t）在）在t t0 0處無(wú)脈沖處無(wú)脈沖分量，則函數(shù)的初值為：分量，則函數(shù)的初值為：)(lim)0()(lim0ssfftfst)0()(lim0)0()(lim)(lim0fssffssfdtedttdfsssts2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）2

16、2-終值定理終值定理n若函數(shù)若函數(shù)f f（s s）在虛軸及右半平面沒(méi)有極點(diǎn)，但極限存在，）在虛軸及右半平面沒(méi)有極點(diǎn)，但極限存在，則原函數(shù)的終值為：則原函數(shù)的終值為：)(lim)()(lim0ssfftfst)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()0()(lim)(lim000000fssfftffssfdtdttdffssfdtedttdfstsssts2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）23-卷積定理卷積定理n若函數(shù)若函數(shù)f f1 1（t t）與）與f f2 2（t t）當(dāng)）當(dāng)t0t0時(shí)都等于零，則稱積分時(shí)都等于零，則稱積分 為為f f1 1（t t）卷積）卷積

17、f f2 2（t t），記作），記作f f1 1（t t）* *f f2 2（t t）；）； 同樣稱積分同樣稱積分 為為f f2 2（t t）卷積）卷積f f1 1（t t），記作），記作f f2 2（t t）* *f f1 1（t t）。）。n若若f f1 1（t t）與）與f f2 2（t t）均滿足狄里赫利條件，則卷積的拉氏變換等于兩函數(shù)拉）均滿足狄里赫利條件，則卷積的拉氏變換等于兩函數(shù)拉氏變換之積。即氏變換之積。即tdftf021)()(tdftf012)()( )()()()()()()(*)()()()()()(*)(21121212212121sfsfsfsftfltfltftf

18、lsfsftfltfltftfl2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）24-卷積定理卷積定理 )()()()()()( 1 )()()( 1 )()()( 1 )()()()(*)(210201002)(1002102102121sfsfdefdeftdefdtettfdtedfttfdfttfldftfltftflssstsstt 2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）25 22)(1111)( 11)(asteaseststtatat)(1)(1)(!,.)3 , 2 , 1(!,.)3 , 2 , 1(cossin112222bsaseeabasnnetsnn

19、tsststbtatnatnnn2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）26 )(1)1(1)(cos)(sin)(1)(111)()(1222222asseataasasteastebsassaebebaabbsassaebeabatatatbtatatbt)2(1,1arctan)1sin(11121,1arctan)1sin(11211sin12222222222222222nnnntnnntnnnntnssstessstesstennn2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）27n由拉氏變換的象函數(shù)由拉氏變換的象函數(shù)f f（s s）求原函數(shù)）求原函數(shù)f f（t

20、t）的運(yùn)算稱拉氏反）的運(yùn)算稱拉氏反變換。變換。n求解復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。求解復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。n對(duì)于大多數(shù)控制系統(tǒng)，可避免積分，而是利用部分分式展開(kāi)，對(duì)于大多數(shù)控制系統(tǒng)，可避免積分，而是利用部分分式展開(kāi)，化象函數(shù)為拉氏變換表中包含的形式，查表得到原函數(shù)?；蠛瘮?shù)為拉氏變換表中包含的形式，查表得到原函數(shù)。jcjcstdsesfjsfltf)(21)()(12021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）28n在控制系統(tǒng)中，拉氏變換在控制系統(tǒng)中，拉氏變換f f（s s）可寫成下列一般形式：）可寫成下列一般形式：n因式分解：因式分解：n只包含不同實(shí)極點(diǎn)的情況只包含不同實(shí)極點(diǎn)的情況n包含共軛

21、復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況n包含多重極點(diǎn)的情況包含多重極點(diǎn)的情況nmasasasabsbsbsbsasbsfnnnnmmmm,.)()()(01110111nmpspspszszszsksasbsfnm,).()().()()()()(21212021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）29只包含不同實(shí)極點(diǎn)（只包含不同實(shí)極點(diǎn)（1）n實(shí)例：實(shí)例：)( 1.)()()(.)(21212211teaeaeatfpssfapsapsapsapsasftpntptppskknnkknk233)(2ssssf2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）30只包含不同實(shí)極點(diǎn)（只包含

22、不同實(shí)極點(diǎn)（2） )( 1 )2()21()12()(2112)(21)2)(1(3)(233)(211212teeslsltfsssfsasassssfssssftt2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）31包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（1） n實(shí)例：實(shí)例：11)()()(.)()(2121332121pspsnnpspssfasapsapsapspsasasfsssssf231)(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）32包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（2） )( 1)23sin3323cos1 ()()23()21(2333)23()21(211)(

23、11)()2321)(2321(1) 1(11)(212122222223ttetetfsssssfsssssfjsjssssssssssssftt2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）33包含多重極點(diǎn)（包含多重極點(diǎn)（1）tpkkpsrrrpsrjjjrpsrrpsrrnnrrrrrrrrektpslpssfdsdrapssfdsdjapssfdsdapssfapsapsapsapsapsapsasf11111)!1()(1)()()!1(1.)()(!1.)()()()(.)()()(1111111111122111111112021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）

24、34包含多重極點(diǎn)（包含多重極點(diǎn)（2） )( 1)()(11) 1(2)(1) 1() 1()() 1(32)(231223332teettfsssfsasasasfssssftt2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）35n考慮初始條件，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，將時(shí)域的微分方程變換考慮初始條件，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，將時(shí)域的微分方程變換為為s s域的代數(shù)方程。域的代數(shù)方程。n求解代數(shù)方程，得到微分方程在求解代數(shù)方程，得到微分方程在s s域的解。域的解。n求求s s域的拉氏反變換，即得到微分方程的解。域的拉氏反變換，即得到微分方程的解。微分方程微分方程解（解（t域）域）求解代數(shù)方程

25、代數(shù)方程解（解（s域）域）求解正變換反變換2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）36n例：例：n求解：求解：2)0(, 2)0(, 66522yyydtdydtydtteetysssssssssyssyyssyysysys3222451)(34251)3)(2(6122)(6)(6)0()(5)0()0()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）37n物理系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述數(shù)學(xué)模型物理系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述數(shù)學(xué)模型n建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟n非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化n拉普拉斯變換拉普拉斯變換n控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n

26、系統(tǒng)方塊圖及其變換系統(tǒng)方塊圖及其變換n系統(tǒng)信號(hào)流圖系統(tǒng)信號(hào)流圖2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）38n對(duì)一個(gè)線性定常系統(tǒng)（或元件），在對(duì)一個(gè)線性定常系統(tǒng)（或元件），在零初始條件下零初始條件下，輸，輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換的比值，叫做出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換的比值，叫做該系統(tǒng)（或該元件）的該系統(tǒng)（或該元件）的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)。nr-l-cr-l-c電路的傳遞函數(shù)電路的傳遞函數(shù)n機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）39n微分方程：

27、微分方程：n設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：nr-l-cr-l-c電路的傳遞函數(shù)：電路的傳遞函數(shù)：)()()()(22tutudttdurcdttudlcrccc)()()()(2sususrcsusulcsrccc11)()()(2rcslcssususgrc2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）40n微分方程：微分方程：n設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：kfydtdykdtydkm22)(1)()()(2sfksyssyksyskm11)()()(2skskmksfs

28、ysg2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）41n微分方程：微分方程：n設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：ukdtddtdtem22)(12233llmemlmmdtdmtkukdtddtdtdtdtt)()()(2suksssstem) 1()()()(2stsksstksussgmmmm2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）42n在在拉氏變換拉氏變換的基礎(chǔ)上，引入描述線性定常系統(tǒng)（或元件）的基礎(chǔ)上，引入描述線性定常系統(tǒng)（或元件）在在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)，不僅可以表征系

29、統(tǒng)的，不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以借以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系動(dòng)態(tài)性能，而且可以借以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。統(tǒng)性能的影響。n在經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的在經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的頻率法頻率法和和根軌跡法根軌跡法，都是在，都是在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。n一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì)n典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）43n一般系統(tǒng)的微分方程：一般系統(tǒng)的微分方程：n拉氏變換（零初始條件）：拉氏變換（零初始條件）：n系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：nd(

30、s)d(s)特征多項(xiàng)式；系統(tǒng)的階次為特征多項(xiàng)式；系統(tǒng)的階次為n n。)().()().(01110111srbsbsbsbsyasasasammmmnnnnmntrbtrbtrbtrbtyatyatyatyammmmnnnn),()(.)()()()(.)()(0)1 (1)1(1)(0)1 (1)1(1)()()(.)()()(01110111sdsnasasasabsbsbsbsrsysgnnnnmmmm2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）44n系統(tǒng)的輸入輸出與傳遞函數(shù)的關(guān)系：系統(tǒng)的輸入輸出與傳遞函數(shù)的關(guān)系：n傳遞函數(shù)的方塊圖：傳遞函數(shù)的方塊圖：)()()(srsgsyg(

31、s)r(s)y(s)傳遞函數(shù)的方塊圖傳遞函數(shù)的方塊圖 2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）45n系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)也是描述其動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型的一系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)也是描述其動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型的一種，它和系統(tǒng)（元件）的運(yùn)動(dòng)方程式是相互種，它和系統(tǒng)（元件）的運(yùn)動(dòng)方程式是相互一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)的。若給定的。若給定了系統(tǒng)（或元件）的運(yùn)動(dòng)方程式，則與之對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)了系統(tǒng)（或元件）的運(yùn)動(dòng)方程式，則與之對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)便可唯一地確定。便可唯一地確定。n傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的傳遞能力，是系統(tǒng)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的傳遞能力，是系統(tǒng)固有的特性固有的特性，與輸

32、入信號(hào)類型及大小無(wú)關(guān)，與初始條件無(wú)關(guān)。與輸入信號(hào)類型及大小無(wú)關(guān)，與初始條件無(wú)關(guān)。n傳遞函數(shù)和微分方程一樣，是從實(shí)際物理系統(tǒng)中抽象出來(lái)的，它傳遞函數(shù)和微分方程一樣，是從實(shí)際物理系統(tǒng)中抽象出來(lái)的，它只反映系統(tǒng)中輸出信號(hào)和輸入信號(hào)之間的變化規(guī)律，而只反映系統(tǒng)中輸出信號(hào)和輸入信號(hào)之間的變化規(guī)律，而不表征系不表征系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）46n不同物理結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，可以有相同的傳遞函數(shù)。同一個(gè)不同物理結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，可以有相同的傳遞函數(shù)。同一個(gè)系統(tǒng)中，不同物理量之間對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)也不相同。系統(tǒng)中，不同物理量之間對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)也不相同。n由于傳遞函數(shù)的分子分

33、母多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)是由系統(tǒng)的由于傳遞函數(shù)的分子分母多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)是由系統(tǒng)的物理參數(shù)組成的，而物理參數(shù)總是實(shí)數(shù)，所以各多項(xiàng)式物理參數(shù)組成的，而物理參數(shù)總是實(shí)數(shù)，所以各多項(xiàng)式的的系數(shù)均為實(shí)數(shù)系數(shù)均為實(shí)數(shù)。n由于實(shí)際系統(tǒng)總是有慣性的，且系統(tǒng)信號(hào)的能量總是有由于實(shí)際系統(tǒng)總是有慣性的，且系統(tǒng)信號(hào)的能量總是有限的，因此實(shí)際系統(tǒng)中總有限的，因此實(shí)際系統(tǒng)中總有n n m m。2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）47n傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式：傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式：n傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。r(s)=lr(s)=l （t t） 1 1，c(s)=

34、g(s)r(s)=g(s)c(s)=g(s)r(s)=g(s)，l l-1-1c(s)=lc(s)=l-1-1g(s)=g(t)g(s)=g(t)n系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)g(t)g(t)與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)g(s)g(s)有單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，都可有單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，都可以用于表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。以用于表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。niimijpszsksg11)()()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）48n線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：n分子、分母具有零根：分子、分母具有零根： 分母分母s sv v；n分子、分母具有實(shí)數(shù)根：分子、分母具有實(shí)數(shù)根：01110111

35、.)(asasasabsbsbsbsgnnnnmmmmniimijpszsksg11)()()(iiiiiiiiiiptsttpszszs1) 1(11) 1(12021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）49n分子、分母具有共軛復(fù)根：分子、分母具有共軛復(fù)根：222222222211) 12(1)(2)(iiidiiidididididiiiiiirrssrsszszs222222222211) 12(1)(2)(jjjnjjjnjnjnjnjnjjjjjjrrtststtrsspsps2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）50n系統(tǒng)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)傳遞函數(shù)：0111011

36、1.)(asasasabsbsbsbsgnnnnmmmmpjjnjnjnjjviidididiiii)stst()st(s)ss()s(k)s(g112211221121121niimijpszsksg11)()()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）51典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)n放大環(huán)節(jié)（比例）：放大環(huán)節(jié)（比例）： k kn一階微分環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：n二階微分環(huán)節(jié)：二階微分環(huán)節(jié)：n積分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：n慣性環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：n振蕩環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：1s1222sss111ts12122tsstpjjnjnjnjjviidididiiii)stst()st(s)ss()s(k)s(g1

37、122112211211212021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）52比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)n輸出量以一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，而毫無(wú)失真和時(shí)間滯后。輸出量以一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，而毫無(wú)失真和時(shí)間滯后。n運(yùn)動(dòng)方程式：運(yùn)動(dòng)方程式：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：n實(shí)例：實(shí)例：q電位器電位器：輸入電壓輸出電壓：輸入電壓輸出電壓q共射極晶體管放大器共射極晶體管放大器：輸入電流輸出電流：輸入電流輸出電流q集成運(yùn)算放大器集成運(yùn)算放大器：輸入電壓輸出電壓：輸入電壓輸出電壓q測(cè)速機(jī)測(cè)速機(jī)：轉(zhuǎn)速電壓：轉(zhuǎn)速電壓q齒輪箱齒輪箱：主動(dòng)軸轉(zhuǎn)速?gòu)膭?dòng)軸轉(zhuǎn)速：主動(dòng)軸轉(zhuǎn)速?gòu)膭?dòng)軸轉(zhuǎn)速)()(txktxrc常數(shù)）()()()(ksxsxs

38、grc2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）53慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)n輸出量變化落后于輸入量變化（含有儲(chǔ)能元件）輸出量變化落后于輸入量變化（含有儲(chǔ)能元件）n運(yùn)動(dòng)方程式：運(yùn)動(dòng)方程式：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：n實(shí)例：實(shí)例：q懸臂彈簧懸臂彈簧：左端輸入位移右端輸出位移：左端輸入位移右端輸出位移qrcrc濾波器濾波器：電源電壓電容電壓：電源電壓電容電壓q他激直流發(fā)電機(jī)他激直流發(fā)電機(jī)：激磁電壓電勢(shì)：激磁電壓電勢(shì)q恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)：恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)：輸出轉(zhuǎn)速電樞電壓輸出轉(zhuǎn)速電樞電壓)()()(tkxtxdttdxtrcc111)()()(tsktsksxsxsgrc2021-11-14

39、第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）54n微分方程：微分方程：n設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：設(shè)初始條件為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：ukdtddtdtem22)(12233llmemlmmdtdmtkukdtddtdtdtdtt)()()(2suksssstem) 1()()()(2stsksstksussgmmmm2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）55積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)n輸出量的變化速度和輸入量成正比，即輸出量與輸入量呈積分關(guān)系。輸出量的變化速度和輸入量成正比，即輸出量與輸入量呈積分關(guān)系。n微分方程式：微分方程式：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：n實(shí)例：實(shí)例：q傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸：轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)角q齒輪齒條傳動(dòng)齒輪齒條傳動(dòng)：齒輪轉(zhuǎn)速齒條位移：齒輪轉(zhuǎn)速齒條位移q積分器積分器：輸入電流輸出電壓：輸入電流輸出電壓dttxktxtkxdttdxrcrc)()()()(sksksxsxsgrc1)()()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）56振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)n包含兩種儲(chǔ)能元件，所儲(chǔ)能量相互轉(zhuǎn)換。如：位能和動(dòng)能、電能和包含兩種儲(chǔ)能元件，所儲(chǔ)能量相互轉(zhuǎn)換。如：位能和動(dòng)能、電能和磁能。磁能。n微分方程：微分方程：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：q實(shí)例實(shí)例1 1：rlc