控制工程基礎控制系統(tǒng)的數(shù)學模型控制工程基礎

1、2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）1控制工程基礎控制工程基礎2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）2n物理系統(tǒng)的動態(tài)描述數(shù)學模型物理系統(tǒng)的動態(tài)描述數(shù)學模型n建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟n非線性數(shù)學模型的線性化非線性數(shù)學模型的線性化n拉普拉斯變換拉普拉斯變換n控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n系統(tǒng)方塊圖及其變換系統(tǒng)方塊圖及其變換n系統(tǒng)信號流圖系統(tǒng)信號流圖2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）3n微分方程是在時間域里描述控制系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學模型。微分方程是在時間域里描述控制系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學模型。n在給定外作用及初始條件下

2、，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出特性；在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出特性；這種方法比較直觀，特別是借助于計算機，可迅速準確地求得結果。這種方法比較直觀，特別是借助于計算機，可迅速準確地求得結果。然而不用計算機，則求解微分方程，特別是高階微分方程的計算工作然而不用計算機，則求解微分方程，特別是高階微分方程的計算工作相當復雜。相當復雜。n在時間域里直接求解微分方程，難于找出微分方程的系數(shù)（在時間域里直接求解微分方程，難于找出微分方程的系數(shù)（由組成系由組成系統(tǒng)的元件的參數(shù)決定統(tǒng)的元件的參數(shù)決定）對方程解（）對方程解（一般為系統(tǒng)的被控制量一般為系統(tǒng)的被控制量輸出量輸出量）影響

3、的一般規(guī)律。影響的一般規(guī)律。n一旦求得的結果不滿足要求，便無法從解中找出改進方案（一旦求得的結果不滿足要求，便無法從解中找出改進方案（如何調(diào)整如何調(diào)整系統(tǒng)的結構和參數(shù)系統(tǒng)的結構和參數(shù)）。因此這種方法）。因此這種方法不便于對系統(tǒng)進行分析和設計不便于對系統(tǒng)進行分析和設計。2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）4n工程技術上常用傅立葉方法分析線性系工程技術上常用傅立葉方法分析線性系統(tǒng)，因為任何周期函數(shù)都可展開為含有統(tǒng)，因為任何周期函數(shù)都可展開為含有許多正弦分量的傅氏級數(shù)，而任何非周許多正弦分量的傅氏級數(shù)，而任何非周期函數(shù)可表示為傅氏積分，從而可將一期函數(shù)可表示為傅氏積分，從而可將一個時

4、間域的函數(shù)變換為頻率域的函數(shù)個時間域的函數(shù)變換為頻率域的函數(shù)傅立葉變換。傅立葉變換。n工程實踐中，常用的一些函數(shù)，如階躍工程實踐中，常用的一些函數(shù)，如階躍函數(shù)，它們往往不能滿足傅氏變換的條函數(shù)，它們往往不能滿足傅氏變換的條件，如果對這種函數(shù)稍加處理，一般都件，如果對這種函數(shù)稍加處理，一般都能進行傅氏變換，因而也就引入了拉普能進行傅氏變換，因而也就引入了拉普拉斯變換。拉斯變換。n拉普拉斯變換是求解線性微分方程的簡拉普拉斯變換是求解線性微分方程的簡捷工具，同時也是建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的捷工具，同時也是建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的數(shù)學基礎。數(shù)學基礎。n拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義n常用函數(shù)的拉普拉斯變換常

5、用函數(shù)的拉普拉斯變換n拉普拉斯變換的性質拉普拉斯變換的性質n常見函數(shù)拉普拉斯變換表常見函數(shù)拉普拉斯變換表n拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換n利用拉氏變換解微分方程利用拉氏變換解微分方程2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）5 dtetftffftj deffftftj211傅立葉變換：傅立葉變換：傅立葉反變換：傅立葉反變換：2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）6n以時間以時間t t為自變量、定義域為為自變量、定義域為t t 0 0的的函數(shù)函數(shù)f f（t t）的拉氏變換定義為：）的拉氏變換定義為：式中：式中：s s為復變量，為復變量，s s j j ；n一個函數(shù)一個函數(shù)

6、f f（t t）可以進行拉氏變換的充分條件（狄里赫利條件）是：）可以進行拉氏變換的充分條件（狄里赫利條件）是：q在在t0t0時，時，f f（t t）0 0；q在在t t 0 0的任一有限區(qū)間內(nèi)，的任一有限區(qū)間內(nèi)，f f（t t）是分段連續(xù)的；）是分段連續(xù)的；q積分積分 。即。即f f（t t）為指數(shù)級的。）為指數(shù)級的。n在工程實際中，上述條件通常是滿足的。在工程實際中，上述條件通常是滿足的。f f（s s）稱為象函數(shù)，）稱為象函數(shù)，f f（t t）稱為原函數(shù)。稱為原函數(shù)。 dtetfsftflst0 dtetft02021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）7n單位階躍函數(shù)：單位階躍函

7、數(shù)：n單位階躍函數(shù)的拉氏變換：n幅度為a的階躍函數(shù)的拉氏變換為：0, 10, 0)(tttussedtedtetutulsfststst1)()()(000sadtetautaulsfst0)()()(t10u(t)2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）8n單位脈沖函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：（幅值（幅值1/t1/t0 0與作用時間與作用時間t t0 0的乘積等于的乘積等于1 1）n單位脈沖函數(shù)的拉氏變換：單位脈沖函數(shù)的拉氏變換：n當沖擊函數(shù)的幅值為當沖擊函數(shù)的幅值為a/ta/t0 0，與作用時間的乘積等于，與作用時間的乘積等于a a時：時：000001limtt00)(0tttttt和

8、11lim11lim1lim1lim)()(00000000000000000000ssstdtdedtdestsetdtettlsfsttstttstttsttt1/t00(t)t0atalsf)()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）9n單位斜坡函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：n單位斜坡函數(shù)的拉氏變換：單位斜坡函數(shù)的拉氏變換：n斜率為斜率為a a的斜坡函數(shù)的拉氏變換為：的斜坡函數(shù)的拉氏變換為：0,0, 0)(ttttf2000011|)()(sdtesstedestdttetflsfstststst20)()(sadtatetaflsfstt10f(t)12021-11-14第三講

9、控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）10n指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：n指數(shù)函數(shù)的拉氏變換：指數(shù)函數(shù)的拉氏變換：atetf)(asdtedteeelsftasstatat1)(0)(02021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）11n正弦函數(shù)：正弦函數(shù)：n正弦函數(shù)的拉氏變換：正弦函數(shù)的拉氏變換：n余弦函數(shù)余弦函數(shù)的拉氏變換：的拉氏變換：ttfsin)(220)(0)(011212121sinsin)(sjsjsjdtejdtejdttetlsftjstjsst220coscos)(ssdttetlsfsttjtetjtetjtjsincossincos2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）1

10、2-線性定理線性定理q若若g g（t t）f f1 1（t t）f f2 2（t t），）， 則則 g g（s s）f f1 1（s s）f f2 2（s s）即函數(shù)之和的拉氏變換等于各函數(shù)拉氏變換之和。即函數(shù)之和的拉氏變換等于各函數(shù)拉氏變換之和。q若若g g（t t）a af f（t t），）， 則則 g g（s s）a af f（s s）即函數(shù)的即函數(shù)的a a（實數(shù)）倍的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換的（實數(shù)）倍的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換的a a倍。倍。2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）13-衰減定理衰減定理q若若g g（t t）f f（t t）e eatat， 則則 g g（

11、s s）f f（s sa a）。）。a a為實數(shù)為實數(shù))()()()(0)(0asfdtetfdtetfetfeltasstatat2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）14-延遲定理延遲定理n若若g g（t t）f f（t ta a），）， 則則g g（s s）e easasf f（s s）。）。即一個函數(shù)是另一個函數(shù)延時即一個函數(shù)是另一個函數(shù)延時a a后再現(xiàn)，則它的象函后再現(xiàn)，則它的象函數(shù)是另一個函數(shù)象函數(shù)的數(shù)是另一個函數(shù)象函數(shù)的e easas倍。倍。)()()()()()(00sfeadefatdteatfatflasasst2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（

12、2）15-比例定理比例定理n若若 g g（t t）f f（t/at/a），）， 則則 g g（s s）afaf（asas）。）。即若一個函數(shù)在時間上展寬（或壓縮）即若一個函數(shù)在時間上展寬（或壓縮）a a倍，則它的象函倍，則它的象函數(shù)在復平面上向原點將收縮（或伸展）數(shù)在復平面上向原點將收縮（或伸展）a a倍。當倍。當a1a1a1時，時， g g（t t）將被壓縮。）將被壓縮。)()()/()/(00asafdaefatdteatfatflsast2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）16-時間時間t乘函數(shù)乘函數(shù)f（t） dssdfttfl)()()()()()()(000ttfld

13、tettfdttfesdtetfdsddssdfststst2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）17-微分定理微分定理n若若 ， 則則 。n當初始條件當初始條件f f（0 0）0 0時，時，g g（s s）s sf f（s s）。）。ssgsfdtetfdtdssftdfsesetfdestfdtetfsfststststst)()0()(1)0()(|)(1)()()(00000dttdftg)()()0()()(fssfsg2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）18-微分定理微分定理n若若 ， 則則n當當f f（0 0）0 0，f f（1 1）（0 0）0 0

14、，f f（n n1 1）（0 0）0 0時，時，nndttfdtg)()()0()0(.)0()()()1()2(1nnnnfsffssfssg)()(sfssgn2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）19-積分定理積分定理n若若 ， 則則 。n當初始條件當初始條件g g（0 0）0 0時，時， 。dttftg)()(sgssfsg)0()()(ssfsg)()( 01000)()0()(|)(1)()()(ssfsfdttfsesedttfdesdttfdtedttfdttflstststst2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）20-積分定理積分定理n若若 則則

15、qf f1 1（0 0） 在在t t0 0處的值；處的值；qf f2 2（0 0） 在在t t0 0處的值；處的值； ndttftg)(.)(sfsfsfssfsgnnnn)0(.)0()0()()(121dttf)(2)(dttf2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）21-初值定理初值定理n若函數(shù)若函數(shù)f f（t t）在）在t t0 0處無脈沖處無脈沖分量，則函數(shù)的初值為：分量，則函數(shù)的初值為：)(lim)0()(lim0ssfftfst)0()(lim0)0()(lim)(lim0fssffssfdtedttdfsssts2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）2

16、2-終值定理終值定理n若函數(shù)若函數(shù)f f（s s）在虛軸及右半平面沒有極點，但極限存在，）在虛軸及右半平面沒有極點，但極限存在，則原函數(shù)的終值為：則原函數(shù)的終值為：)(lim)()(lim0ssfftfst)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()0()(lim)(lim000000fssfftffssfdtdttdffssfdtedttdfstsssts2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）23-卷積定理卷積定理n若函數(shù)若函數(shù)f f1 1（t t）與）與f f2 2（t t）當）當t0t0時都等于零，則稱積分時都等于零，則稱積分 為為f f1 1（t t）卷積）卷積

17、f f2 2（t t），記作），記作f f1 1（t t）* *f f2 2（t t）；）； 同樣稱積分同樣稱積分 為為f f2 2（t t）卷積）卷積f f1 1（t t），記作），記作f f2 2（t t）* *f f1 1（t t）。）。n若若f f1 1（t t）與）與f f2 2（t t）均滿足狄里赫利條件，則卷積的拉氏變換等于兩函數(shù)拉）均滿足狄里赫利條件，則卷積的拉氏變換等于兩函數(shù)拉氏變換之積。即氏變換之積。即tdftf021)()(tdftf012)()( )()()()()()()(*)()()()()()(*)(21121212212121sfsfsfsftfltfltftf

18、lsfsftfltfltftfl2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）24-卷積定理卷積定理 )()()()()()( 1 )()()( 1 )()()( 1 )()()()(*)(210201002)(1002102102121sfsfdefdeftdefdtettfdtedfttfdfttfldftfltftflssstsstt 2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）25 22)(1111)( 11)(asteaseststtatat)(1)(1)(!,.)3 , 2 , 1(!,.)3 , 2 , 1(cossin112222bsaseeabasnnetsnn

19、tsststbtatnatnnn2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）26 )(1)1(1)(cos)(sin)(1)(111)()(1222222asseataasasteastebsassaebebaabbsassaebeabatatatbtatatbt)2(1,1arctan)1sin(11121,1arctan)1sin(11211sin12222222222222222nnnntnnntnnnntnssstessstesstennn2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）27n由拉氏變換的象函數(shù)由拉氏變換的象函數(shù)f f（s s）求原函數(shù)）求原函數(shù)f f（t

20、t）的運算稱拉氏反）的運算稱拉氏反變換。變換。n求解復雜，不便于工程應用。求解復雜，不便于工程應用。n對于大多數(shù)控制系統(tǒng)，可避免積分，而是利用部分分式展開，對于大多數(shù)控制系統(tǒng)，可避免積分，而是利用部分分式展開，化象函數(shù)為拉氏變換表中包含的形式，查表得到原函數(shù)?；蠛瘮?shù)為拉氏變換表中包含的形式，查表得到原函數(shù)。jcjcstdsesfjsfltf)(21)()(12021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）28n在控制系統(tǒng)中，拉氏變換在控制系統(tǒng)中，拉氏變換f f（s s）可寫成下列一般形式：）可寫成下列一般形式：n因式分解：因式分解：n只包含不同實極點的情況只包含不同實極點的情況n包含共軛

21、復數(shù)極點的情況包含共軛復數(shù)極點的情況n包含多重極點的情況包含多重極點的情況nmasasasabsbsbsbsasbsfnnnnmmmm,.)()()(01110111nmpspspszszszsksasbsfnm,).()().()()()()(21212021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）29只包含不同實極點（只包含不同實極點（1）n實例：實例：)( 1.)()()(.)(21212211teaeaeatfpssfapsapsapsapsasftpntptppskknnkknk233)(2ssssf2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）30只包含不同實極點（只包含

22、不同實極點（2） )( 1 )2()21()12()(2112)(21)2)(1(3)(233)(211212teeslsltfsssfsasassssfssssftt2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）31包含共軛復數(shù)極點（包含共軛復數(shù)極點（1） n實例：實例：11)()()(.)()(2121332121pspsnnpspssfasapsapsapspsasasfsssssf231)(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）32包含共軛復數(shù)極點（包含共軛復數(shù)極點（2） )( 1)23sin3323cos1 ()()23()21(2333)23()21(211)(

23、11)()2321)(2321(1) 1(11)(212122222223ttetetfsssssfsssssfjsjssssssssssssftt2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）33包含多重極點（包含多重極點（1）tpkkpsrrrpsrjjjrpsrrpsrrnnrrrrrrrrektpslpssfdsdrapssfdsdjapssfdsdapssfapsapsapsapsapsapsasf11111)!1()(1)()()!1(1.)()(!1.)()()()(.)()()(1111111111122111111112021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）

24、34包含多重極點（包含多重極點（2） )( 1)()(11) 1(2)(1) 1() 1()() 1(32)(231223332teettfsssfsasasasfssssftt2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）35n考慮初始條件，對微分方程進行拉氏變換，將時域的微分方程變換考慮初始條件，對微分方程進行拉氏變換，將時域的微分方程變換為為s s域的代數(shù)方程。域的代數(shù)方程。n求解代數(shù)方程，得到微分方程在求解代數(shù)方程，得到微分方程在s s域的解。域的解。n求求s s域的拉氏反變換，即得到微分方程的解。域的拉氏反變換，即得到微分方程的解。微分方程微分方程解（解（t域）域）求解代數(shù)方程

25、代數(shù)方程解（解（s域）域）求解正變換反變換2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）36n例：例：n求解：求解：2)0(, 2)0(, 66522yyydtdydtydtteetysssssssssyssyyssyysysys3222451)(34251)3)(2(6122)(6)(6)0()(5)0()0()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）37n物理系統(tǒng)的動態(tài)描述數(shù)學模型物理系統(tǒng)的動態(tài)描述數(shù)學模型n建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟建立系統(tǒng)數(shù)學模型的一般步驟n非線性數(shù)學模型的線性化非線性數(shù)學模型的線性化n拉普拉斯變換拉普拉斯變換n控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n

26、系統(tǒng)方塊圖及其變換系統(tǒng)方塊圖及其變換n系統(tǒng)信號流圖系統(tǒng)信號流圖2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）38n對一個線性定常系統(tǒng)（或元件），在對一個線性定常系統(tǒng)（或元件），在零初始條件下零初始條件下，輸，輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換的比值，叫做出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換的比值，叫做該系統(tǒng)（或該元件）的該系統(tǒng)（或該元件）的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)。nr-l-cr-l-c電路的傳遞函數(shù)電路的傳遞函數(shù)n機械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)機械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n恒定磁場他激直流電動機的傳遞函數(shù)恒定磁場他激直流電動機的傳遞函數(shù)2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）39n微分方程：

27、微分方程：n設初始條件為零，對上式進行拉氏變換得：設初始條件為零，對上式進行拉氏變換得：nr-l-cr-l-c電路的傳遞函數(shù)：電路的傳遞函數(shù)：)()()()(22tutudttdurcdttudlcrccc)()()()(2sususrcsusulcsrccc11)()()(2rcslcssususgrc2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）40n微分方程：微分方程：n設初始條件為零，對上式進行拉氏變換得：設初始條件為零，對上式進行拉氏變換得：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：kfydtdykdtydkm22)(1)()()(2sfksyssyksyskm11)()()(2skskmksfs

28、ysg2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）41n微分方程：微分方程：n設初始條件為零，對上式進行拉氏變換得：設初始條件為零，對上式進行拉氏變換得：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：ukdtddtdtem22)(12233llmemlmmdtdmtkukdtddtdtdtdtt)()()(2suksssstem) 1()()()(2stsksstksussgmmmm2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）42n在在拉氏變換拉氏變換的基礎上，引入描述線性定常系統(tǒng)（或元件）的基礎上，引入描述線性定常系統(tǒng)（或元件）在在復數(shù)域中的數(shù)學模型傳遞函數(shù)復數(shù)域中的數(shù)學模型傳遞函數(shù)，不僅可以表征系

29、統(tǒng)的，不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且可以借以研究系統(tǒng)的結構或參數(shù)變化對系動態(tài)性能，而且可以借以研究系統(tǒng)的結構或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。統(tǒng)性能的影響。n在經(jīng)典控制理論中廣泛應用的在經(jīng)典控制理論中廣泛應用的頻率法頻率法和和根軌跡法根軌跡法，都是在，都是在傳遞函數(shù)基礎上建立起來的。傳遞函數(shù)基礎上建立起來的。n一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)n傳遞函數(shù)的性質傳遞函數(shù)的性質n典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）43n一般系統(tǒng)的微分方程：一般系統(tǒng)的微分方程：n拉氏變換（零初始條件）：拉氏變換（零初始條件）：n系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：nd(

30、s)d(s)特征多項式；系統(tǒng)的階次為特征多項式；系統(tǒng)的階次為n n。)().()().(01110111srbsbsbsbsyasasasammmmnnnnmntrbtrbtrbtrbtyatyatyatyammmmnnnn),()(.)()()()(.)()(0)1 (1)1(1)(0)1 (1)1(1)()()(.)()()(01110111sdsnasasasabsbsbsbsrsysgnnnnmmmm2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）44n系統(tǒng)的輸入輸出與傳遞函數(shù)的關系：系統(tǒng)的輸入輸出與傳遞函數(shù)的關系：n傳遞函數(shù)的方塊圖：傳遞函數(shù)的方塊圖：)()()(srsgsyg(

31、s)r(s)y(s)傳遞函數(shù)的方塊圖傳遞函數(shù)的方塊圖 2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）45n系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)也是描述其動態(tài)特性的數(shù)學模型的一系統(tǒng)（或元件）的傳遞函數(shù)也是描述其動態(tài)特性的數(shù)學模型的一種，它和系統(tǒng)（元件）的運動方程式是相互種，它和系統(tǒng)（元件）的運動方程式是相互一一對應一一對應的。若給定的。若給定了系統(tǒng)（或元件）的運動方程式，則與之對應的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)了系統(tǒng)（或元件）的運動方程式，則與之對應的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)便可唯一地確定。便可唯一地確定。n傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)對輸入信號的傳遞能力，是系統(tǒng)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)對輸入信號的傳遞能力，是系統(tǒng)固有的特性固有的特性，與輸

32、入信號類型及大小無關，與初始條件無關。與輸入信號類型及大小無關，與初始條件無關。n傳遞函數(shù)和微分方程一樣，是從實際物理系統(tǒng)中抽象出來的，它傳遞函數(shù)和微分方程一樣，是從實際物理系統(tǒng)中抽象出來的，它只反映系統(tǒng)中輸出信號和輸入信號之間的變化規(guī)律，而只反映系統(tǒng)中輸出信號和輸入信號之間的變化規(guī)律，而不表征系不表征系統(tǒng)的物理結構統(tǒng)的物理結構。2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）46n不同物理結構的系統(tǒng)，可以有相同的傳遞函數(shù)。同一個不同物理結構的系統(tǒng)，可以有相同的傳遞函數(shù)。同一個系統(tǒng)中，不同物理量之間對應的傳遞函數(shù)也不相同。系統(tǒng)中，不同物理量之間對應的傳遞函數(shù)也不相同。n由于傳遞函數(shù)的分子分

33、母多項式的各項系數(shù)是由系統(tǒng)的由于傳遞函數(shù)的分子分母多項式的各項系數(shù)是由系統(tǒng)的物理參數(shù)組成的，而物理參數(shù)總是實數(shù)，所以各多項式物理參數(shù)組成的，而物理參數(shù)總是實數(shù)，所以各多項式的的系數(shù)均為實數(shù)系數(shù)均為實數(shù)。n由于實際系統(tǒng)總是有慣性的，且系統(tǒng)信號的能量總是有由于實際系統(tǒng)總是有慣性的，且系統(tǒng)信號的能量總是有限的，因此實際系統(tǒng)中總有限的，因此實際系統(tǒng)中總有n n m m。2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）47n傳遞函數(shù)的零極點形式：傳遞函數(shù)的零極點形式：n傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的脈沖響應。傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的脈沖響應。r(s)=lr(s)=l （t t） 1 1，c(s)=

34、g(s)r(s)=g(s)c(s)=g(s)r(s)=g(s)，l l-1-1c(s)=lc(s)=l-1-1g(s)=g(t)g(s)=g(t)n系統(tǒng)的脈沖響應系統(tǒng)的脈沖響應g(t)g(t)與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)g(s)g(s)有單值對應關系，都可有單值對應關系，都可以用于表征系統(tǒng)的動態(tài)特性。以用于表征系統(tǒng)的動態(tài)特性。niimijpszsksg11)()()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）48n線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：n分子、分母具有零根：分子、分母具有零根： 分母分母s sv v；n分子、分母具有實數(shù)根：分子、分母具有實數(shù)根：01110111

35、.)(asasasabsbsbsbsgnnnnmmmmniimijpszsksg11)()()(iiiiiiiiiiptsttpszszs1) 1(11) 1(12021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）49n分子、分母具有共軛復根：分子、分母具有共軛復根：222222222211) 12(1)(2)(iiidiiidididididiiiiiirrssrsszszs222222222211) 12(1)(2)(jjjnjjjnjnjnjnjnjjjjjjrrtststtrsspsps2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）50n系統(tǒng)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)傳遞函數(shù)：0111011

36、1.)(asasasabsbsbsbsgnnnnmmmmpjjnjnjnjjviidididiiii)stst()st(s)ss()s(k)s(g112211221121121niimijpszsksg11)()()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）51典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)n放大環(huán)節(jié)（比例）：放大環(huán)節(jié)（比例）： k kn一階微分環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：n二階微分環(huán)節(jié)：二階微分環(huán)節(jié)：n積分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：n慣性環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：n振蕩環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：1s1222sss111ts12122tsstpjjnjnjnjjviidididiiii)stst()st(s)ss()s(k)s(g1

37、122112211211212021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）52比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)n輸出量以一定比例復現(xiàn)輸入量，而毫無失真和時間滯后。輸出量以一定比例復現(xiàn)輸入量，而毫無失真和時間滯后。n運動方程式：運動方程式：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：n實例：實例：q電位器電位器：輸入電壓輸出電壓：輸入電壓輸出電壓q共射極晶體管放大器共射極晶體管放大器：輸入電流輸出電流：輸入電流輸出電流q集成運算放大器集成運算放大器：輸入電壓輸出電壓：輸入電壓輸出電壓q測速機測速機：轉速電壓：轉速電壓q齒輪箱齒輪箱：主動軸轉速從動軸轉速：主動軸轉速從動軸轉速)()(txktxrc常數(shù)）()()()(ksxsxs

38、grc2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）53慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)n輸出量變化落后于輸入量變化（含有儲能元件）輸出量變化落后于輸入量變化（含有儲能元件）n運動方程式：運動方程式：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：n實例：實例：q懸臂彈簧懸臂彈簧：左端輸入位移右端輸出位移：左端輸入位移右端輸出位移qrcrc濾波器濾波器：電源電壓電容電壓：電源電壓電容電壓q他激直流發(fā)電機他激直流發(fā)電機：激磁電壓電勢：激磁電壓電勢q恒定磁場他激直流電動機：恒定磁場他激直流電動機：輸出轉速電樞電壓輸出轉速電樞電壓)()()(tkxtxdttdxtrcc111)()()(tsktsksxsxsgrc2021-11-14

39、第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）54n微分方程：微分方程：n設初始條件為零，對上式進行拉氏變換得：設初始條件為零，對上式進行拉氏變換得：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：ukdtddtdtem22)(12233llmemlmmdtdmtkukdtddtdtdtdtt)()()(2suksssstem) 1()()()(2stsksstksussgmmmm2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）55積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)n輸出量的變化速度和輸入量成正比，即輸出量與輸入量呈積分關系。輸出量的變化速度和輸入量成正比，即輸出量與輸入量呈積分關系。n微分方程式：微分方程式：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：n實例：實例：q傳動軸傳動軸：轉速轉角：轉速轉角q齒輪齒條傳動齒輪齒條傳動：齒輪轉速齒條位移：齒輪轉速齒條位移q積分器積分器：輸入電流輸出電壓：輸入電流輸出電壓dttxktxtkxdttdxrcrc)()()()(sksksxsxsgrc1)()()(2021-11-14第三講 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（2）56振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)n包含兩種儲能元件，所儲能量相互轉換。如：位能和動能、電能和包含兩種儲能元件，所儲能量相互轉換。如：位能和動能、電能和磁能。磁能。n微分方程：微分方程：n傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：q實例實例1 1：rlc