第一章11函數(shù)

1、1一元函數(shù)微積分學(xué)一元函數(shù)微積分學(xué)q一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的極限q微分學(xué)微分學(xué)q積分學(xué)積分學(xué)2第一章第一章 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1.1 函數(shù)的概念函數(shù)的概念1.3 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性31.1 函數(shù)的概念函數(shù)的概念1.1.1 函數(shù)的定義函數(shù)的定義1.1.2 分段函數(shù)分段函數(shù)1.1.3 有界函數(shù)有界函數(shù)1.1.4 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)41.1.1 函數(shù)的定義函數(shù)的定義數(shù)集數(shù)集d d 叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的定義域定義域. .( )yf x，因變量因變量自變量自變量.)(00處的函數(shù)值處的函數(shù)值為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)稱稱時(shí),時(shí),當(dāng)當(dāng)0 0 xxfdx ( ),.wy

2、yf x xd數(shù)集稱為函數(shù)的值域定義定義 設(shè)設(shè) x 和和 y 是兩個(gè)變量是兩個(gè)變量, ,d是一個(gè)給定的數(shù)集，是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)數(shù)如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x , , 變量變量y 按照一定法則總有按照一定法則總有d確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y 是是x 的的函數(shù)函數(shù)，記作，記作 5函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域、定義域、 對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則. .()d0 xx對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f)(wy)(0 xf自變量自變量因變量因變量約定約定: : 定義域是自變量所能取的使算式有意定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值義的一切實(shí)數(shù)值. .21xy，例如例如 1 , 1 : d

3、211xy，例如例如)1 , 1(: d6基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪函數(shù)類冪函數(shù)類)( 是常數(shù)是常數(shù) xy)1 , 1(oxyxy1 2xy xy xy 117)1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0( 指數(shù)函數(shù)類指數(shù)函數(shù)類8xyalog xya1log )1( a)1, 0(log aaxyaxyln )0 , 1(對(duì)數(shù)函數(shù)類對(duì)數(shù)函數(shù)類9正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 三角函數(shù)類三角函數(shù)類.10余弦函數(shù)余弦函數(shù)xycos xycos .11正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan .12余切函數(shù)余切函數(shù)xycot xycot .13正割函數(shù)正割函數(shù)x

4、ysec xysec .14余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc xycsc .15xyarcsin反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarcsin 反三角函數(shù)類反三角函數(shù)類16xyarccos反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos 17xyarctan反反正正切切函函數(shù)數(shù)xyarctan xycotarc反余切函數(shù)反余切函數(shù)181.1.2 分段函數(shù)分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, , 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù), , 稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù). . 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy191.1.3 有界函數(shù)有界函數(shù)則稱則

5、稱 f (x )為為有界函數(shù)有界函數(shù). . ,f xm定義定義 若存在若存在m 0, ,對(duì)任意的對(duì)任意的x ，有，有fd例如，正弦函數(shù)例如，正弦函數(shù) 是有界函數(shù)是有界函數(shù).sinyx因?yàn)?，有常?shù)因?yàn)?，有常?shù) m = 1，,xr 使得使得sin1.xm 20正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin .:sin ,1, 1 .y yxxr211.1.4 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),自變量自變量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y ,f u 外層函數(shù) x內(nèi)層函數(shù).,arcsinuy 例如例如1;ux arcsin(1).yx22例例1 12( ),1, ( )1, ( ).xf xe xxxfx設(shè)求及其定義域

6、22( )1,( )1 1.xxrxrxx 解的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集 ，且有 2( )1( ).xxf xfxee由函數(shù)的定義知：21( ).xfxer且的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集23初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限多次的由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限多次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)可用一個(gè)式子表示的函數(shù), , 稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù). .微積分研究的主要對(duì)象是初等函數(shù)微積分研究的主要對(duì)象是初等函數(shù). .241.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1 函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義2 極限四則運(yùn)算法則極限四則運(yùn)算法則3 復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合

7、函數(shù)的極限25lim1 .2.1極限概念極限概念 oxy1,0.yxxx x1x0.x00 x1xlim. 0lim, lim,xxxf xaf xa一般地，記為.a其中 為實(shí)數(shù)或26無窮小量、無窮大量無窮小量、無窮大量 的定義的定義的的無窮小量無窮小量. .即無窮小量是以零為極限的變量即無窮小量是以零為極限的變量. . 若若 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 是當(dāng)是當(dāng) 時(shí)時(shí) lim0 xf x f xx 若若 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 是當(dāng)是當(dāng) 時(shí)時(shí) 0limxxf x f x0 xx的的無窮大量無窮大量. .即無窮大量是以即無窮大量是以 為極限的變量為極限的變量. . 27例如例如, , 0sinlim0

8、 xx.0sin時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)xx1lim0,1xx1.1xx 函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮小量11lim.1xx 11.1xx函數(shù)是當(dāng)時(shí)的無窮大量28極限概念（續(xù)）極限概念（續(xù)）xysin x00limxsin x0 x0sin x0limx0.右極限右極限左極限左極限若函數(shù)的極限是一個(gè)有限數(shù)，則稱函數(shù)的極限存在若函數(shù)的極限是一個(gè)有限數(shù)，則稱函數(shù)的極限存在. .0limsinxxsin029左、右極限的定義左、右極限的定義若若 且且 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以a為極限為極限， 0 xx f x0 xx若若 且且 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以以a為極限，為極限， 0 xx f x0 xx則稱則稱

9、a 為函數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的右極限右極限. .記為記為 f x0 xx 0lim.xxf xa 0lim.xxf xa則稱則稱a 為函數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的左極限左極限. .記為記為 0 xx f x 0limxxf xa 0lim.xxf xa 0limxxf xa且且定理定理130極限不存在極限不存在極限概念的分類極限概念的分類 lim f x 0limxxf x limxf x 0limxxf x 0limxxf x 0limxxf x limxf x limxf x limxf x極限存在極限存在( ,)a( ,)a( ,)a( ,)a( ,)a ( ,)a31注解注解4

10、.若函數(shù)的極限存在，則其極限是惟一的若函數(shù)的極限存在，則其極限是惟一的. .(2). 函數(shù)的極限值函數(shù)的極限值僅與僅與函數(shù)在自變量的極限點(diǎn)函數(shù)在自變量的極限點(diǎn)附近的值有關(guān)！附近的值有關(guān)！(1). 一個(gè)極限問題由函數(shù)的極限和自變量的極一個(gè)極限問題由函數(shù)的極限和自變量的極限兩個(gè)部分構(gòu)成，函數(shù)的極限值依賴于自變量限兩個(gè)部分構(gòu)成，函數(shù)的極限值依賴于自變量的極限，因此函數(shù)的極限與自變量的極限有關(guān)！的極限，因此函數(shù)的極限與自變量的極限有關(guān)！(3). 函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充分必要條件是函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的左、右極限存在且相等，即函數(shù)在該點(diǎn)的左、右極限存在且相等，即321.2.2

11、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 limlimlimlimlimlimlim,.f xg xf xg xf xg xcf xcf xc定理2 設(shè)限與存在，則(1)線性性，其中 為常數(shù) 1212limlimlim.c f xc g xcf xcg x limlimlimf xg xf xg x，33極限法則極限法則（續(xù)）（續(xù)） (2)limlimlim.f x g xf xg x lim(3)lim,lim0.limf xf xg xg xg x其中 limlim,.f xf xr limlim, lim0lim0.f xf xf xf x且34無窮小量與無窮大量的性質(zhì)無窮小量與無窮大量的

12、性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2 有限個(gè)無窮小量的積仍然是無窮小量有限個(gè)無窮小量的積仍然是無窮小量. .性質(zhì)性質(zhì)1 1 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量性質(zhì)性質(zhì)3 3 有界量與無窮小量的積仍是無窮小量有界量與無窮小量的積仍是無窮小量. .性質(zhì)性質(zhì)4 4 無窮小量無窮小量 ( )( )的倒數(shù)是無窮大量的倒數(shù)是無窮大量. . 反之，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量反之，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量. .035例例3 322lim 322xxx求22lim 322xxx解22223lim2limlim2xxxxx23 22 2214. 00.xxx當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的極限等于它在點(diǎn) 處的函數(shù)

13、值 101101,limlim.nnnnnnnnnxaxapxa xa xapxa xa xap a即，若則36例例4 4342lim22xxx) 3(lim)42(lim222xxxx81837例例5 5942lim23xxx)42(lim)9(lim323xxxx0100解解429lim23xxx942lim23xxx38例例6 62211lim.2xxxx求2211lim2xxxx解111lim12xxxxx11lim2xxx11lim1lim2xxxx1.321lim20 xxx21lim10 xx00型39例例7 7231lim.2xxxx求“”型2lim1xx 3lim2xxx 2

14、31lim2xxxx解23331lim2xxxxxx3211lim112xxxx1tx3020lim0.lim 12ttttt320lim12tttt40例例8 83321lim2xxxx求3321lim2xxxx解333321lim2xxxxxx3212lim112xxx1tx3202lim12ttt3020lim 22.lim 12tttt“”型3lim 21xx 3lim2xxx 41例例932lim.1xxxx求“”型1tx231limxxxx解23331limxxxxxx3211lim11xxxx320lim0.1tttt32lim1xxxx故231lim1xxxx. 2lim1xx

15、 3limxxx 42例例10sin2lim.xxx求,sin21,xrx 解 因?yàn)橛?lim0.xx且所以sin2limxxx1limsin2xxx0.431.2.3 復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的極限極限 00000,(1)lim,(2) lim.limlim.xxuuxxuuyf uuxxuf uafxuxf ua定理3 設(shè)且則44v兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限0sin1l1im.xxx、1lim.12xxex、0“”型01 型45例例11110sin2lim.xxx求0sin2limxxx解0sin2lim2uuuxu0sin2limuuu2.0sin2limxxx解法202sin coslimxx

16、xx00sin2limlim cosxxxxx2.0“ ”型046例例1212 01sinlim,li0m.xxxxx可以證明：其中0tan2lim.sin3xxx求0tan2limsin3xxx解0sin21limcos2sin3xxxx0sin21limcos2sin3xxxx2x2x330002sin211limlimlimsin332cos23xxxxxxxx2.30“ ”型047例例1313 11lim.xxxx求11limxxxx解11limxxxxxx11limlimxxxxxxx1lim 1xxx. e1 型48例例14141lim.1xxxx求1lim1xxxx解1(1) 1

17、lim1xxxx11lim 11xxx11im(l11)1xxx1.e1 型 01limlim 1.xxxxex若，則49冪指函數(shù)的極限冪指函數(shù)的極限 000010lim,(2)lim.xxxxu xu xuv xv命題 設(shè)（ ）且 0limv xxxu x則 00limlimxxv xxxu x00.vu50例例15152lim.1xxxx求2lim1xxxx解21lim 11xxx2111lim 1(1)xxxxx 512lim111lim 1(1)xxxxxx .e2111lim1(1)xxxxx2521.3 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義性質(zhì)性質(zhì)53函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)連續(xù)的定義設(shè)設(shè)函

18、函數(shù)數(shù))(xf在在0 x的的鄰鄰域域)(0 xu 內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,如如果果 )()(lim00 xfxfxx 那那末末就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x連連續(xù)續(xù). . 0000( )( ,(0)(),( );f xa xf xf xf xx若函數(shù)在內(nèi)有定義且則稱在處左連續(xù)點(diǎn)0000( ), ),(0)(),( ).f xx bf xf xf xx若函數(shù)在內(nèi)有定義且則稱在處右連續(xù)點(diǎn)00( )( ).f xxf xx在處連續(xù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)54例例1616.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定義知由定義知.0)(處連