概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué)第四版盛驟)——概率論部分2

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第四版浙江大學(xué) 盛驟1概率論部分2第二章 隨機(jī)變量及其分布23第二章 隨機(jī)變量及其分布關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù)41 隨機(jī)變量* * 常見(jiàn)的兩類試驗(yàn)結(jié)果：示數(shù)的降雨量；候車人數(shù)；發(fā)生交通事故的次數(shù)示性的明天天氣（晴，多云）；化驗(yàn)結(jié)果（陽(yáng)性，陰性）esx離散型的連續(xù)型的x=f(e)為s上的單值函數(shù)，x為實(shí)數(shù) * * 中心問(wèn)題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化* * 定義：隨試驗(yàn)結(jié)果而變的量x為隨機(jī)變量* * 常見(jiàn)的兩類隨機(jī)變量52 離散型隨機(jī)變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機(jī)變量為離散量離散量離散量的概率分布(分布律)10,1iiipp樣本空

2、間s x=x1，x=x2，x=xn， 由于樣本點(diǎn)兩兩不相容111( )()iiiip sp xxp1、寫(xiě)出可能取值即寫(xiě)出了樣本點(diǎn)2、寫(xiě)出相應(yīng)的概率即寫(xiě)出了每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率p1x2xix1p2pipx# # 概率分布6 例：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng) 過(guò)3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè) 各燈為紅燈的概率為p，0p1，以x表示首次 停車時(shí)所通過(guò)的交通燈數(shù)，求x的概率分布律。1(0)() p xp ap；12(1)()(1) p xp a ap p；2123(2)()(1) p xp a a app；3123(3)()(1) p xp a a ap；px0123pp(1-p)

3、(1-p)2p(1-p)3 0 ,1 ,2 3xxxxs注意：為 的一個(gè)劃分 解： 設(shè)ai=第i個(gè)燈為紅燈，則p(ai)=p，i=1,2,3 且a1,a2,a3相互獨(dú)立。7 例：從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)產(chǎn)品 的次品率為p，0p1，若查到一只次品就 得停機(jī)檢修，設(shè)停機(jī)時(shí)已檢測(cè)到x只產(chǎn)品， 試寫(xiě)出x的概率分布律。1121()()(1), 1,2,kkkp xkp a aaapp k 解：設(shè)ai=第i次抽到正品，i=1,2, 則a1,a2,相互獨(dú)立。 亦稱x為服從參數(shù)p的幾何分布。幾何分布。8三個(gè)主要的離散型隨機(jī)變量 01(p) 分布 二項(xiàng)分布xpq01p樣本空間中只有兩個(gè)樣本點(diǎn)即每次試驗(yàn)結(jié)

4、果即每次試驗(yàn)結(jié)果互不影響互不影響在相同條件下在相同條件下重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行(p+q=1),a a * * n重貝努利試驗(yàn)：設(shè)試驗(yàn)e只有兩個(gè)可能的結(jié)果： p(a)=p,0p1,將e獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這一串的試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)貝努利試驗(yàn)。9例：1. 獨(dú)立重復(fù)地拋n次硬幣，每次只有兩個(gè)可能的結(jié)果： 正面，反面，如果是不放回抽樣呢？,a a,a a1 2p出現(xiàn)正面 1 6p a 1 2p a 2.將一顆骰子拋n次，設(shè)a=得到1點(diǎn)，則每次試驗(yàn) 只有兩個(gè)結(jié)果： 3.從52張牌中有放回地取n次，設(shè)a=取到紅牌，則 每次只有兩個(gè)結(jié)果：10設(shè)a在n重貝努利試驗(yàn)中發(fā)生x次，則并稱x服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布二項(xiàng)

5、分布，記()(1) 01kkn knp xkc ppkn， ， ，()xb np，3123(0)()(1)p xp a a ap3123(3)()p xp a a ap223 21231231233(2)()(1)p xp a a aa a aa a ac pp113 11231231233(1)()(1)p xp a a aa a aa a ac pp ()(1),0,1,2,kkn knp xkc ppkn一般0 1() 1nnkkn knkpqc p qqp 注：其中推導(dǎo)：設(shè)ai i= 第i次a發(fā)生 ，先設(shè)n=311例： 設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.

6、01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能有一個(gè)人處理。考慮兩種配備維修工人的方法， 其一是由4個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)； 其二是由3個(gè)人共同維護(hù)80臺(tái)。 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。121,2,3,420ixa ii解：以 記“第一人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”。 以表示事件“第 人維護(hù)的臺(tái)中發(fā)生故障不能 及時(shí)維修”，則知80臺(tái)中發(fā)生故障不按第一種方法。 能及時(shí)維修的 概率為：123412p aaaap ap x20,0.01 ,xb而故有：1021kp xp xk 12020010.010.990.0169kkkkc 12340.0169p aaaa即有：80,80,

7、0.01 ,80yyb按第二種以 記臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，此時(shí)故臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修方法。的概率為： 380800410.010.990.0087kkkkp yc 13 例：某人騎了自行車從學(xué)校到火車站，一路上 要經(jīng)過(guò)3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú) 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0p1， 以y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。(1)求y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次紅燈的概率。 (3, )ybp 331 ()(1), 0,1,2,3kkkp ykc ppk 2232 (2)(1)p yc pp 解：這是三重貝努利試驗(yàn)14 例：某人獨(dú)立射擊n次，設(shè)每次命中率為p， 0p0為常數(shù)，則稱x服

8、從參數(shù)為的指數(shù)指數(shù)分布分布。記為 0( )0 0 xexf xx( )xep1 0( )0 0 xexf xx 00(|)p xtt xt00()()p xttp xt001()1()tf ttef t()p xt x具有如下的無(wú)記憶性：26 210tn ttpoissontt例：某大型設(shè)備在任何長(zhǎng)度為 的區(qū)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) 服從參數(shù)為的分布，記設(shè)備無(wú)故障運(yùn)行的時(shí)間為 1 求 的概率分布函數(shù)； 已知設(shè)備無(wú)故障運(yùn)行個(gè)小時(shí)，求再無(wú)故障運(yùn)行 8個(gè)小時(shí)的概率。 / !, 0,1,2,ktp n tketkk解： 1 00ttft當(dāng)時(shí)， 1tftp ttp tt 0101tttftp n te 當(dāng)時(shí)，

9、 8182 18|10810p tp ttep tp t27 正態(tài)分布定義：設(shè)x的概率密度為其中 為常數(shù)，稱x服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(gauss分布)，記為可以驗(yàn)算：22()21( ) 2xf xex，2( ,)xn ( )1f x dx+ ( )f x dx22 tiedt記2212xttedt令2212tedt22()22xyiedxdy22200rdredr2i( )1f x dx2, 2, 28稱為位置參數(shù)(決定對(duì)稱軸位置) 為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)max21 ( )12 ( )23 ( )0( ,)xf xxfflimf xxn 關(guān)于對(duì)稱0 f x1x550.51.0 f xx1

10、.50.7980.3990.266029x的取值呈中間多，兩頭少，對(duì)稱的特性。 當(dāng)固定時(shí)，越大，曲線的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映x的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。 在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。302 ( ,) xn 當(dāng)時(shí) (0 1) znz記， ，稱 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布()()()bap axb ()p axb xt作變換： 221 2xzxe的概率密度：221 ( )2txzxedt的分布函數(shù)： 1xx22()212xbaedx()p axb2212btaedt( )yx( )x()x0yxxx31 例：2( ,)xn ()() (1)( 1)2

11、 (1) 10.6826p xpx (2 )2 (2) 10.9544p x (3 )2 (3) 10.9974p x 查書(shū)后附表99.74%3268.26%2395.44%32 例：一批鋼材(線材)長(zhǎng)度(1)若=100，=2，求這批鋼材長(zhǎng)度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使這批鋼材的長(zhǎng)度至少有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問(wèn)至多取何值？2() ( ,)x cmn (97.8)p x 解：(1)97.8 100()21(1.1) 1 0.86430.1357查附表= 9710390%px(2) 令：103 10097 1003 ()()2 () 190% 即3()0.9531.

12、6451.823733 例：設(shè)某地區(qū)男子身高(1) 從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測(cè)身高，求他的身高大于175cm的概率；(2) 若從中隨機(jī)找5個(gè)男子測(cè)身高,問(wèn)至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率為多少？2()(169.7,4.1 )x cmn (175)p x 解： (1) 5175(5, ), 0.0985cmbpp(2) 設(shè) 人中有y人身高大于，則y其中175 169.71()4.1 1(1.293) 1 0.90150.0985 查表5(1)1(0)1 (1)0.4045p yp yp 1145(1)(1)0.3253p yc pp345 隨機(jī)變量的函數(shù)分布

13、問(wèn)題：已知隨機(jī)變量x的概率分布， 且已知y=g(x)，求y的概率分布。2(,)xn ，(0)p y xpi i0.2-1010.50.3(0)0.5p x(1)p y (1)(1)pxx (1)(1)0.5p xp x 例如，若要測(cè)量一個(gè)圓的面積，總是測(cè)量其半徑，半徑的測(cè)量值可看作隨機(jī)變量x，若 則y服從什么分布？例：已知x具有概率分布 且設(shè)y=x2，求y的概率分布。解：y的所有可能取值為0,1即找出(y=0)的等價(jià)事件(x=0)；(y=1)的等價(jià)事件(x=1)或(x=-1)35例：設(shè)隨機(jī)變量x具有概率密度 求y=x2的概率密度。, 04( )80, xxxfx其他2( )yfyp yyp x

14、ypyxy 0( )0;yyfy當(dāng)時(shí)， 16 ( )1yyfy當(dāng)時(shí)， 016 y當(dāng)時(shí),11, 0168162 0, yyy其他( )( )( )( ) ( )( ( ) ( )xau xadf xf t dtf xdxdf t dtf u x u xdx連續(xù)時(shí)，( ) ( )xyfxfy，解：分別記x,y的分布函數(shù)為( )0yfypxy()xfy( )yxft dt1(), 0162( ) 0, xyfyyyfy其他y在區(qū)間(0,16)上均勻分布。36一般，若已知x的概率分布，y=g(x)，求y的 概率分布的過(guò)程為：12 ,(),()();jjiyyy yyyyxdp yyp xd1. 若 為

15、離散量，則先寫(xiě)出 的可能取值：再找出的等價(jià) 事件得2. ( )() (), ( )()( )yyyyyfyp yyyyxdfyp xdyfy若 為連續(xù)量，則先寫(xiě)出 的概率分布函數(shù)：，找出的等價(jià)事件得；再求出 的概率密度函數(shù)；關(guān)鍵是找出等價(jià)事件。37例：設(shè) y=2x,z=x2,求y,z的概率分布。13x-110p131323z01p1313y-220p1313解：y的可能取值為-2,0,2 z的可能取值為0,1(y=-2)的等價(jià)事件為(x=-1)(z=1)的等價(jià)事件為(x=1)(x=-1)故得：38例： 2( ) ( )yxf xxyxyfy 設(shè) 的概率密度為，求 的概率密度( )yyfy解：設(shè)

16、 的概率分布函數(shù)為 0( )yyfy當(dāng)時(shí)，()p yy2()p xy( )yyf t dt00( )( )yyf t dtf t dt( )( )yyfyfy1 ()(), 02 0 , 0fyfyyyy39( ),( )0 ( )0)() xxfxxg xg xyg xy 定理：設(shè)，或。， 則 具有概率密度為：( ( )( ) , ( ) 0, xyfh yh yyfy其他min( (),() max( (),()( )( )ggggh yxyg x其中，( )0,g x 證明：不妨設(shè)( )0h y 且：( )( ( ) ( )( ( )( )yxxfyfh y h yfh yh y( )0

17、 g x 同理可證：當(dāng)時(shí)，定理為真xh(y),yy0y=g(x)y g x則為單調(diào)增函數(shù), ( )()( ()()0yyfyp yyp g xyp x 當(dāng)時(shí)，； y當(dāng)時(shí)，( )1yfy ； y當(dāng)時(shí)，( )()yfyp yy( ()p g xy( )p xh y( )( )h yxft dt40( ),( )0( , ),( )0 ( )0)() ( ( )( ) , ( ) 0, min( ( ), ( ) max( ( ), ( )( )( )xxyxfxx f xa baxbg xg xyg xyfh yh yyfyg a g bg a g bh yxyg x推論：設(shè)當(dāng)時(shí)或。， 則 具有概

18、率密度為：其他其中，41例：2( ,) ( )yxxnyyfy 設(shè)， 求 的概率密度( )xyg x，3, 04( ) ( )80, yxxxf xyxfy。若， 求 其他3( ) yg xx，131, 064( )24 0 , yyyfy其他222( ,) (,)xnyaxbyn ab a 一般若，1 ( )0g x ，( )xh yy( )()yxfyfy2212ye(0,1)yn13 ( )xyh y2( )30g xx ，21331( )()3yxfyyfy解：例： 解：42 1 2,0,1xf xxf xyf xyu例：設(shè) 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，為 的分布函數(shù)。求；設(shè)試證即均勻分布 。 ,01 0 , 0 xexxf xx解：由前知, 1,0 0 ,0 xexf xx 1,02 0 ,0xexyf xx 01y yfyy記為 的概率分布函數(shù), 00yyfyp yy當(dāng)時(shí)， 11yyfyp yy當(dāng)時(shí)， 011xyyfypey當(dāng)時(shí)，1xp ey 11p xlny 0, 0 , 01 , 0,11, 1yyfyyyyuy即111lnyey 43復(fù)習(xí)思考題復(fù)習(xí)思考題 2 21.什么量被稱為隨機(jī)變量？它與樣本空間的關(guān)系如何？2.滿足什么條件的試驗(yàn)稱為“n重貝努里試驗(yàn)”？3.事件a在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,0p1。若在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，a發(fā)生的總次數(shù)為x,