第八章函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、一一 多元函數(shù)與極限多元函數(shù)與極限二二 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)三三 多元函數(shù)的全微分及其應(yīng)用多元函數(shù)的全微分及其應(yīng)用四四 多元復(fù)合函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)的微分法五五 * 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值1.實(shí)例分析實(shí)例分析 例例 1 1 設(shè)設(shè)矩矩形形的的邊邊長長分分別別 x和和 y，則則矩矩形形的的面面積積 s為為 xys . 在在此此，當(dāng)當(dāng) x和和 y每每取取定定一一組組值值時(shí)時(shí)，就就有有一一確確定定的的面面積積值值s即即s依依賴賴于于 x和和 y的的變變化化而而變變化化 例例 2 2 具有一定質(zhì)量的理想氣體，其體積為具有一定質(zhì)量的理想氣體，其體積為 v，壓強(qiáng)，壓強(qiáng)為為 p，熱力學(xué)溫

2、度，熱力學(xué)溫度 t 之間具有下面依賴關(guān)系之間具有下面依賴關(guān)系vrtp （r是常數(shù)）是常數(shù)）. 在這一問題中有三個(gè)變量在這一問題中有三個(gè)變量 p，v，t，當(dāng)，當(dāng) v 和和 t 每取每取定為一組值時(shí)，按照上面的關(guān)系，就有一確定的壓強(qiáng)定為一組值時(shí)，按照上面的關(guān)系，就有一確定的壓強(qiáng) p 定義定義1 ：設(shè)在某一過程中有三個(gè)變量：設(shè)在某一過程中有三個(gè)變量 x , y 和和 z，如果對(duì)于，如果對(duì)于 變量變量 x , y 在其變化范圍在其變化范圍 d 內(nèi)的每一對(duì)值內(nèi)的每一對(duì)值 ( x , y )， 按照法則按照法則 f 有唯一確定的值有唯一確定的值 z r 與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)， 那么這種法則就規(guī)定了一個(gè)函數(shù)：

3、那么這種法則就規(guī)定了一個(gè)函數(shù)： 其中其中 x ，y 稱為稱為自變量自變量，z 稱為稱為因變量因變量， d為為定義域。定義域。 d中任一對(duì)數(shù)中任一對(duì)數(shù) ( x , y )在法則在法則 f 下的對(duì)應(yīng)值下的對(duì)應(yīng)值 z ，稱為，稱為 f 在在 點(diǎn)點(diǎn)( x , y )的函數(shù)值，記作的函數(shù)值，記作 z = f ( x , y ) 。),(),(:yxfzyxrdf 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念函數(shù)函數(shù) f 的函數(shù)值的全體的函數(shù)值的全體稱為函數(shù)稱為函數(shù) f 的值域。的值域。dyxyxfzzdf),(),()(函數(shù)的函數(shù)的兩個(gè)要素兩個(gè)要素: :定義域，對(duì)應(yīng)法則定義域，對(duì)應(yīng)法則二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函

4、數(shù)的圖形通常是一張曲面. .xyzsin 例如例如, ,圖形如右圖圖形如右圖. .2222azyx 例如例如, ,右圖球面右圖球面. .),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: :xyzo一、多元函數(shù)極限一、多元函數(shù)極限注意：注意： 是指是指 p 以任何以任何方式趨于方式趨于p0 .0pp ,)(lim0axfxx,)(lim0axfxx.)(lim0axfxx 一一元元中中多多元元中中,),(lim0ayxfpp. )() ( 0ppaxf以以某某種種方方式式趨趨于于axfyyxx )(lim00ayxfyyxx ),(lim00) (0px軸軸沿平行沿

5、平行ayxfyyxx ),(lim00) (0py軸軸沿平行沿平行) )( (000pxxkyy 沿沿ayxfxx ),(lim0000)(yxxky ( (1 1) ) 令令),(yxp沿沿)(00 xxkyy 趨趨向向于于),(000yxp， 若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在； (2) (2) 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 兩者不相等，此時(shí)也可斷言兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxp 處極限不存在處極限不存在 確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：二、多元函數(shù)連

6、續(xù)二、多元函數(shù)連續(xù)定義定義3：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) z = f ( x , y )在點(diǎn)在點(diǎn) 及其附近有定義及其附近有定義 如果如果 ，就稱函數(shù)，就稱函數(shù) f ( x , y )在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)。如果連續(xù)。如果 f ( x , y )在區(qū)域在區(qū)域 d 的的 每一點(diǎn)都連續(xù)，就稱每一點(diǎn)都連續(xù)，就稱 f ( x , y ) 在區(qū)域在區(qū)域 d 連續(xù)。連續(xù)。 ),(000yxp),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx0p(1) 函數(shù)函數(shù)),(yxf在在),(000yxp點(diǎn)有定義；點(diǎn)有定義； (2) ),(lim00yxfyyxx存在；存在； (3) ),(),(lim0000yxfyxfyyxx

7、 。 則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxp連續(xù)連續(xù). . 滿足以下條件：滿足以下條件：多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四 則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表 示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的在在定義域內(nèi)的定義域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定義區(qū)域定義區(qū)域 ppfpfpp例例.11lim00 xyxyyx 求求解解

8、)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim00引例引例 一定量的理想氣體的壓強(qiáng)一定量的理想氣體的壓強(qiáng) p，體積，體積 v，熱力學(xué)，熱力學(xué)溫度溫度 t 三者之間的關(guān)系為三者之間的關(guān)系為 vrtp ( (r 為常量為常量) ). . 當(dāng)溫度不變時(shí)（等溫過程） ，壓強(qiáng)當(dāng)溫度不變時(shí)（等溫過程） ，壓強(qiáng) p 關(guān)于體積關(guān)于體積 v 的變的變變變化率就是化率就是 2ddvrtvpt常數(shù)常數(shù), , 這種形式的變化率稱為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)這種形式的變化率稱為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 第二節(jié)第二節(jié) 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在二元函數(shù)在二元函數(shù) z = f (x,

9、 y)中中, 有兩個(gè)自變量有兩個(gè)自變量 x, y, 但但若固定其中一個(gè)自變量若固定其中一個(gè)自變量, 比如比如, 令令y = y0, 而讓而讓 x 變化變化.則則 z 成為一元函數(shù)成為一元函數(shù) z = f (x, y0), 我們可用討論一元我們可用討論一元函數(shù)的方法來討論它的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的方法來討論它的導(dǎo)數(shù), 稱為偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)數(shù).一、偏導(dǎo)數(shù)的定義一、偏導(dǎo)數(shù)的定義.),(),(limlim000000存在如果極限xyxfyxxfxzxxx則稱這個(gè)極限值為則稱這個(gè)極限值為 z = f (x, y) 在在 (x0, y0) 處對(duì)處對(duì) x 的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù). ),( 00yxfx記作即即xyxfyxxfy

10、xfxx),(),(lim),(0000000此時(shí)也稱此時(shí)也稱 f (x, y)在在(x0, y0) 處對(duì)處對(duì)x 的偏導(dǎo)數(shù)存在的偏導(dǎo)數(shù)存在. 否則否則稱稱f (x, y)在在(x0, y0) 處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)不存在的偏導(dǎo)數(shù)不存在. ,00yyxxxzxyxfxfyyxx),( 0000或類似類似, 若固若固定定 x = x0, 而讓而讓 y 變變, z = f (x0, y)成成為為 y 的一元函數(shù)的一元函數(shù).),(),(limlim000000存在若極限yyxfyyxfyzyyy則稱它為則稱它為z = f (x, y) 在在 (x0, y0) 處對(duì)處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).yyxfyfy

11、zyxfyyyxxyyxxy),( , ),( 00000000或記作即即yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000定義：設(shè)函數(shù)定義：設(shè)函數(shù) z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義。 固定固定 ，給，給 x 增量增量 ，相應(yīng)的函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù) z 有增量有增量 ，稱為，稱為 z 關(guān)于關(guān)于 x 的偏增量。如果極限的偏增量。如果極限 存在，就稱其為函數(shù)存在，就稱其為函數(shù) f ( x , y )在點(diǎn)在點(diǎn) 處對(duì)處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，記作的偏導(dǎo)數(shù)，記作),(00yx),(00yx0yy x),(),(0000yxfyxxfzxxyxfyxxf

12、xzxxx),(),(limlim000000),(,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx函數(shù)函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處對(duì)處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)，記作的偏導(dǎo)數(shù)，記作),(,00000000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxxyyxfyyxfy),(),(lim00000),(00yx若若 z = f (x, y) 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn) (x, y) 處時(shí)處時(shí)x的的偏導(dǎo)數(shù)都存在偏導(dǎo)數(shù)都存在, 即即 (x, y) d, xyxfyxxfx),(),(lim0存在存在.此時(shí)此時(shí), 它是它是 x, y的二元函數(shù)的二元函數(shù). 稱為稱為 z 對(duì)對(duì)

13、x 的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)函數(shù)函數(shù). 簡稱偏導(dǎo)數(shù)簡稱偏導(dǎo)數(shù).記作記作 ( ,), xzfx yx類似定義類似定義 z 對(duì)對(duì) y 的偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù).xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),( 0即1.由偏導(dǎo)數(shù)定義知由偏導(dǎo)數(shù)定義知, 所謂所謂 f (x, y) 對(duì)對(duì)x 的偏的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 就是將就是將 y 看作常數(shù)看作常數(shù), 將將 f (x, y) 看作一元看作一元函數(shù)來定義的函數(shù)來定義的. 注注因此因此,在實(shí)際計(jì)算時(shí)在實(shí)際計(jì)算時(shí), 求求 f x (x, y)時(shí)時(shí), 只須將只須將 y 看作常數(shù)看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.求求 f y (x, y)時(shí)時(shí), 只須將只須

14、將 x 看作常數(shù)看作常數(shù),用一元用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.2. f x (x0, y0) 就是就是 f x (x, y), 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)的值的值. 算算 f x (x0, y0) 可用可用3種方法種方法.f y (x0, y0)f y (x, y)f y (x0, y0)(1) 用定義算用定義算.(2) 先算先算 f x (x, y), 再算再算 f x (x0, y0) f y (x, y),f y (x0, y0).例例1.)2 , 1 (322處的偏導(dǎo)數(shù)在求yxyxz解解:. 862 ,3221yxxzyxxz從而. 743 ,2321yxyzyxyz從而例

15、例2.2sin2的偏導(dǎo)數(shù)求yxz 解解:,2sin2yxxz22cos2yxyzyx2cos22例例4. 222的偏導(dǎo)數(shù)求zyxu解解:22222 zyxxuxux22222 zyxyuyuy22222 zyxzuzuz在一元函數(shù)中在一元函數(shù)中, 可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù), 但對(duì)多元函數(shù)但對(duì)多元函數(shù)不適用不適用.即即, 對(duì)多元函數(shù)對(duì)多元函數(shù) f (x,y)而言而言, 即使它在即使它在 (x0， y0 )的對(duì)各個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在的對(duì)各個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 也也不不能保證能保證 f (x,y)在在 (x0， y0 ) 連續(xù)連續(xù).三、偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系三、偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的二元函數(shù)

16、未必連續(xù)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的二元函數(shù)未必連續(xù)偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：例例. ),(yxfz,),( , 1軸上時(shí)軸或不在當(dāng)yxyx,),( , 0軸上時(shí)軸或在當(dāng)yxyx易知易知, f (x, y)在在(0,0)的兩個(gè)偏的兩個(gè)偏導(dǎo)都存在導(dǎo)都存在,且為且為0.但它在但它在(0, 0)不連續(xù)不連續(xù).如圖如圖yxzo).,(),(),(yxfyxfyxfzyx的偏導(dǎo)數(shù)為設(shè)由于它們還是由于它們還是 x, y 的函數(shù)的函數(shù). 因此因此, 可繼續(xù)討論可繼續(xù)討論.),(),(的偏導(dǎo)數(shù)yxfyxfyx高階偏導(dǎo)數(shù), .),(),( .),( 則記還可偏導(dǎo)若內(nèi)可偏導(dǎo)在區(qū)域設(shè)yxfyxfdyxfzyx xf

17、yyxfyxzxy),(2,),(22 xfxyxfxzxx,),(22 yfyyxfyzyy yfxyxfxyzyx),(2稱為稱為 z = f (x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). .),(),( 為二階混合偏導(dǎo)數(shù)稱yxfyxfyxxy 類似類似, 可得三階可得三階, 四階四階, , n 階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù).則記可偏導(dǎo)若如, ,22xz,2233xzxxz.,2223等等xzyyxz例例1., 3sin3322xzyxyxz求全部二階偏導(dǎo)和設(shè)解解:221,zy xx22cos .zx yyy24.zxyx y 2222,zyx2222sin ,zxyy24,zxyy x 330.zx一般說

18、來一般說來, 算這算這個(gè)改變量較麻煩個(gè)改變量較麻煩, 希望找計(jì)算它的近似公式希望找計(jì)算它的近似公式.該近似公式應(yīng)滿足該近似公式應(yīng)滿足(1)好算好算. (2)有起碼的精度有起碼的精度.在實(shí)際中在實(shí)際中,常需計(jì)算當(dāng)兩個(gè)自變量都改常需計(jì)算當(dāng)兩個(gè)自變量都改變時(shí)變時(shí), 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y)的改變量的改變量 f (x0+ x, y0 + y) f (x0, y0).一、全微分的概念一、全微分的概念第三節(jié)第三節(jié) 多元函數(shù)的全微分多元函數(shù)的全微分類似一元函數(shù)的微分概念類似一元函數(shù)的微分概念, 引進(jìn)記號(hào)和定義引進(jìn)記號(hào)和定義.記記 z = f (x0+ x, y0 + y) f (x0, y

19、0).稱為稱為 z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn) (x0, y0) 的全增量的全增量.全微分的定義全微分的定義. ybxadz 定定義義 對(duì)照一元函數(shù)的微分對(duì)照一元函數(shù)的微分, z = f (x , y), 若若 z = a x +0( x) 則則dz = a x = f (x) x . 自然會(huì)提出以下問題自然會(huì)提出以下問題.(1)若若z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)可微可微, 微分式微分式 dz = a x +b y中系數(shù)中系數(shù) a, b 如何求如何求, 是否與是否與z的偏導(dǎo)有的偏導(dǎo)有關(guān)關(guān)?(2)在一元函數(shù)中在一元函數(shù)中, 可微與可導(dǎo)是等價(jià)的可微與可導(dǎo)是等價(jià)的. 在二在二元函

20、數(shù)中元函數(shù)中, 可微與存在兩個(gè)偏導(dǎo)是否也等價(jià)可微與存在兩個(gè)偏導(dǎo)是否也等價(jià)?(3)在一元函數(shù)中在一元函數(shù)中, 可微可微連續(xù)連續(xù), 對(duì)二元函數(shù)對(duì)二元函數(shù)是否也對(duì)是否也對(duì)?函數(shù)若在某區(qū)域函數(shù)若在某區(qū)域 d 內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱這函數(shù)內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱這函數(shù) 在在 d 內(nèi)內(nèi)可微分可微分. . 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx可可微微分分, , 則則函函數(shù)數(shù)在在該該 點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù). . 事實(shí)上事實(shí)上,za xb y , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數(shù)數(shù) ),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn) ),(yx 處處連連續(xù)續(xù). . 結(jié)論

21、結(jié)論: 對(duì)二元函數(shù)對(duì)二元函數(shù) z = f (x, y), z 在在(x0, y0)可微可微(不是不是存在兩個(gè)偏導(dǎo)存在兩個(gè)偏導(dǎo)) z 在在(x0, y0)連續(xù)連續(xù). yyzxxzdz .,dyydxx .dyyzdxxzdz 定理定理（可微分的充分條件可微分的充分條件）如果函數(shù)）如果函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)xz 、yz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx連續(xù)，則該函連續(xù)，則該函 數(shù)在點(diǎn)數(shù)在點(diǎn)),(yx可微分可微分 證略。證略。.dyyzdxxzdz 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微分函數(shù)可微分函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在例例 3 3

22、計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù) xyez 在點(diǎn)在點(diǎn) )1 , 2( 處的全微分處的全微分. . 解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，.dyxedxyexyxy .222dyedxedz (2, 1) 處的全微分處的全微分它們均連續(xù)。因此，函數(shù)可微分。它們均連續(xù)。因此，函數(shù)可微分。,xyye xxyexz yxyeyz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 定理定理1： 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x , y )有有 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，函數(shù)，函數(shù) z = f ( u , v ) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) ( u , v )

23、有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，則函數(shù)，則函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)( x , y )有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且且),(),(yxvyxuyxyxvvuu,vuzz,yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz第四節(jié)第四節(jié) 多元函數(shù)的求導(dǎo)法則多元函數(shù)的求導(dǎo)法則一一 鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示 xzuvxzy uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv uvxzy解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuuz uvxy型型).cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 例例 5 5

24、設(shè)設(shè)),(22xyyxfz，求求 xz，yz 解解 令令22yxu，xyv ，則，則),(vufz 所以所以 xzxvvzxuuzvzyuzx 2, yzyvvzyuuzvzxuzy 2. 1 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù))ln() 4() 3()(cos)sin() 2()ln() 1 (2xyzxuxyxyzxyxzzy2 求下列函數(shù)的全微分求下列函數(shù)的全微分yzxyxuezyxyz) 3()2() 1 (223 求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)uururzryrxzyxudxdzeyxyarctgzdtdztytxtyxzx,cos,sinsin,sincos,) 3(,),()2(,cos,sin,) 1 (222