人教版高中數(shù)學(xué)選修11單元質(zhì)量評(píng)估三 Word版含解析

1、起單元質(zhì)量評(píng)估(三) (第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.設(shè)正弦函數(shù)y=sinx在x=0和x=2附近的瞬時(shí)變化率為k1,k2,則k1,k2的大小關(guān)系為()a.k1>k2b.k1<k2c.k1=k2d.不確定【解析】選a.y=sinx,y=cosx,所以k1=cos0=1,k2=cos2=0,k1>k2.2.若f(x0)=-3,則limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=()a.-12b.-9c.-6d.-3【解析】選a.因?yàn)閘imh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=l

2、imh0f(x0+h)-f(x0)h+3limh0f(x0)-f(x0-3h)3h=f(x0)+3f(x0)=4f(x0),所以limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=-12.3.函數(shù)f(x)=2x-cosx在(-,+)上()a.單調(diào)遞增b.單調(diào)遞減c.有最大值d.有最小值【解析】選a.f(x)=2+sinx>0恒成立,所以f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增.4.設(shè)函數(shù)g(x)=x(x2-1),則g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為()a.-1b.0c.-239d.33【解析】選c.g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,解得x1=33,x2=-33(舍去).當(dāng)x變化時(shí),g(x)與

3、g(x)的變化情況如下表:x00,333333,11g(x)-0+g(x)0極小值0所以當(dāng)x=33時(shí),g(x)有最小值g33=-239.5.已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+x-5在(-,+)上既有極大值,也有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()a.a>13b.a13c.a<13且a0d.a13且a0【解題指南】函數(shù)有極大值、極小值說明該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值等于0至少有兩個(gè)根,由一元二次方程根的判別式即可求解.【解析】選c.f(x)=3ax2-2x+1,函數(shù)f(x)在(-,+)上有極大值,也有極小值,等價(jià)于f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根,即3a0,=4-12a>0.解得a<13且a0.6

4、.(2016·沈陽高二檢測)三次函數(shù)f(x)=mx3-x在(-,+)上是減函數(shù),則m的取值范圍是()a.m<0b.m<1c.m0d.m1【解析】選c.f(x)=3mx2-1,由題意f(x)0在r上恒成立.當(dāng)m等于0時(shí),顯然成立,當(dāng)m不等于0時(shí),m<0,=12m0.綜上可知,m0.【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤:一是忽略m=0的情況,二是當(dāng)m不等于0時(shí)的情況處理失誤,從而造成結(jié)果出錯(cuò).7.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cr),若x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),則下列圖象不可能為y=f(x)的圖象的是()【解析】選d.設(shè)h(x)=f(x)ex,則

5、h(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=(ax2+2ax+bx+b+c)ex.由x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),得當(dāng)x=-1時(shí),ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,所以c=a.所以f(x)=ax2+bx+a.若方程ax2+bx+a=0有兩根x1,x2,則x1x2=aa=1,d中圖象一定不滿足該條件.8.(2016·重慶高二檢測)已知函數(shù)f(x)=ex-mx+1的圖象是曲線c,若曲線c不存在與直線y=ex垂直的切線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()a.-,-1eb.1e,+c.-,1ed.-,1e【解題指南】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)切點(diǎn)為(s,t),求得切線的斜率,若曲

6、線c不存在與直線y=ex垂直的切線,則關(guān)于s的方程es-m=-1e無實(shí)數(shù)解,由指數(shù)函數(shù)的值域,即可得到m的取值范圍.【解析】選d.函數(shù)f(x)=ex-mx+1的導(dǎo)數(shù)為f(x)=ex-m,設(shè)切點(diǎn)為(s,t),即有切線的斜率為es-m,若曲線c不存在與直線y=ex垂直的切線,則關(guān)于s的方程es-m=-1e無實(shí)數(shù)解,由于es>0,即有m-1e0,解得m1e.9.若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是()a.(-,+)b.(-2,+)c.(0,+)d.(-1,+)【解析】選d.因?yàn)?x(x-a)<1,所以a>x-12x.令f(x)=x-12x,所以f(x)=1+

7、2-xln2>0.所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)>f(0)=0-1=-1,所以a的取值范圍為(-1,+).10.如果圓柱的軸截面周長為定值4,則圓柱體積的最大值為()a.827b.1627c.89d.169【解題指南】先確定一個(gè)變量,再確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,求導(dǎo)確定函數(shù)的最值,并注意自變量的取值范圍.【解析】選a.設(shè)圓柱橫截面圓的半徑為r,圓柱的高為h,則2r+h=2.因?yàn)関=r2h=r2(2-2r)=2r2-2r3,所以v=2r(2-3r).令v=0,則r=0(舍)或r=23.經(jīng)檢驗(yàn)知,當(dāng)r=23時(shí),圓柱體積最大,此時(shí)h=23,vmax=·49×

8、;23=827.11.(2015·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xr)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()a.(-,-1)(0,1)b.(-1,0)(1,+)c.(-,-1)(-1,0)d.(0,1)(1,+)【解析】選a.記函數(shù)g(x)=f(x)x,則g(x)=xf'(x)-f(x)x2,因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),xf(x)-f(x)<0,故當(dāng)x>0時(shí),g(x)<0,所以g(x)在(0,+)上單調(diào)遞減;又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(xr)是奇函數(shù),故函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所

9、以g(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,且g(-1)=g(1)=0.當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)>0,則f(x)>0;當(dāng)x<-1時(shí),g(x)<0,則f(x)>0,綜上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-,-1)(0,1).12.已知y=f(x)是(0,+)上的可導(dǎo)函數(shù),滿足(x-1)2f(x)+xf(x)>0(x1)恒成立,f(1)=2,若曲線f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線為y=g(x),且g(a)=2016,則a等于()a.-500.5b.-501.5c.-502.5d.-503.5【解析】選c.令f(x)=x2f(x),則f(x)=2x

10、f(x)+x2f(x)=x2f(x)+xf(x),當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,f(x)在(1,+)上遞增;當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<0時(shí),f(x)在(0,1)上遞減.因?yàn)閒(1)=0,所以2f(1)+f(1)=0,所以f(1)=-4,所以切線方程為y-2=-4(x-1),即y=-4x+6,所以由-4a+6=2016,得a=-502.5二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知函數(shù)f(x)=axlnx,x(0,+),其中a為實(shí)數(shù),f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(1)=3,則a的值為.【解析】f(x)=alnx+ax

11、3;1x=a(lnx+1),由f(1)=3得,a(ln1+1)=3,得a=3.答案:314.(2015·全國卷)已知函數(shù)fx=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線過點(diǎn)2,7,則a=.【解析】因?yàn)閒(x)=3ax2+1,所以圖象在點(diǎn)1,f1處的切線的斜率k=3a+1,所以切線方程為y-7=(3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切點(diǎn)為1,f1,所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2,所以-3a+6=a+2,解得a=1.答案:115.函數(shù)f(x)=x1-x的單調(diào)增區(qū)間是.【解析】因?yàn)閒(x)=x'(1-x)-x(1-x)'(

12、1-x)2=1-x+x(1-x)2=1(1-x)2>0,又x1.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-,1),(1,+).答案:(-,1),(1,+)16.(2016·青島高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x-1x+1,g(x)=x2-2ax+4,若對(duì)于任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】由于f(x)=1+1(x+1)2>0,因此函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以x0,1時(shí),f(x)min=f(0)=-1.根據(jù)題意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即ax2+52x能成立,令h(x)=x2+52

13、x,則要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函數(shù)h(x)=x2+52x在x1,2上單調(diào)遞減,所以h(x)min=h(2)=94,故只需a94.答案:94,+三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f(x)=g(x),f(5)=30.求g(4).【解析】由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.于是有a+2=2c,a+b+1=4d,由f(x)=g(x),得2x+a=2x+c,

14、所以a=c,由f(5)=30,得25+5a+b=30.由可得a=c=2,由得b=-5,再由得d=-12,所以g(x)=x2+2x-12.故g(4)=16+8-12=472.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點(diǎn)p(1,-2),過點(diǎn)p作直線l.(1)求使直線l和y=f(x)相切,且以p為切點(diǎn)的直線方程.(2)求使直線l和y=f(x)相切,且切點(diǎn)異于p的直線方程.【解題指南】(1)由已知可得斜率函數(shù)為f(x)=3x2-3,進(jìn)而求出所過點(diǎn)的切線的斜率,代入點(diǎn)斜式公式即可.(2)設(shè)另一切點(diǎn)為(x0,y0),求出該點(diǎn)切線方程,再由條件計(jì)算.【解析】(1)由f(x)=x3-3x,

15、得f(x)=3x2-3,過點(diǎn)p以p(1,-2)為切點(diǎn)的直線的斜率f(1)=0,所以所求直線方程為y=-2.(2)設(shè)過p(1,-2)的直線l與y=f(x)切于另一點(diǎn)(x0,y0),則f(x0)=3x02-3,又直線過(x0,y0),p(1,-2),故其斜率可表示為y0-(-2)x0-1=x03-3x0+2x0-1,又x03-3x0+2x0-1=3x02-3,即x03-3x0+2=3(x02-1)(x0-1).解得x0=1(舍去),或x0=12,故所求直線的斜率為k=3×14-1=-94.所以直線l的方程為y-(-2)=-94(x-1).即9x+4y-1=0.【規(guī)律方法】用導(dǎo)數(shù)求切線方程

16、的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)p(x0,y0)及斜率,其求法為:設(shè)p(x0,y0)是曲線y=f(x)上的一點(diǎn),則以p的切點(diǎn)的切線方程為:y-y0=f(x0)(x-x0).若曲線y=f(x)在點(diǎn)p(x0,f(x0)的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí),由切線定義知,切線方程為x=x0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=x2+xlnx.(1)求f(x).(2)求函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)p(1,1)處的切線方程.【解題指南】(1)直接使用求導(dǎo)公式和法則得結(jié)果.(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求切線斜率,再由點(diǎn)斜式得切線方程.【解析】(1)f(x)=(x2)+(xlnx)=2x+1×lnx+x·1x=2x+l

17、nx+1.(2)由題意可知切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,所以切線的斜率是k=f(1)=2×1+ln1+1=3,所以切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2,其中xr,a為參數(shù).(1)記函數(shù)g(x)=16f(x)+lnx,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.(2)若曲線y=f(x)與x軸正半軸有交點(diǎn)且交點(diǎn)為p,曲線在點(diǎn)p處的切線方程為y=g(x),求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x).【解題指南】(1)整理函數(shù)g(x)解析式,求得其導(dǎo)函數(shù)g(x),結(jié)合函數(shù)定義域?qū)?shù)a的范圍加以討論,從而得到g(x)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)性.(2)將證明不

18、等式f(x)g(x)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3的最小值問題,從而借助于導(dǎo)數(shù)求解.【解析】(1)函數(shù)g(x)的定義域是(0,+),f(x)=3x2-2ax,g(x)=16(3x2-2ax)+lnx,g(x)=16(6x-2a)+1x=x+1x-a32-a3.當(dāng)a6時(shí),則2-a30,所以g(x)0,所以函數(shù)g(x)在定義域(0,+)上單調(diào)遞增,當(dāng)a>6時(shí),令g(x)=3x2-ax+33x=0,則x1=a-a2-366,x2=a+a2-366.可知函數(shù)g(x)在0,a-a2-366上單調(diào)遞增,在a-a2-366,a+a2-366單調(diào)遞減,在a+a2-3

19、66,+上單調(diào)遞增.(2)令f(x)=0,則x=0或x=a.若曲線y=f(x)與x軸正半軸有交點(diǎn),則a>0且交點(diǎn)坐標(biāo)為p(a,0).又f(x)=3x2-2ax,則f(a)=a2,所以曲線在點(diǎn)p處的切線方程為y=a2(x-a),即g(x)=a2x-a3,令h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3,h(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=a時(shí),h(x)有最小值,所以h(x)0,則f(x)g(x).20.(12分)(2015·全國卷)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)

20、討論f(x)的單調(diào)性.(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=1x-a.若a0,則f(x)>0,所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.若a>0,則當(dāng)x0,1a時(shí),f(x)>0;x1a,+時(shí),f(x)<0,所以f(x)在0,1a上單調(diào)遞增,在1a,+上單調(diào)遞減.(2)由(1)知,當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,+)上無最大值;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x=1a處取得最大值,最大值為f1a=ln1a+a1-1a=-lna+a-1.因此f1a>2a-2等價(jià)于lna+a-1<0,令g(a)=l

21、na+a-1,則g(a)在(0,+)上單調(diào)遞增,g(1)=0.于是,當(dāng)0<a<1時(shí),g(a)<0;當(dāng)a>1時(shí),g(a)>0.因此,a的取值范圍是(0,1).21.(12分)若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極值-43.(1)求函數(shù)的解析式.(2)若方程f(x)=k有3個(gè)不同的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】f(x)=3ax2-b.(1)由題意得f'(2)=12a-b=0,f(2)=8a-2b+4=-43,解得a=13,b=4.故所求函數(shù)的解析式為f(x)=13x3-4x+4.(2)由(1)可得f(x)=x2-4=(x-2)(x+2

22、),令f(x)=0,得x=2或x=-2.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)283-43因此,當(dāng)x=-2時(shí),f(x)有極大值283,當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極小值-43,所以函數(shù)f(x)=13x3-4x+4的圖象大致如圖所示.若f(x)=k有3個(gè)不同的根,則直線y=k與函數(shù)f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),所以-43<k<283.【延伸探究】若本題(2)中“若方程f(x)=k有3個(gè)不同的根”改為“若方程f(x)=k有2個(gè)不同的根”結(jié)果如何呢?若改為“若方程f(x)=k有1個(gè)根”呢?【解析】由上面的解法可知:當(dāng)k=-43或k=283時(shí),方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根;當(dāng)k>283或k<-43時(shí)