第八章常微分方程的數(shù)值解

1、第八章第八章 常微分方程的數(shù)值解常微分方程的數(shù)值解第八章第八章 常微分方程的數(shù)值解常微分方程的數(shù)值解8.1 引言引言0)(),() 1 (yaybxayxfy )(,)(),()2(0ayyaybxayyxfy nybyyaybxayyxfy)(,)(),()3(000)(),() 1 (yxyyxfy2121),(),(yylyxfyxf8.2 簡單的數(shù)值方法簡單的數(shù)值方法一、歐拉（一、歐拉（euler）方法）方法hxyxyxxxyxyxy)()()()()(0101010由由00000)(),()(yxyyxfxy10001),()(yyxhfyxy得得hxyxyxxxyxyxynnnnn

2、nn)()()()()(111),()()(1nnnnyxhfxyxy),()(nnnyxfxy由由得得若記若記11)(,)(nnnnyxyyxy則上式可記為則上式可記為),(1nnnnyxhfyypn+1yoxx0 x1x2xnp0p1p2pny=y(x)xn+1euler方法的幾何意義：方法的幾何意義： （euler折線法）折線法）例例: 用用euler方法求解常微分方程初值問題方法求解常微分方程初值問題 yyxyxy203002()( ).并將數(shù)值解和該問題的解析解比較。并將數(shù)值解和該問題的解析解比較。21)(xxxy解析解：解：解：euler方法的具體格式：方法的具體格式：yyhyxy

3、nnnnn122()xn y(xn) yn yn-y(xn)0.00000.20.19230.20000.00770.40.34480.38400.03920.60.44120.51700.07580.80.48780.58240.09461.00.50000.59240.09241.20.49180.57050.07871.40.47300.53540.0624取取h=0.2, xn=nh,(n=0,1,2,15), f(x,y)=y/x 2y2 計算中取計算中取f(0,0)=1. 計算結果如下：計算結果如下：xn y(xn) yn yn-y(xn)1.60.44940.49720.0478

4、1.80.42450.46050.03592.00.40000.42680.02682.20.37670.39660.01992.40.35500.36980.01472.60.33510.34590.01082.80.31670.32460.00793.00.30000.30570.0057由表中數(shù)據(jù)可以看到，微分方程初值問題的數(shù)值解和解由表中數(shù)據(jù)可以看到，微分方程初值問題的數(shù)值解和解析解的誤差一般在小數(shù)點后第二位或第三位小數(shù)上，這析解的誤差一般在小數(shù)點后第二位或第三位小數(shù)上，這說明說明euler方法的精度是比較差的。方法的精度是比較差的。00.511.522.5300.20.40.60.8

5、o : 數(shù)值解；數(shù)值解； : 準確解準確解 數(shù)值解和解析解的圖示比較如下：數(shù)值解和解析解的圖示比較如下：xn, xn+1dxxyxfxyxynnxxnn1)(,()()(1)(,()(,(1nnxxxyxfhdxxyxfnn),(1nnnnyxhfyyxnn)(,()(,(111nnxxxyxfhdxxyxfnn),(111nnnnyxhfyy得得),()0(1nnnnyxhfyy),()(11)1(1knnnknyxhfyy),(),(11)(111)1(1nnknnnknyxfyxfhyy1)(1nknyyhl二、梯形方法二、梯形方法dxxyxfxyxynnxxnn1)(,()()(1由由

6、)(,()(,(2)(,(111nnnnxxxyxfxyxfhdxxyxfnn),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy得得),()0(1nnnnyxhfyy),(),(211)(111)1(1nnknnnknyxfyxfhyy1)(12nknyyhl),(),(2)(11)1(1knnnnnknyxfyxfhyy由以上分析可以看出，隱式方法的計算比顯式方由以上分析可以看出，隱式方法的計算比顯式方法復雜，需要用迭代法求解非線性方程才能得出法復雜，需要用迭代法求解非線性方程才能得出計算結果。計算結果?？刹捎脤@式可采用將顯式euler格式與梯形格式結合使用的方格式與梯形格式結合使用的方法

7、來避免求解非線性方程。法來避免求解非線性方程。記記),(1nnnnyxhfyy再用梯形格式計算：再用梯形格式計算：),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy預測預測校正校正上面兩式統(tǒng)稱上面兩式統(tǒng)稱預測校正法預測校正法，又稱又稱改進的改進的euler方法方法。三、單步法的局部截斷誤差和精度三、單步法的局部截斷誤差和精度),(11hyyxhyynnnnn),(1hyxhyynnnnx0開始，考慮每一步產(chǎn)生的開始，考慮每一步產(chǎn)生的誤差，直到誤差，直到xn，則有誤差則有誤差nnnyxye)(稱為數(shù)值方法在節(jié)點稱為數(shù)值方法在節(jié)點xn處的整體截斷誤差。處的整體截斷誤差。但但en不易分析和計算，故只考慮從不易分析和計算，故只考慮從xn到到xn+1的局部的局部情況。情況。),(,()()(11hxyxhxyxytnnnnnxn+1)(),()()(11pnnnnnhohyxhxyhxyt)(,()()(11nnnnnxyxhfxyxyt)()()(nnnxyhxyhxy)()()(2)()(2nnnnnxyhxyyhxyhxy )()(2)(2322hoxyhyhnn ),(1nnnxx)()2/(2nxyh tn+1o(h2)ynxn其中其中ynxn)()(