法則與重要極限

1、1、函數極限運算法則、函數極限運算法則),(lim0 xfxx定理定理4 若若)(lim0 xgxx均存在，則均存在，則1)2)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim00 xfkxkfxxxx （k為常數）為常數）3) 當當0)(lim0 xgxx時，時，).(lim/ )(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx 第六節(jié)第六節(jié) 極限運算法則極限運算法則證明證明1）設）設bxgxx )(lim0,)(lim0axfxx 0, 0, 021 ,2|)(| a

2、xf,2|)(| bxg取取=min1,2 當當0|x-x0|0).解：解： 1）m=n, 原式原式0010101111limbaxbxbbxaxaannnnx 2）mn, 原式原式011lim1010 mmmnmnmnxxbxbbxaaxxa3）mn，原式，原式=.例例.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分分母母的的極極限限都都是是無無窮窮大大分分子子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)020)2(lim)

3、(lim2lim925lim22229519512 xxxxxxxxxxxx例例 592lim0925lim2lim592lim22519222xxxxxxxxxxxxx由上例知，由上例知，又例又例,115lim330 xxxx 求求 33011)1()1(25limxxxxx 解：原式解：原式 333333011)1()125limxxxxx （ 3332333233011)1(11)1()1125limxxxxxxxxx （215 .,1)1(lim0nnxxnx ),1(lim22 xxxx練習練習3、復合函數極限運算法則、復合函數極限運算法則(p37)定理定理 設函數設函數y=f(u)

4、及及u= (x)構成構成復合函數復合函數y= f (x), 在在x0某個去心鄰域某個去心鄰域, 若若且且 (x) l , 則復合函數則復合函數y= f (x)在在 xx0時時的極限為的極限為auflxluxx )(lim,)(lim0.)(lim)(lim0aufxfluxx ,)(00)(,)(,0)min(,)(),(02,120 lulxlxlxxxlxxux即即有有取取設設 aufluaufau)(,0, 0, 0)(lim恒恒有有已已知知證證lxxx )(lim0又又, 0, 01 對對上上面面的的 lxxx)(,010恒有恒有!,)(lim)()(0證畢證畢由極限定義得由極限定義得

5、有有axfaufaxfxx 說明說明:aufxfluxuxx )(lim)(lim)(0令令又稱變量代換法又稱變量代換法1. 2. 冪指函數的極限運算冪指函數的極限運算.)(lim,)(lim,)(lim)(000bxgxxxxxxaxfbxgaxf 則則設設證明證明: .limlim)(limlnln)(ln)()(ln)()(00babuabuxfxguxfxgxxxgxxaeeexf 令令0 極限存在準則極限存在準則0 兩個重要極限兩個重要極限 第七節(jié)第七節(jié) 極限存在準則、極限存在準則、兩個重要極限兩個重要極限數列極限的夾擠準則數列極限的夾擠準則準準則則 如如果果數數列列nnyx ,及及

6、nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數數列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .1、極限存在準則、極限存在準則可以推廣到函數的極限可以推廣到函數的極限.準則準則 如果當如果當)(00 xux ( (或或mx ) )時時, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00axhaxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于a. .準則準則 和和準則準則 稱為稱為夾擠準則夾擠準則.ac(1)1sinlim0 xxx)2

7、0(, xxaobo 圓心角圓心角設單位圓設單位圓,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有xobd.aco ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xoab的圓心角為的圓心角為扇形扇形,bdoab的高為的高為 2、兩個重要極限、兩個重要極限,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時時當當 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim)120 xxx

8、求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 ,5tanlim)20 xxx又又515coslim5sin5lim515cos5sinlim)2000 xxxxxxxxx原式原式xxxarcsinlim)303) 設設 u=arcsinx x0時時u0,1/sin1limsinlim00 uuuuuu原式原式(2)exxx )11(limennxnnnn )11(lim,)11(且且單單調調遞遞增增, 1 nxn設設,)11()11()111(1 nxnnxn則則)11(lim)11(lim)11(li

9、m1nnnnnnnn 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim nnnnnnnn, e .)11(limexxx x與與n同時趨向同時趨向+ 由夾擠準則由夾擠準則, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim用變量代換可求出用變量代換可求出exxx )11(lim例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5

10、.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e .)211(lim,)1(lim510nnxxxnxe 又又例例7 求求xxxxln)1ln(1sinlim )11ln(1sinlimxxx 解：原式解：原式xxxxx)11ln(11sinlim 1ln1 e)11ln(1sinlimxxxxx 例例6 求求131)23(lim xxx解：原式解：原式131)1(21 lim xxx66210)21(lim e其他幾個重要極限其他幾個重要極限:axxxxaxaxln/1)1(loglim)1(loglim/100 )1:(ln1lim0 xxxauaxa令令1)1ln(lim0 xxx11lim0 xexx xxxexexxxxxxx)1ln()1ln(1lim1lim1)1(lim)1ln(0)1ln(00例例8 2)1(1ln1lim/100)(limeeexxxexxxxx 公式的綜合應用公式的綜合應用2/1)1(coslim/10202)1(coslimeeexxexxxxxx 5/1)/11ln()/41ln(lim)/11ln()/41ln(lim0 xxxxxxxx 函