高中數(shù)學(xué)課件——數(shù)列11

1、 數(shù) 列 知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)數(shù)列數(shù)列的數(shù)列數(shù)列數(shù)列方法要點方法要點1本單元的主要內(nèi)容是數(shù)列的有關(guān)概念和兩種特殊數(shù)列等差、等比數(shù)列.其中重點是等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念與性質(zhì)、數(shù)列通項、前n項和的求法以及數(shù)列知識在實際方面的應(yīng)用.2. 處理等差、等比數(shù)列的常用思路.3數(shù)列通項、求和的常用方法.4本章常用的數(shù)學(xué)思想和方法.復(fù)習(xí)要求概述復(fù)習(xí)要求概述數(shù)列單元復(fù)習(xí)中首先應(yīng)掌握基礎(chǔ)性知識，深刻理解本單元的基本知識點，基本數(shù)學(xué)思想和方法.然后要重點掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列通項的求法和特殊數(shù)列的求和，真正掌握基本方法的運用.最后還應(yīng)加強數(shù)學(xué)思想的滲透.數(shù)列部分的單元復(fù)習(xí)可分成如下四個方面展開：l重現(xiàn)函數(shù)與數(shù)

2、列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用重現(xiàn)函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，重視方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用. l掌握等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及可化為等差、等比的簡單問掌握等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及可化為等差、等比的簡單問題題.同時重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用同時重視等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用.l進(jìn)一步加強應(yīng)用意識，能應(yīng)用數(shù)列有關(guān)知識解決生產(chǎn)、生活中的進(jìn)一步加強應(yīng)用意識，能應(yīng)用數(shù)列有關(guān)知識解決生產(chǎn)、生活中的一些實際問題一些實際問題.l通過設(shè)計一些新穎的題目和綜合性問題，尤其是開放性、探索性通過設(shè)計一些新穎的題目和綜合性問題，尤其是開放性、探索性問題，突出問題，突出“觀察觀察歸納歸納猜想猜想證明證明”的思維模

3、式的思維模式.學(xué)生常見錯誤剖析典型錯誤1：對于 與 的關(guān)系考慮不周.例1 數(shù)列 的前n項和 ，求數(shù)列的通項公式.錯解： 數(shù)列 的通項公式為 . 錯因剖析：已知 ，求 ，通常用 ，但這是在 的前提條件之下； 時，不能用此公式求 .na21nsnn2211 (1)(1) 122nnnassnnnnn na22nannsna1nnnass2n1n 1anans典型錯誤2：片面理解有關(guān)題意.例2 首項是 ，第10項起開始比1大的等差數(shù)列的公差d的范圍是 （ ）a b c d錯解：由題意 ，即 ，解得 ，故選a.錯因剖析：錯誤原因在于審題僅考慮到 這一條件而沒有注意到題中“開始”這一關(guān)鍵字眼.當(dāng)然也有選

4、c者，雖注意到這一點，但由 來求d的范圍而造成錯解.125875d 925d 837525d837525d101a19125d875d 101a91a 典型錯誤3：忽視等比數(shù)列前n項和公式的適用條件.例3 等比數(shù)列 的公比為q，前n項的和為 ，若 成等比數(shù)列，試問 是否成等差數(shù)列？請說明理由.錯解：由題意 ， 故 ， .顯然 ，否則 ， ,不合題意. 故 . ，因此 成等差數(shù)列.錯因剖析：當(dāng)問題涉及等比數(shù)列前n項和時，忽視了對公比及兩種情形進(jìn)行討論而致誤.nans51020102,s sss51510,s ss210520102()ssss210520101111(1)(1)(1)(1)211

5、11aqaqaqaqqqqq525105(1)2 (1)(1)(1)qqqq51q 1q 100s51012 11qq 512q 510111510(1)(1)9114 1aqaqassqqq153111152 (1)21921 ()1124 1aqaasqqq 510152sss51510,s ss典型錯誤4：對等差數(shù)列前n項和的結(jié)構(gòu)特點認(rèn)識不透.例4 已知兩個等差數(shù)列 和 的前n項和分別為 和 ，且對一切正整數(shù)n,都有 ，試求 的值.錯解：設(shè) ，則 ， ，所以 .錯因剖析：錯解在利用條件 ，設(shè) 時，把k誤認(rèn)為是與n無關(guān)的常數(shù).事實上，等差數(shù)列的前n項和公式 ，在公差 的條件下是關(guān)于n的二次

6、函數(shù)，且常數(shù)項為零.na nbnsnt5327nnsntn99ab(53) ,(27) (0)nnsnk tnk k998(5 93)(5 83)5asskkk 998(2 97)(2 87)2bttkkk 9952ab5327nnsntn(53) ,(27) (0)nnsnk tnk k11(1)2nsnan nd0d 典型錯誤5：對存款利率問題概念模糊不清.例5 一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學(xué)的費用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲上大學(xué)時，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的

7、錢的總數(shù)為多少？ 錯解：因為年利率不變，所以每年到期時的錢數(shù)形成一個等比數(shù)列，那18年時取出的錢數(shù)應(yīng)為以a為首項，公比為1+r的第19項，即 .錯因剖析：上述解法只考慮了孩子出生時存入的a元到18年時的本息，而題目的要求是每年都要存入a元，事實上，不是求 ，而是求 .1819(1)aarnans典型錯誤6：數(shù)列求和時項數(shù)計算出錯.例6 一個數(shù)列 ，當(dāng)n為奇數(shù)時， ，當(dāng)為偶數(shù)時， ，求這個數(shù)列的前n項之和.錯解： ， 構(gòu)成首項為2，公比為2的等比數(shù)列. .錯因剖析：在求和值時，將奇數(shù)項和偶數(shù)項都假設(shè)是含n個項，所以結(jié)果顯然是錯誤的.na51nan22nna 21215(21) 15(21) 11

8、0kkaakk22222222222kkkkaa1321,ka aa21(651)2(1 2 )572221 222nnnnnsssnn奇偶說明：在這類數(shù)列求和問題中，一定要分情況討論（項數(shù)n是奇數(shù)還是偶數(shù)），若n是奇數(shù)，則設(shè)n2m1，其中有（m1）項是奇數(shù)項，m項是偶數(shù)項；若n是偶數(shù)，則設(shè)n2m，其中奇數(shù)項、偶數(shù)項個數(shù)都為m，在得出含有m的結(jié)論后，再用n反代進(jìn)去，就可得出本題的最終結(jié)果，這樣的間接計算操作，可達(dá)化難為易之效果.典型錯誤7：用導(dǎo)數(shù)工具解決數(shù)列單調(diào)性時失誤.例7 已知遞增數(shù)列 滿足 ，求實數(shù) 的取值范圍.錯解： 看成函數(shù) ，定義域為 ，由題意 ，在區(qū)間 是增函數(shù)， .錯因剖析：事

9、實上，函數(shù) 為離散函數(shù)，其圖象是 上的一串孤立點.圖象上看，拋物線的對稱軸 為應(yīng)在x1的左側(cè)，又因為數(shù)列為離散函數(shù)，故只要對稱軸 在 的左側(cè)即可，而并非一定要在x1的左側(cè).na2*,()nann nn2nann2( )f xxx*xn2( )f xxx1,)( )201,)fxxx對恒成立，2x1,)2x 即對恒成立，故2*( ),()f xxx xn2( )()f xxx xr2x 2x 1.5x 正解： 看成函數(shù) ，定義域為 ，由題意， 為遞增函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為 ，拋物線的對稱軸為 ，應(yīng)在x1的左側(cè)，再注意到此函數(shù)為離散函數(shù)，故只要對稱軸 在 的左側(cè)即可，于是2nann2( )f xxx

10、*xn2( )f xxx1,)2x 2x 1.5x 1.5,3.2 即說明：本題中可舉例說明 滿足題意.當(dāng)數(shù)列 的通項公式或前n項和公式是一個二次函數(shù)時，若頂點的橫坐標(biāo)不一定是正整數(shù)時，應(yīng)結(jié)合其圖象來確定最值（在離對稱軸較近的那個自然數(shù)取得最值）.若用導(dǎo)數(shù)法討論數(shù)列的單調(diào)性，不能直接對 求導(dǎo)，應(yīng)先對函數(shù) 求導(dǎo)，然后再分析 的單調(diào)性.這樣才能真正使學(xué)生弄清數(shù)列的單調(diào)性和函數(shù)的單調(diào)性的共性和個性，深刻認(rèn)識其本質(zhì)的區(qū)別在于定義域不同.2.5 na( )naf n( )yf x( )f n教學(xué)設(shè)計：數(shù)列的單調(diào)性問題教學(xué)設(shè)計：數(shù)列的單調(diào)性問題【教學(xué)目標(biāo)】1、掌握關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，會求數(shù)

11、列的an或sn的極值.2、能運用函數(shù)、不等式的思想，解決有關(guān)數(shù)列問題.3、逐步學(xué)會對比較復(fù)雜、抽象的問題進(jìn)行等價變換等數(shù)學(xué)的思想方法.【教學(xué)重點】數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法， an 或sn的極值求法.【教學(xué)難點】對比較復(fù)雜、抽象的問題進(jìn)行等價變換的思想方法及含參數(shù)問題的討論.【復(fù)習(xí)引入】【復(fù)習(xí)引入】1.數(shù)列的概念數(shù)列的概念對照兩種定義，強調(diào)函數(shù)觀點下的數(shù)列定義，明確數(shù)列的有序性是數(shù)列定義的靈魂，有助于理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù).2.函數(shù)視角看數(shù)列函數(shù)視角看數(shù)列在函數(shù)觀點下，數(shù)列的通項公式就是對應(yīng)函數(shù)的解析式，數(shù)列可看作定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集1，2，n）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時所對

12、應(yīng)的一列函數(shù)值，故可用函數(shù)觀點來研究數(shù)列，如遞增、遞減、最大項、最小項等.【講授新課】【講授新課】1.數(shù)列的單調(diào)性定義數(shù)列的單調(diào)性定義在數(shù)列 中，如果 對 都成立，那么就稱數(shù)列 是單調(diào)遞增數(shù)列；如果 對 都成立，那么稱數(shù)列 是單調(diào)遞減數(shù)列.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.數(shù)列的單調(diào)性可以用函數(shù)的單調(diào)性來刻畫.na1nnaa*nnna1nnaa*nnna2.等差、等比數(shù)列的單調(diào)性等差、等比數(shù)列的單調(diào)性對于等差數(shù)列 而言，其增減性較簡單，簡述如下：公差 為遞增數(shù)列;公差 為常數(shù)列;公差 為遞減數(shù)列.相比較而言，等比數(shù)列 的增減性稍顯復(fù)雜，我們可以考察的 值來研究，易得如下的結(jié)論：在等比數(shù)列 中，

13、公比為q，則 或 遞增數(shù)列; 或 遞減數(shù)列; 非零常數(shù)列; 擺動數(shù)列.na0nda0nda0ndana1nnaana101aq1001aq1001aq101aq1q 0q 思考：對于一般的數(shù)列，如何來研究其增思考：對于一般的數(shù)列，如何來研究其增減性呢？減性呢？從等比數(shù)列增減性研究過程中，不難發(fā)現(xiàn)，其一般方法是先作差 （或作商 ），再變形，最后判斷n為何值時，差為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，至此，數(shù)列 的增減性就清楚了.1nnaa1nnaana【例題分析】【例題分析】例1 設(shè)函數(shù) ，數(shù)列 滿足 .(1)求數(shù)列 的通項公式；(2)判斷數(shù)列 的單調(diào)性.1( )(0)f xxxxna*()2 ()nf an nn

14、nana例2 已知 且 數(shù)列 是首項為 公比也為 的等比數(shù)列，令 問是否存在實數(shù)a，對任意正整數(shù)n，數(shù)列 中的每一項總小于它后面的項？若存在，求出相應(yīng)a的范圍；若不存在，說明理由.0a 0,a na, aalg(*),nnnbaa nn nb【有關(guān)應(yīng)用】【有關(guān)應(yīng)用】(1)求數(shù)列的最值求數(shù)列的最值例3 已知 ， 試問：數(shù)列 有沒有最大項？如果有，求出這個最大項；如果沒有，請說明理由.*10(1) () ,()11nnannnna2)求參數(shù)的取值范圍求參數(shù)的取值范圍例4 已知不等式 對一切大于1的正整數(shù)n都成立,求實數(shù)a的取值范圍.111112log (1)1232123aannnn3)證明有關(guān)不等式證明有關(guān)不等式例5 證明:對于一切大于1的正整數(shù)n，恒有1111 2(1)(1)(1).35212nn【提煉總結(jié)】【