第四章不定積分的概念和性質(zhì)53277

1、不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì) 前面我們已經(jīng)研究了一元函數(shù)微分學。但在科學前面我們已經(jīng)研究了一元函數(shù)微分學。但在科學技術(shù)領(lǐng)域中，還會遇到與此相反的問題：即尋求一技術(shù)領(lǐng)域中，還會遇到與此相反的問題：即尋求一個可導函數(shù)，使其導數(shù)等于一個已知函數(shù)。從而產(chǎn)個可導函數(shù)，使其導數(shù)等于一個已知函數(shù)。從而產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學。積分學分為不定積分和定積生了一元函數(shù)積分學。積分學分為不定積分和定積分兩部分。分兩部分。 本章我們先從導數(shù)的逆運算引出不定積分的概本章我們先從導數(shù)的逆運算引出不定積分的概念念然后介紹其性質(zhì)，最后著重系統(tǒng)地介紹積分方法。然后介紹其性質(zhì)，最后著重系統(tǒng)地介紹積分方法。重點重點原函數(shù)與

2、不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式基本積分公式換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法有理函數(shù)積分有理函數(shù)積分難點難點換元積分換元積分分部積分分部積分有理函數(shù)積分有理函數(shù)積分基本要求基本要求正確理解原函數(shù)和不定積分概念正確理解原函數(shù)和不定積分概念熟記基本積分公式熟記基本積分公式熟練地運用換元積分法和分部積分法熟練地運用換元積分法和分部積分法會用待定系數(shù)法求有理函數(shù)積分會用待定系數(shù)法求有理函數(shù)積分會用萬能代換和三角代換求三角有理式積分會用萬能代換和三角代換求三角有理式積分會求簡單無理函數(shù)的積分會求簡單無理函數(shù)的積分例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0

3、(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間i內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導導函函數(shù)數(shù))(xf的的即即ix ，都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xf就就稱稱為為)(xf導函數(shù)為導函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念對原函數(shù)的研究須討論解決以下兩個對原函數(shù)的研究須討論解決以下兩個問題問題(1) 是否任何一個函數(shù)都存在原函數(shù)？是否任何一個函數(shù)都存在原函數(shù)？考察如下的例子考察如下的例子 0100)(xxxf若存在可導函數(shù)若存在可

4、導函數(shù))()()(xfxfxf 使使)(xf則由則由的定義的定義時時當當0 x0)()( xfxf1)(cxf 時時當當0 x0)()( xfxf2)(cxf 處連續(xù)處連續(xù)在在可導可導由由0)()( xxfxf關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：21cc （左、右極限存在且相等）（左、右極限存在且相等）cxf )(0)0( f而已知而已知1)0()0( ff矛盾矛盾這說明這說明)(xf沒有原函數(shù)沒有原函數(shù) 既然不是每一個函數(shù)都有原函數(shù)，那么我們自然既然不是每一個函數(shù)都有原函數(shù)，那么我們自然要問：具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)？對此我們要問：具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)？對此我們給出如下的結(jié)論：給

5、出如下的結(jié)論：原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間i內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，那那么么在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)存存在在可可導導函函數(shù)數(shù))(xf，使使ix ，都有，都有)()(xfxf . .簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).（證明待下章給出）（證明待下章給出）（2）原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之間有）原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之間有 什么聯(lián)系？什么聯(lián)系？若若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù). 若若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xf)(xg)(xf則則cxgxf )()

6、(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c證證 )()()()(xgxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)，cxfdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. . 為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可再加上積分常數(shù)即可例例1 1 求求.5dxx 解

7、解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx例例3 3 設(shè)曲線通過點（設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱

8、為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( cxfdxxf.)()( cxfxdf結(jié)論：結(jié)論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.實例實例 xx 11.11cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？能否根據(jù)求導公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積

9、分表基本積分表基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx說明：說明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx簡寫為簡寫為.ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;cs

10、ccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 以上以上1515個公式是求不定積分的基礎(chǔ)，個公式是求不定積分的基礎(chǔ)，稱為基本積分表，必須熟練掌握。稱為基本積分表，必須熟練掌握。例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的

11、情況此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dxxfxfn)()(1 dxxfdxxfn)()(1 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k證明只須驗證右端的導數(shù)等于左端的被積函數(shù)證明只須驗證右端的導數(shù)等于左端的被積函數(shù)（1）+（2） dxxfkdxxfkiniiniii)( )(11即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合這說明不定積分具有線性運算性質(zhì)這說明不定積分具有線性運算性質(zhì) 注意到上式中有注意到上式中有n個積分號，形式上含有個積分號，形式上含有n個任意個任意常數(shù)常數(shù),但由于任意常數(shù)

12、的線性組合仍是任意常數(shù)，故但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù)，故實際上只含有實際上只含有一個任意常數(shù)一個任意常數(shù)分項積分法分項積分法例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 注意注意檢驗積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導，看檢驗積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導，看其導數(shù)是否等于被積函數(shù)其導數(shù)是否等于被積函數(shù)例例6 6 求積分求積分.)1(122dxxxxx 解解dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx 例例

13、7 7 求積分求積分.)1(21222dxxxx 解解dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 例例8 8 求積分求積分.2cos11 dxx解解 dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 例例9dxxx 241解解dxxx 241dxxx 2411)1(dxxx 11122cxxx 331arctan例例10dxxx 22cossin1解解dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossin dxxxsin1cos122cxx cottan例例11dxxx 2cos2

14、sin122解解dxxx 2cos2sin122dxxx 2cos2sin4422dxx 2sin14cx cot4說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.例例 1212 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點為點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲線方程為所求曲線方程為.

15、 6costan xxy說明說明求不定積分時一定要加上積分常數(shù)，它表明求不定積分時一定要加上積分常數(shù)，它表明一個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個，即要求的是全一個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個，即要求的是全體原函體原函 數(shù)，若不加積分常數(shù)則表示只求出了一數(shù)，若不加積分常數(shù)則表示只求出了一個原函數(shù)個原函數(shù)寫成分項積分后，積分常數(shù)可以只寫一個寫成分項積分后，積分常數(shù)可以只寫一個積分的結(jié)果在形式上可能有所不同，但實質(zhì)上積分的結(jié)果在形式上可能有所不同，但實質(zhì)上只相差一個常數(shù)只相差一個常數(shù)基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxf 不定積分的概念：不定積分的概念： cxfdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系