高中數(shù)學：13正弦定理、余弦定理及其運用課件必修五

1、正弦定理、余弦正弦定理、余弦定理及其運用定理及其運用 v一、考綱解讀考綱解讀v二、正弦定理及其變形二、正弦定理及其變形v三、余弦定理及其變形三、余弦定理及其變形v四、實際應用問題中的基本概念和術(shù)語四、實際應用問題中的基本概念和術(shù)語v五、例題講解五、例題講解v六、高考題再現(xiàn)六、高考題再現(xiàn)v七、小結(jié)七、小結(jié)本節(jié)課內(nèi)容目錄：一、考綱解讀：一、考綱解讀：在課標及在課標及教學要求教學要求中對正弦定理、余中對正弦定理、余弦定理的要求均為理解弦定理的要求均為理解(b)。在高考試題中。在高考試題中，出現(xiàn)的有關(guān)試題大多為容易題，主要考，出現(xiàn)的有關(guān)試題大多為容易題，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式進查正弦

2、定理、余弦定理及利用三角公式進行恒等變換的技能及運算能力，以化簡、行恒等變換的技能及運算能力，以化簡、求值或判斷三角形形狀為主。求值或判斷三角形形狀為主。二、正弦定理及其變形：二、正弦定理及其變形：sin,sin,sin222abcabcrrr2sinsinsinabcrabc2 sin,2 sin,2 sinara brb crcabcabc: :sin:sin:sina b cabc111sinsinsin222abcsbcaacbabc( 其中其中 r是是abc外接圓的半徑）外接圓的半徑）1、已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一、已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；角；(三角形形狀唯一）三角

3、形形狀唯一）2、已知兩邊和其中一邊的對角，求另一、已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。（三角形形狀不一定唯一）邊的對角。（三角形形狀不一定唯一）解決題型：解決題型：三、余弦定理及其變形：三、余弦定理及其變形：2222222222cos2cos2cosabcbcabacacbcababcabcabc222222222cos;2cos;2cos.2bcaabcacbbacabccab解決題型：解決題型：1、已知三邊，求三個角；（只有一解）、已知三邊，求三個角；（只有一解）2、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊已知兩邊和它們的夾角，求第三邊 和其他兩個角。（和其他兩個角。（只有一解）只有一解） 四

4、、實際應用問題中的基本概念和術(shù)語四、實際應用問題中的基本概念和術(shù)語v仰角和俯角是與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)仰角和俯角是與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，其中目標視的水平視線和目標視線的夾角，其中目標視線在水平線上方時叫仰角；目標視線在水平線在水平線上方時叫仰角；目標視線在水平線下方時叫俯角。線下方時叫俯角。v方位角：一般指北方向線順時針轉(zhuǎn)到目標方方位角：一般指北方向線順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角。向線的水平角。 abc2 ,ccbb則中，若中，若的范圍是的范圍是 。 例例1.在銳角在銳角sinsin22cossinsinccbbbbb解：由解：由sinsinbcbc得到得到

5、000002900 b45cbc2cos2,2bb則(某學生的解）某學生的解）五、例題講解五、例題講解錯因分析：錯因分析：v因為因為abc是銳角三角形，則要是銳角三角形，則要求求00090 ,a0000090 ,090 .bc前面解法忽視了對前面解法忽視了對a的討論。的討論。正確解答正確解答sinsin22cossinsinccbbbbb0000002900 b45a+b+c=180b又000a=180 -b-c=180 -3b90解：由解：由sinsinbcbc得到得到c2cos2, 3bb則0030 b45即即0abc,2,45 ,ax bb在中，x若這個三角形有兩解，求若這個三角形有兩解

6、，求的取值范圍。的取值范圍。例例2.xbcb22xba1a2d則以則以c為圓心，為圓心，2為半徑畫弧應與射線為半徑畫弧應與射線bd有兩有兩22,22 22xxx即解：如圖作解：如圖作2,2cdab cdx個交點，則要求個交點，則要求若合題意若合題意 的三角形有兩個，的三角形有兩個，,aabca b在中，已知和 時，解得情況如下：解得情況如下：a為銳角為銳角a為鈍角或直為鈍角或直角角圖形圖形 關(guān)系關(guān)系式式a=bsinabsinaab解的解的個數(shù)個數(shù)一解一解兩解兩解一解一解一解一解無解無解abababcbaabbc12abccba上表中上表中a為銳角時，為銳角時，sinabaa為直角時，為直角時，

7、,ab ab均無解。均無解。時，無解；時，無解；例例3.在在中中, ,已知已知, ,判定判定的形狀。的形狀。abc22()sin()abab22()sin()abababc解法一：原式可化為解法一：原式可化為 2222()sin()(sincoscossin)abcababab即：即： 2222222222()()22a acbb bcaababcaccbc整理得：整理得：222222222222(),1abababababcc即（） （）=0a b得：得：或或222abcabc即即是等腰三角形或是直角三角形。是等腰三角形或是直角三角形。解法二：原式可化為解法二：原式可化為 22(sinsin

8、)(sincossincos)ababba22(sinsin)(sincoscossin)ababab化簡得：化簡得：22sincossinsinsincos0aababbsinsin(sincossincos)0abaabb也即也即(0, ),(0, )sin0,sin0abab0sin2sin2 ,a=ba+b=90ab則即，或abc即即是等腰三角形或是直角三角形。是等腰三角形或是直角三角形。 判斷三角形形狀時，可以將邊化到角也可以判斷三角形形狀時，可以將邊化到角也可以將角化到邊，或邊角同時互化。在轉(zhuǎn)化過程將角化到邊，或邊角同時互化。在轉(zhuǎn)化過程 中，三角形邊角具有的基本性質(zhì)不能忘記。中，三

9、角形邊角具有的基本性質(zhì)不能忘記。0180如內(nèi)角和為如內(nèi)角和為，每個內(nèi)角大于，每個內(nèi)角大于000180小于等。等。點評：點評：03b 2bac. 且滿足且滿足 求證：求證：例四：例四：abca b c,a b c, ,內(nèi)角內(nèi)角的對邊分別是的對邊分別是22222cos222122acbacacbacacacacac(0, )b又03b 證明：證明：abc在中點評點評:本題通過基本不等式的運用構(gòu)造不等關(guān)本題通過基本不等式的運用構(gòu)造不等關(guān)系，再利用三角形的內(nèi)角具有的范圍，得到系，再利用三角形的內(nèi)角具有的范圍，得到結(jié)論結(jié)論.060例五、例五、如圖所示，某海島上一觀察哨如圖所示，某海島上一觀察哨a上午上午

10、12時時20分測得船在海島北偏西分測得船在海島北偏西12時時40分輪船到達位于海島正西方且距海分輪船到達位于海島正西方且距海如果輪船始終勻速直線前如果輪船始終勻速直線前的的b處，處， 11時測得一輪船在海島北偏東時測得一輪船在海島北偏東 的的c處，處， 0605km島的的e港口，港口， 進，問船速多少？進，問船速多少？ 分析：分析：已知從已知從c到到b及及b到到e的時間，要知船速度，的時間，要知船速度，只需知道只需知道cb,be或或ce中的任一長度即可。中的任一長度即可。題中只知題中只知ae=5km，那么只要將已知長度的，那么只要將已知長度的邊長和需要計算的那個邊長納入到同一個三邊長和需要計算

11、的那個邊長納入到同一個三角形中，或是通過間接的途徑納入到同一個角形中，或是通過間接的途徑納入到同一個三角形中，再通過正弦定理或余弦定理進行三角形中，再通過正弦定理或余弦定理進行計算即可。計算即可。解：輪船從解：輪船從c到到b用時用時80分鐘分鐘， 從從b到到e用時用時20 分鐘，分鐘， 而船始終勻速前進，由此而船始終勻速前進，由此 可見：可見： 4bceb，ebx4bcx0030 ,150baeeac設設，則，則，由已知得，由已知得 在在aec中，由正弦定理中，由正弦定理 sinsinsinsinecaeaeeacceaccec05sin150152xxabc0014sin4 32sin3si

12、n120sin12032xbcabbccxabc 在在中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：abe22202cos30beabaeab ae在在中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：164 333131252 5,33233be 故所以船速所以船速3139313bevt 六、高考題再現(xiàn)：六、高考題再現(xiàn)： coscossin ,ab ba cc( 3, 1),(cos,sin),mnaa, ,abca b c為 ,mn1.（2008山東理）已知已知的對邊，向量的對邊，向量若若且且則角則角b= 三個內(nèi)角三個內(nèi)角,m0.mnn 得到分析：由分析：由轉(zhuǎn)化為三角問題。轉(zhuǎn)化為三角問題。2.（2009全國理）在在abc中，內(nèi)角中，內(nèi)角a、b、c的對邊的對邊 長分別為長分別為, , .abc已知已知222 ,sincos3cossin,acbacac且求求b.分析：求邊長，考慮將角向邊轉(zhuǎn)化。分析：求邊長，考慮將角向邊轉(zhuǎn)化。3.（2009浙江理）在在abc中，三個內(nèi)角中，三個內(nèi)角, ,a b c所對的邊分別為所對的邊分別為, , .abc且滿足且滿足cos2a2 5,3.5ab ac (1)求求abc的面積；的面積；（2