高一數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)總結(jié)二次函數(shù)

1、知識(shí)點(diǎn)大全I(xiàn). 定義與定義表達(dá)式一般地，自變量 x 和因變量 y 之間存在如下關(guān)系： y=ax2+bx+c(a ， b， c 為常數(shù)， a0，且a 決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.)則稱 y 為 x 的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。II. 二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式： y=ax2+bx+c(a ， b， c 為常數(shù)， a0)頂點(diǎn)式： y=a(x-h)2+k拋物線的頂點(diǎn)P(h ，k)交點(diǎn)式： y=a(x-x?)(x-x?)僅限于與x 軸有交點(diǎn)A(x? ， 0)

2、和 B(x? ， 0) 的拋物線 注：在 3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax?， x?=(- b± b2 -4ac)/2aIII. 二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù) y=x2 的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。IV. 拋物線的性質(zhì)1. 拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a 。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y 軸 ( 即直線 x=0)2. 拋物線有一個(gè)頂點(diǎn) P，坐標(biāo)為P(-b/2a ， (4ac-b2)/4a)當(dāng) -b/2a=0 時(shí)， P 在 y 軸上 ; 當(dāng)=b

3、2-4ac=0 時(shí)， P 在 x 軸上。3. 二次項(xiàng)系數(shù) a 決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng) a>0時(shí)，拋物線向上開口; 當(dāng) a<0時(shí)，拋物線向下開口。知識(shí)點(diǎn)大全|a| 越大，則拋物線的開口越小。4. 一次項(xiàng)系數(shù) b 和二次項(xiàng)系數(shù) a 共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng) a 與 b 同號(hào)時(shí) ( 即 ab>0) ，對(duì)稱軸在 y 軸左 ;當(dāng) a 與 b 異號(hào)時(shí) ( 即 ab<0) ，對(duì)稱軸在y 軸右。5. 常數(shù)項(xiàng) c 決定拋物線與 y 軸交點(diǎn)。拋物線與 y 軸交于 (0 ， c)6. 拋物線與 x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)=b2-4ac>0 時(shí)，拋物線與 x 軸有 2個(gè)交點(diǎn)。=b2-4ac=

4、0 時(shí)，拋物線與 x 軸有 1個(gè)交點(diǎn)。=b2-4ac<0 時(shí)，拋物線與 x 軸沒有交點(diǎn)。 X 的取值是虛數(shù) (x=- b± b2 -4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù) i ，整個(gè)式子除以 2a)V. 二次函數(shù)與一元二次方程特別地，二次函數(shù)( 以下稱函數(shù) )y=ax2+bx+c ，當(dāng) y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于 x 的一元二次方程 ( 以下稱方程 ) ，即 ax2+bx+c=0此時(shí)，函數(shù)圖像與x 軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。1. 二次函數(shù)y=ax2 ，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c( 各式中， a0) 的圖象形狀

5、相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸y=ax2(0 ，0)x=0y=a(x-h)2(h ， 0)知識(shí)點(diǎn)大全x=hy=a(x-h)2+k(h ， k)x=hy=ax2+bx+c(-b/2a ， 4ac-b2/4a)x=-b/2a當(dāng) h>0時(shí)， y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2 向右平行移動(dòng)h 個(gè)單位得到，當(dāng) h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.當(dāng)以得到h>0，k>0時(shí)，將拋物線y=a(x-h)2+k的圖象 ;y=ax2 向右平行移動(dòng)h 個(gè)單位，再向上移動(dòng)k 個(gè)單位，就可當(dāng) h>0，k<0時(shí)，將拋物線y=ax2

6、 向右平行移動(dòng)h 個(gè)單位， 再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;當(dāng)h<0， k>0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k 個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;當(dāng)h<0， k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象;因此，研究拋物線y=ax2+bx+c(a 0) 的圖象，通過配方， 將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了. 這給畫圖象提供了方便.2. 拋物線 y=ax2+bx+c(a 0) 的圖象：當(dāng) a>0時(shí)，開

7、口向上，當(dāng) a<0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線 x=-b/2a ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (-b/2a ，4ac-b2/4a).3. 拋物線 y=ax2+bx+c(a 0) ，若 a>0，當(dāng) x -b/2a 時(shí)，y 隨 x 的增大而減小 ; 當(dāng) x -b/2a時(shí)， y 隨 x 的增大而增大 . 若 a<0，當(dāng) x -b/2a時(shí)， y 隨 x 的增大而增大; 當(dāng) x -b/2a時(shí)， y隨 x 的增大而減小.4. 拋物線 y=ax2+bx+c 的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：(1) 圖象與 y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ，c);(2) 當(dāng) =b2 -4ac>0 ，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) A(x?

8、， 0) 和 B(x? ， 0) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0知識(shí)點(diǎn)大全(a 0) 的兩根 . 這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|當(dāng) =0. 圖象與x 軸只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng) <0. 圖象與x 軸沒有交點(diǎn) . 當(dāng) a>0時(shí)，圖象落在x 軸的上方， x 為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0;當(dāng) a<0時(shí)，圖象落在x 軸的下方，x 為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.5. 拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x=-b/2a時(shí)， y最小(大)值=(4ac-b2)/4a.頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.6. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1) 當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y 的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)， 可設(shè)解析式為一般形式：y=ax2+bx+c(a 0).(2) 當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x- h)2+k(a 0