第十一章第5節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展式的應(yīng)用64743

1、2一、近似計(jì)算,21 naaaa,21naaaa .21 nnnaar誤差誤差兩類問題兩類問題: :1.給定項(xiàng)數(shù)給定項(xiàng)數(shù),求近似值并估計(jì)精度求近似值并估計(jì)精度;2.給出精度給出精度,確定項(xiàng)數(shù)確定項(xiàng)數(shù).關(guān)健關(guān)健: :通過估計(jì)余項(xiàng)通過估計(jì)余項(xiàng),確定精度或項(xiàng)數(shù)確定精度或項(xiàng)數(shù).3常用方法常用方法:1.若余項(xiàng)是交錯(cuò)級數(shù)若余項(xiàng)是交錯(cuò)級數(shù),則可用余和的首項(xiàng)來解決則可用余和的首項(xiàng)來解決;2.若不是交錯(cuò)級數(shù)若不是交錯(cuò)級數(shù),則放大余和中的各項(xiàng)則放大余和中的各項(xiàng),使之成使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù)為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),從而求出其和從而求出其和.例例1 1.10,5 使其誤差不超過使其誤差不超過的近似值

2、的近似值計(jì)算計(jì)算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得4余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 5例例2 2.,9sin! 3sin03并估計(jì)誤差并估計(jì)誤差的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算利用利用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646.

3、0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過其誤差不超過 .510 6二、計(jì)算定積分.,ln1,sin,2難難以以計(jì)計(jì)算算其其定定積積分分函函數(shù)數(shù)表表示示原原函函數(shù)數(shù)不不能能用用初初等等例例如如函函數(shù)數(shù)xxxex 解法解法逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)定積分的近似值定積分的近似值被積函數(shù)被積函數(shù)7第四項(xiàng)第四項(xiàng)30001!771 ,104 取前三項(xiàng)作為積分的近似值取前三項(xiàng)作為積分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精確到精確到的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算dxxx 642!71! 51! 311sinxx

4、xxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收斂的交錯(cuò)級數(shù)收斂的交錯(cuò)級數(shù)8三、求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和1.1.利用級數(shù)和的定義求和利用級數(shù)和的定義求和: :(1)直接法直接法;(2)拆項(xiàng)法拆項(xiàng)法;(3)遞推法遞推法.例例4 4.21arctan12的和的和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 9181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1arctan1arctan nnsn)(4 n.421arctan12 nn故故,1arctan1kksk 假設(shè)

5、假設(shè)221arctan1arctankkksk ,1arctan kk102.2.阿貝爾法阿貝爾法( (構(gòu)造冪級數(shù)法構(gòu)造冪級數(shù)法):):,lim010nnnxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo))例例4 4.2121的和的和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 11 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx 2221)2(2limxxx )(lim1xsx , 3 . 32121 nnn

6、故故12例例5 5.2!12的和的和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 13四、歐拉公式復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù):)()()(nnivuivuivu2211.), 3 , 2 , 1(,為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)其中其中 nvunn則則稱稱級級數(shù)數(shù) 1)(nnnivu收收斂斂, , 且且其其和和為為 ivu . .14復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)絕對收斂的概念復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)絕對收

7、斂的概念三個(gè)基本展開式三個(gè)基本展開式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x絕對收斂絕對收斂)()()(nnivuivuivu221115的冪級數(shù)展開式的冪級數(shù)展開式由由xenixixnixixe)(!)(!12112)!()(!()!()(!(121312121112322nxxxinxxnnnnxixsincosxcosxsin16xixeixsincosieexeexixixixix22sincosxixeixsincos又又 揭示了三角函數(shù)和復(fù)變數(shù)指數(shù)函

8、數(shù)之間的揭示了三角函數(shù)和復(fù)變數(shù)指數(shù)函數(shù)之間的一種關(guān)系一種關(guān)系. .歐拉公式歐拉公式)sin(cosyiyeexiyx17五、小結(jié)、近似計(jì)算,求不可積類函數(shù)的定積分，、微分方程的冪級數(shù)的解法、微分方程的冪級數(shù)的解法(第十二節(jié)介紹第十二節(jié)介紹)求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和，歐拉公式的證明；求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和，歐拉公式的證明；18229511p習(xí)題習(xí)題)(),)(1242119一、一、 利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值: : 1 1、3ln ( (精確到精確到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精確到精確到0001. 0).).二、二、 利 用 被 積 函 數(shù) 的 冪 級 數(shù) 展 開 式 求 定 積 分利 用 被 積 函 數(shù) 的 冪 級 數(shù) 展 開 式 求 定 積 分 5 . 00arctandxxx ( (精確到精確到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 將函數(shù)將函數(shù)xexcos展開成展開成的冪級數(shù)的冪級數(shù)x . .練練 習(xí)習(xí) 題題20練習(xí)題答案練習(xí)題