曲面積分與曲線(xiàn)積分20893

1、106 高斯公式高斯公式 通量與散度通量與散度一、高斯公式一、高斯公式二、通量與散度二、通量與散度高斯公式的物理意義、散度散度的計(jì)算、通量、高斯公式的另一形式一、高斯公式一、高斯公式 定理1 設(shè)空間閉區(qū)域w是由分片光滑的閉曲面s所圍成，函數(shù)p(x, y, z)、q(x, y, z)、r(x, y, z)在w上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有dvzryqxpwsrdxdyqdzdxpdydz，或 dvzryqxpwdsrqp)coscoscos(s這里s是w的整個(gè)邊界的外側(cè)，cos 、cos 、cos是s上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向余弦 這兩個(gè)公式稱(chēng)為高斯公式證明 如圖所示，把s看成由s1，s

2、2和s3三部分組成，其中s1和s2的方程分別為zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，s1 取下側(cè)，s2 取上側(cè)，s3 取外側(cè)設(shè)閉區(qū)域w在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)閐 xy簡(jiǎn)要證明：x y zows2 ：zz2(x, y)s3s1 ：zz1(x, y)dxy 根據(jù)三重積分的計(jì)算法，有dvzrwxydyxzyxzdzzrdxdy),(),(21xyddxdyyxzyxryxzyxr),(,),(,12 另一方面，有s1),(,),(1xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr，s2),(,),(2xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr，s30),(dxdyzyxr，sdxdyzyxr),(x

3、yddxdyyxzyxryxzyxr),(,),(,12以上三式相加，得所以有 dvzrwsdxdyzyxr),( 類(lèi)似地有dvxpwsdydzzyxp),(，dvyqwsdzdxzyxq),(，把以上三式兩端分別相加，即得高斯公式 例 1 利用高斯公式計(jì)算曲面積分dydzzydxdyyx)()(s，其中s為柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所圍成的空間閉區(qū)域w的整個(gè)邊界曲面的外側(cè) 解 這里p(yz)x，q0，rxy，xpyz，xq0，xr0由高斯公式，有201030)sin(dzzrrdrd29 wdzrdrdzr)sin(wdxdydzzy)(dydzzydxdyyx)()(sx y

4、zo113 例 2 計(jì)算曲面積分s(x2 cos y2 cos z2 cos)ds，其中s為錐面 x2y2z2介于平面 z0 及 zh (h0)之間的部分的下側(cè)，cos 、cos 、cos是s上點(diǎn)(x, y, z)處的法向量的方向余弦 解 設(shè)s1為zh(x2y2 h 2)的上側(cè)，則s與s1一起構(gòu)成一個(gè)閉曲面，記它們圍成的空間閉區(qū)域?yàn)閣x y zox2y2 h 2hs1s22yxz:而因此s(x2 cos y2 cos z2 cos)dsss1(x2 cos y2 cos z2 cos)ds22222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdy222)(222hyx

5、dxdyyxh421h 由高斯公式得x2 cos y2 cos z2 cos)dswdvzyx)(222222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdyx2 cos y2 cos z2 cos)ds421hh 4421hs1(x2 cos y2 cos z2 cos)ds x2 cos y2 cos z2 cos)ds s1z2 ds2222hyxdxdyhh 4二、通量與散度二、通量與散度 高斯公式的右端可解釋為單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)閉區(qū)域w的流體的總質(zhì)量，左端可解釋為分布在w內(nèi)的源頭在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量高斯公式的物理意義：dvzryqxpwdssnf 在流速場(chǎng) f p(x, y, z), q(x, y, z), r(x, y, z)內(nèi)一定點(diǎn)m(x, y, z)附近任取一包圍m點(diǎn)的閉曲面s，設(shè)s所圍成的區(qū)域?yàn)閣，w的體積為v，則散度：表示單位時(shí)間從w的單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流量，而dsvsnf1mwlimdsvsnf1表示在點(diǎn)m處單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流量，我們稱(chēng)其為向量場(chǎng)f在點(diǎn)m的散度，記為divf，即 divfmw limdsvsnf1 設(shè)p、q、r具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則散度的計(jì)算：divf zryqxp 設(shè)s是向