曲面積分與曲線積分20893

1、106 高斯公式高斯公式 通量與散度通量與散度一、高斯公式一、高斯公式二、通量與散度二、通量與散度高斯公式的物理意義、散度散度的計算、通量、高斯公式的另一形式一、高斯公式一、高斯公式 定理1 設空間閉區(qū)域w是由分片光滑的閉曲面s所圍成，函數p(x, y, z)、q(x, y, z)、r(x, y, z)在w上具有一階連續(xù)偏導數，則有dvzryqxpwsrdxdyqdzdxpdydz，或 dvzryqxpwdsrqp)coscoscos(s這里s是w的整個邊界的外側，cos 、cos 、cos是s上點(x, y, z)處的法向量的方向余弦 這兩個公式稱為高斯公式證明 如圖所示，把s看成由s1，s

2、2和s3三部分組成，其中s1和s2的方程分別為zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，s1 取下側，s2 取上側，s3 取外側設閉區(qū)域w在xoy面上的投影區(qū)域為d xy簡要證明：x y zows2 ：zz2(x, y)s3s1 ：zz1(x, y)dxy 根據三重積分的計算法，有dvzrwxydyxzyxzdzzrdxdy),(),(21xyddxdyyxzyxryxzyxr),(,),(,12 另一方面，有s1),(,),(1xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr，s2),(,),(2xyddxdyyxzyxrdxdyzyxr，s30),(dxdyzyxr，sdxdyzyxr),(x

3、yddxdyyxzyxryxzyxr),(,),(,12以上三式相加，得所以有 dvzrwsdxdyzyxr),( 類似地有dvxpwsdydzzyxp),(，dvyqwsdzdxzyxq),(，把以上三式兩端分別相加，即得高斯公式 例 1 利用高斯公式計算曲面積分dydzzydxdyyx)()(s，其中s為柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所圍成的空間閉區(qū)域w的整個邊界曲面的外側 解 這里p(yz)x，q0，rxy，xpyz，xq0，xr0由高斯公式，有201030)sin(dzzrrdrd29 wdzrdrdzr)sin(wdxdydzzy)(dydzzydxdyyx)()(sx y

4、zo113 例 2 計算曲面積分s(x2 cos y2 cos z2 cos)ds，其中s為錐面 x2y2z2介于平面 z0 及 zh (h0)之間的部分的下側，cos 、cos 、cos是s上點(x, y, z)處的法向量的方向余弦 解 設s1為zh(x2y2 h 2)的上側，則s與s1一起構成一個閉曲面，記它們圍成的空間閉區(qū)域為wx y zox2y2 h 2hs1s22yxz:而因此s(x2 cos y2 cos z2 cos)dsss1(x2 cos y2 cos z2 cos)ds22222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdy222)(222hyx

5、dxdyyxh421h 由高斯公式得x2 cos y2 cos z2 cos)dswdvzyx)(222222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdyx2 cos y2 cos z2 cos)ds421hh 4421hs1(x2 cos y2 cos z2 cos)ds x2 cos y2 cos z2 cos)ds s1z2 ds2222hyxdxdyhh 4二、通量與散度二、通量與散度 高斯公式的右端可解釋為單位時間內離開閉區(qū)域w的流體的總質量，左端可解釋為分布在w內的源頭在單位時間內所產生的流體的總質量高斯公式的物理意義：dvzryqxpwdssnf 在流速場 f p(x, y, z), q(x, y, z), r(x, y, z)內一定點m(x, y, z)附近任取一包圍m點的閉曲面s，設s所圍成的區(qū)域為w，w的體積為v，則散度：表示單位時間從w的單位體積內所產生的流量，而dsvsnf1mwlimdsvsnf1表示在點m處單位時間內所產生的流量，我們稱其為向量場f在點m的散度，記為divf，即 divfmw limdsvsnf1 設p、q、r具有一階連續(xù)偏導數，則散度的計算：divf zryqxp 設s是向