第四章曲線積分與曲面積分習(xí)題課一

1、習(xí)題課習(xí)題課10-1一一 對弧長的曲線積分的計(jì)算對弧長的曲線積分的計(jì)算)(),(),(: ttytxl l),(yxfds )(),(ttf dttt)()(22 )(),(),(),(: ttztytxl l),(zyxfds )(),(),(tttf dtttt)()()(222 例例1 計(jì)算下列對弧長的曲線積分計(jì)算下列對弧長的曲線積分（1）,)(22 ldsyx其中其中l(wèi)圓周圓周. 1)1(22 yx解解tytxlsin,cos1: 2 , 0 t l 20)(22yx )cos1(2t dsdttt22cos)sin( 20)cos1(2dtt 4 （2）, lyds其中其中 20),

2、cos1(),sin(: ttayttaxl解解 l 20yds)cos1(ta dttata2222sin)cos1( 322202(1cos )atdt (3) lxdsycos xxyl0 ,sin:解解 lxycosds 0 xxcossindxx2cos1 122201(1cos)(1cos)2xdx 0 (4),2 ldsx., 1:222zyzyxl 解解 zyzyxl1:222 zyyx1222 20 ,sin22,sin22,cos: ttztytxl l2x ds 20t2cosdtttt222cos21cos21sin (5),)(2 ldsyx解解其中其中9:22 yx

3、l原式原式 l22)2(dsyxyx ldsyx)(22 lds9 54 (6),2 ldsx 01:222zyxzyxl解解由對稱性由對稱性 ldsx2 ldsy2 ldsz2 lldszyxdsx)(312222 lds3123 例例2 求橢圓周求橢圓周 12222 byax的質(zhì)量，已知線密度為的質(zhì)量，已知線密度為. |),(xyyx 解解由對稱性總質(zhì)量為橢圓周的第一象限部分由對稱性總質(zhì)量為橢圓周的第一象限部分質(zhì)量的質(zhì)量的4倍，倍，)20( ,sin,cos:1 ttbytaxl 14lxydsm 204 ttabsincosdttbta2222cossin 2022222sinsin)(

4、2 tdtbabab)(3)(422bababaab 例例3求均勻擺線求均勻擺線)0(),cos1(),sin( ttayttax的質(zhì)心。的質(zhì)心。解解 不妨設(shè)不妨設(shè)1 ldsm 0dttata2222sin)cos1( 02sin2dttaa4 lxydsm 0)cos1(ta dtta2sin23162a lyxdsm 0)sin(tta dtta2sin23162a mmxy 34a 34ammyx 二二 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算),(),(:tytxl tl的起點(diǎn)的起點(diǎn) tl的終點(diǎn)的終點(diǎn) l),(yxp),(yxq dxdy )(),(ttp )(),(ttq )(t

5、 dtt)( )(),(),(:tztytxl tl的起點(diǎn)的起點(diǎn) tl的終點(diǎn)的終點(diǎn) l),(zyxp),(zyxq dxdy),(zyxr dz )(),(),(tttp q r )(t )(t dtt)( 例例4計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分（1）, lydx其中其中l(wèi)逆時(shí)針圓周逆時(shí)針圓周1)1(22 yx解解tytxlsin,cos1: 20 tt lydx 20tsindtt)sin( （2）,2dxyxdyl l從原點(diǎn)從原點(diǎn))0 , 0(沿曲線沿曲線xysin 到點(diǎn)到點(diǎn)).0 ,( 解解 lx2y dydx 0 xsin2x xcosdx22 （3）,)()()(222222 ldzyxdy

6、xzdxzy其中其中l(wèi)為球面的一部分為球面的一部分0, 0, 0, 1222 zyxzyx的圍線，其方向從的圍線，其方向從z正向看去是逆時(shí)針的。正向看去是逆時(shí)針的。xyzo2210 xyz 2210 xzy 2210yzx 解解321llll 1l2l3l1l 0sincosztytx20: t2l 0sincosxtzty20: t3l 0sincosytxtz20: t 1)()()(222222ldzyxdyxzdxzy 20 )0(sin2 t)cos0(2t )sin(cos22tt )sin(t tcosdt0 2033)cos(sin dttt34 同理同理342 l343 l

7、ldzyxdyxzdxzy)()()(2222224 （4）,lxdy 其中其中l(wèi)為由點(diǎn)為由點(diǎn))1 , 1( 沿曲線沿曲線2xy 到點(diǎn)到點(diǎn))1 , 1(一段。一段。解解xyo( 1,1) (1,1)lxdy 11xxdx243 （5）,3232 lyxxdyydx其中其中l(wèi)323232ayx 逆時(shí)針方向。逆時(shí)針方向。解解taytaxl33sin,cos: 20:t原式原式2230a ta3sin)sincos3(2tta ta3cos dttta)cossin3(24334a 4222303sincosattdt 例例5橢圓橢圓tbytaxsin,cos 上點(diǎn)上點(diǎn)),(yx處作用處作用力力,f

8、其方向?yàn)橹赶驒E圓中心，其方向?yàn)橹赶驒E圓中心，其模為此點(diǎn)到原點(diǎn)的距其模為此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從離，求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從)0 ,(aa沿橢圓周第一象限的弧移動到沿橢圓周第一象限的弧移動到), 0(bb所做的功。所做的功。解解由于由于f的方向自點(diǎn)的方向自點(diǎn)),(yx指向原點(diǎn)，指向原點(diǎn)，所以所以)0()( kj yi xkf由于由于,|22yxf 所以所以, 1 kabwf ds abxdxydy 20 tacos)sin(ta tbsin dttb)cos(222ba 三三 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 d 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 l 圍成圍成,則有則有, ),(yx

9、p),(yxq ldyqxpyxypxqdddd函數(shù)函數(shù)在在 d 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),設(shè)設(shè)d 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxqyxp在在d 內(nèi)內(nèi)具有一具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2) 沿沿d 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 l , 有有.0dd lyqxp(3) 對對d 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 l, 曲線積分曲線積分(1) 在在 d 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.xqyp lyqxpdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià)則以下四個(gè)條件等價(jià):(4)yqxpdd ),(yxuyqxpyxudd),(d

10、 在在 d 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 例例6 計(jì)算下列曲線積分計(jì)算下列曲線積分（1） 2222(ln()lxy dxy xyxxydy 其中其中l(wèi)為以為以)3 , 1(),2 , 2(),1 , 1(cba為頂點(diǎn)的三角形正向邊界。為頂點(diǎn)的三角形正向邊界。解解 xoy(1,1)a(1,3)c(2,2)bd22yxp )ln(22yxxxyyq yxpq 2y 原式原式 ddxdyy2 2142xxdyydx 2123)6448122(31dxxxx625 （2） ,|)(32 lyxdyxxydxxy其中其中l(wèi)為以為以),1 , 0(),0 , 1(ba為頂點(diǎn)的正方形的正向

11、邊界。為頂點(diǎn)的正方形的正向邊界。)1, 0(),0 , 1( dc解解 abcddxyo1d1|:| yxl逆時(shí)針逆時(shí)針 lyxdyxxydxxy|)(32 ldyxxydxxy)(32 ddxdyxyxy)23(2 ddxdyx23 1212ddxdyx 1010212xdyx 1032)(12dxxx1 yxo例例7 計(jì)算下列曲線積分計(jì)算下列曲線積分（1） lyydyexdxxe)1()1(222其中其中l(wèi)為為2)2( x42 y在第一象限的半圓弧正向。在第一象限的半圓弧正向。解法一解法一l1l4,12yxep 122 yexqyxxeq22 yp 以路徑無關(guān)，以路徑無關(guān)，, 0:1 yl

12、04:x l 1l 04dxx)1( 12 解法二解法二分項(xiàng)組合法分項(xiàng)組合法 l ldx lyydyexdxxe222 ldy )0 , 0()0 , 4(dx )0 , 0()0 , 4()2(22yexd )0 , 0()0 , 4(dy12 xyo ldyyxxyxdxxyxy)3sin2()cos2(2223（2）1ll2labd其中其中l(wèi)為從原點(diǎn)沿曲線為從原點(diǎn)沿曲線22yx 到點(diǎn)到點(diǎn)).1 ,2( a解法一解法一 作輔助線作輔助線; 01:,2:1 yxl 02:, 0:2 xyl原式原式 21lll 1l 2l ddxdy 01dyyy)4322(22 020 dx 2020 xd

13、ydx4122 3 4122 4162 ldyyxxyxdxxyxy)3sin2()cos2(2223（2）其中其中l(wèi)為從原點(diǎn)沿曲線為從原點(diǎn)沿曲線22yx 到點(diǎn)到點(diǎn)).1 ,2( a解法二解法二分項(xiàng)組合法分項(xiàng)組合法 l ldyyxdxxy22332 lxdyyxdxysin2cos2 lxdy )1 ,2()0 , 0( )1 ,2()0 , 0( 32ydxxdy sin2 10dyy22 )1 ,2()0 , 0(32 yx )1 ,2()0 , 0(2sin xy 6 42 1 6 （2）,422 lyxydxxdy其中其中)1()1(:222 rryxl逆時(shí)針方向。逆時(shí)針方向。xyo0

14、1r1r 解解224yxyp 224yxxq 22222)4(4yxyxqx yp 當(dāng)當(dāng)1 r時(shí)，時(shí)， l 222)1()(ryxyxdxdypq0 )0(22 yx當(dāng)當(dāng)1 r時(shí)，時(shí)，1l22214:ryxl 逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向 l 1ll 1l dyxdxdypq)( 121lydxxdyr0 2224221ryxdxdyr22r rr2 xyo例例8設(shè)設(shè))(xf一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且, 0)0( f在任意在任意一條包圍原點(diǎn)的正向閉曲線一條包圍原點(diǎn)的正向閉曲線l上，曲線積分上，曲線積分 lyxfydyxdx2)(為定數(shù)，為定數(shù)，（1） 證明在任一個(gè)不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域上曲線積證明在任一個(gè)不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域上曲線積分分 cyxfydyxdx2)(與路徑無關(guān)；與路徑無關(guān)；（2）求函數(shù)）求函數(shù)).(xf1c2c3c解解（1）設(shè)設(shè)21,cc是不含原點(diǎn)的是不含原點(diǎn)的單連通域內(nèi)的任意兩條以單連通域內(nèi)的任意兩條以a起點(diǎn)以起點(diǎn)以b為為終點(diǎn)的有向曲線，終點(diǎn)的