第十七章變分法

1、 從前面的定解問題的解法中，我們容易想到由于邊界形從前面的定解問題的解法中，我們容易想到由于邊界形狀較為復雜，或由于泛定方程較為復雜，或由于其它各種條狀較為復雜，或由于泛定方程較為復雜，或由于其它各種條件發(fā)生變化，將使得定解問題難以嚴格解出，因此又發(fā)展了件發(fā)生變化，將使得定解問題難以嚴格解出，因此又發(fā)展了一些切實可用的近似方法，通過本章的學習我們會看到近似一些切實可用的近似方法，通過本章的學習我們會看到近似解的價值一點也不低于嚴格解的價值事實上，我們應該已解的價值一點也不低于嚴格解的價值事實上，我們應該已經注意到，從推導數學物理方程時難免要作一些簡化假定，經注意到，從推導數學物理方程時難免要作

2、一些簡化假定，定解條件本身也帶有或多或少的近似性，前面所謂的嚴格解定解條件本身也帶有或多或少的近似性，前面所謂的嚴格解其實也是某種程度的近似其實也是某種程度的近似 如果某個定解問題不能嚴格解出，但另一個與它差如果某個定解問題不能嚴格解出，但另一個與它差別甚微的定解問題能嚴格解出，那么就可以運用別甚微的定解問題能嚴格解出，那么就可以運用微擾法微擾法求近似解求近似解量子力學教科書中一般都要介紹微擾法，限量子力學教科書中一般都要介紹微擾法，限于篇幅，本書就不再重復介紹于篇幅，本書就不再重復介紹近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等 變分法變分法是研究求解

3、泛函極值（極大或極?。┑姆椒ǎ茄芯壳蠼夥汉瘶O值（極大或極?。┑姆椒?，變分問題即是變分問題即是求泛函的極值問題求泛函的極值問題把定解問題轉化為把定解問題轉化為變分問題變分問題，再求變分問題的解，再求變分問題的解變分法的優(yōu)點變分法的優(yōu)點: (2) 變分法易于變分法易于實現(xiàn)數學的統(tǒng)一化實現(xiàn)數學的統(tǒng)一化因為一般而言，因為一般而言，數學物理方程的定解問題都可以轉化為變分問題尤數學物理方程的定解問題都可以轉化為變分問題尤其是前面介紹的斯特姆劉維爾本征值問題可轉化為其是前面介紹的斯特姆劉維爾本征值問題可轉化為變分問題，變分法提供了施劉型本征值問題的本征變分問題，變分法提供了施劉型本征值問題的本征函數系的完

4、備性等結論的證明；函數系的完備性等結論的證明；(1) 變分法在物理上可以變分法在物理上可以歸納定律歸納定律因為幾乎所有的因為幾乎所有的自然定律都能用變分原理的形式予以表達；自然定律都能用變分原理的形式予以表達；(3) 變分法變分法是解數學物理定解問題常用的近似方法，是解數學物理定解問題常用的近似方法，其其基本思想基本思想是是把數學物理定解問題轉化為變分問題把數學物理定解問題轉化為變分問題由直接解變分問題發(fā)展了一些近似解法，其中最有用由直接解變分問題發(fā)展了一些近似解法，其中最有用的是的是里茨里茨 （ritz）法）法 由于里茨法中的試探函數的由于里茨法中的試探函數的選取較為麻煩，計算系數矩陣也十分

5、困難，隨著計算選取較為麻煩，計算系數矩陣也十分困難，隨著計算機的展，又迅速發(fā)展了一種有限元法；機的展，又迅速發(fā)展了一種有限元法； (4) 變分法的應用變分法的應用不僅在經典物理和工程技術域，不僅在經典物理和工程技術域，而且在現(xiàn)代量子場論，現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代信息理論而且在現(xiàn)代量子場論，現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代信息理論等高技術領域都有十分廣泛的應用等高技術領域都有十分廣泛的應用有限差分法有限差分法：有限差分法把定解問題轉化為代數方程，：有限差分法把定解問題轉化為代數方程， 然后通過電子計算機求定解問題的數值解然后通過電子計算機求定解問題的數值解模擬法模擬法：即用一定的物理模型來模擬所研究的定解問題，：即

6、用一定的物理模型來模擬所研究的定解問題， 而在模型上實測解的數值而在模型上實測解的數值 變分法變分法是這些方法中最為重要和切實有效的方法，是這些方法中最為重要和切實有效的方法，已經廣泛應用于科學研究和工程計算之中，限于篇幅故已經廣泛應用于科學研究和工程計算之中，限于篇幅故本書主要詳細介紹經典變分法的基本概念和理論本書主要詳細介紹經典變分法的基本概念和理論定義定義17.1.1 變分法變分法 變分問題變分問題 變分法變分法就是求泛函極值的方法就是求泛函極值的方法變分問題變分問題即是求即是求泛函的極值問題泛函的極值問題17.1.1泛函泛函 變分法研究的對象是變分法研究的對象是泛函泛函，泛函是函數概念

7、的推廣，泛函是函數概念的推廣為了說明泛函概念先看一個例題：為了說明泛函概念先看一個例題： 考慮著名的考慮著名的最速降線落徑問題最速降線落徑問題。如圖。如圖17.1 所示，所示， 已知已知a和和b為不在同一鉛垂線和不同高度的兩點，要求為不在同一鉛垂線和不同高度的兩點，要求找出找出a、b間的這樣一條曲線，當一質點在重力作用下沿間的這樣一條曲線，當一質點在重力作用下沿這條曲線無摩擦地從這條曲線無摩擦地從a滑到滑到b時，所需的時間時，所需的時間t最小最小 y x a b(x,y) 圖 19.1 圖圖17.1我們知道，此時質點的我們知道，此時質點的速度是速度是 d2dsgyt因此從因此從 a滑到滑到b所

8、需的所需的時間為時間為21+ddd22batbbtaaysttxgygy即為即為21+ ( )d2bayt y xxgy （17.1.1）yxt( )y x( )y x ( )t y x式中式中 代表對代表對求一階導數求一階導數 我們稱上述的我們稱上述的為為的的泛函泛函，而稱，而稱為可取的函數類，為泛函為可取的函數類，為泛函的的定義域定義域。簡單地說，。簡單地說，泛函就是函數的函數泛函就是函數的函數（不是復合函數（不是復合函數的那種含義）的那種含義）一般來說，設一般來說，設c是是函數的集合函數的集合，b是是實數或復數的集合實數或復數的集合， 如果對于如果對于c的任一元素的任一元素 ( )y x

9、在在b中都有一個元素中都有一個元素j與之對應，與之對應， j( )y x ( )jj y x則稱則稱為為的的泛函泛函，記為，記為 必須注意，必須注意，泛函不同于通常講的函數泛函不同于通常講的函數決定決定通常函數值的因素是自變量的通常函數值的因素是自變量的取值取值，而決定泛函的值，而決定泛函的值的因素則是函數的的因素則是函數的取形取形如上面例子中的泛函如上面例子中的泛函t的變化的變化是由函數是由函數 ( )y xx本身的變化（即從本身的變化（即從a到到b的不同曲線）的不同曲線）值，也不取決值，也不取決所引起的它的值既不取決于某一個所引起的它的值既不取決于某一個于某一個于某一個 yyx值，而是取決

10、于整個集合值，而是取決于整個集合c中中與與的函數關系的函數關系定義定義17.1.2泛函泛函 泛函的核泛函的核 泛函通常以泛函通常以積分形式積分形式出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線落徑問題的式（落徑問題的式（17.1.1）更為一般而又典型的泛函定義為）更為一般而又典型的泛函定義為 ( )( , ,)dbaj y xf x y yx (17.1.2)其中其中 ( , ,)f x y y稱為稱為泛函的核泛函的核17.1.2泛函的極值泛函的極值變分法變分法對于不同的自變量函數對于不同的自變量函數 ( )y x，與此相應的泛函，與此相應的泛函 ( )j y x也有不同的數值找出一

11、個確定的自變量函數也有不同的數值找出一個確定的自變量函數 ( )y x，使泛函，使泛函 ( )j y x 具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大值統(tǒng)稱為值統(tǒng)稱為泛函的極值泛函的極值引入泛函的概念后，對于上述的最速降線落徑問題變引入泛函的概念后，對于上述的最速降線落徑問題變 ( )j y x為泛函為泛函的極小值問題物理學中常見的有光學的極小值問題物理學中常見的有光學中的中的費馬費馬(fermat)原理原理，分析力學中的，分析力學中的哈密頓哈密頓(hamiton)原理原理等，都是泛函的極值問題等，都是泛函的極值問題定義定義17.1.3 變分法變

12、分法：所謂的變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法就是求泛函極值的方法研究泛函極值問題的方法可以歸為兩類：一類叫研究泛函極值問題的方法可以歸為兩類：一類叫直接法直接法， 即即直接分析所提出的問題直接分析所提出的問題；另一類叫；另一類叫間接法間接法，即把，即把問題問題轉化為求解微分方程轉化為求解微分方程為討論間接方法，先介紹變分和泛為討論間接方法，先介紹變分和泛函的變分函的變分17.1.3 變分變分 定義定義 17.1.4 變分變分 如果我們將泛函取極值時的函數（或函數曲線）定義為如果我們將泛函取極值時的函數（或函數曲線）定義為 ( );y x并定義與函數曲線并定義與函數曲線 ( )y x鄰近

13、的曲線（或略為變形的鄰近的曲線（或略為變形的曲線）作為比較曲線，記為曲線）作為比較曲線，記為( , )( )( )y xy xx其中其中 是一個小參數；是一個小參數； ( )x是一個具有二階導數的任意是一個具有二階導數的任意選定函數，規(guī)定選定函數，規(guī)定 它在一個小范圍內變化，這限制主要保證泛它在一個小范圍內變化，這限制主要保證泛函在極值處連續(xù)在研究泛函極值時，通常將函在極值處連續(xù)在研究泛函極值時，通常將 ( )x固定，固定，而令而令變化，這樣規(guī)定的變化，這樣規(guī)定的好處好處在于：建立了由參數在于：建立了由參數 到泛函到泛函 ( )j y x值之間的對應關系，因此泛函值之間的對應關系，因此泛函 (

14、 )j y x就成為了參數就成為了參數 的普通函數原來泛函的極值問題就成為的普通函數原來泛函的極值問題就成為普通函數對普通函數對 的求極值的問題同時，函數曲線的求極值的問題同時，函數曲線 ( )y x的的變分定義變分定義為為0( , )|( )dyy xx(17.1.3)因此可得因此可得 ( )dyx(17.1.4)這里這里 ,y代表對代表對x求一階導數求一階導數 所以所以 ddyyx(17.1.5)即變分和微分可以交換次序即變分和微分可以交換次序 17.1.4 泛函的變分泛函的變分定義定義 17.1.5 泛函的變分泛函的變分 泛函的增量泛函的增量 變分問題變分問題泛函的變分定義為泛函的變分定

15、義為()dbaffjyyxyy (17.1.6)在極值曲線在極值曲線 ( )y x附近，附近，泛函泛函 ( )j y x的增量的增量，定義為，定義為 ( , ) ( )jj y xj y x (17.1.7)依照上述約定，當依照上述約定，當 0時，泛函增量時，泛函增量 j的線性的線性主要部分定義為主要部分定義為泛函的變分泛函的變分，記為，記為 0|djj (17.1.8) 在求一元或多元函數的極值時，微分起了很大的作用；在求一元或多元函數的極值時，微分起了很大的作用；同樣在研究泛函極值問題時，變分起著類似微分的作用因同樣在研究泛函極值問題時，變分起著類似微分的作用因此，通常稱泛函極值問題為此，

16、通常稱泛函極值問題為變分問題變分問題；稱求泛函極值的稱求泛函極值的方法為變分法方法為變分法例例 17.1.1 計算泛函的變分計算泛函的變分【解】【解】 1721 ( )()dj y xy exyx1172711111771111111 ( )()d(2)dd 2dd2d|d 2dj y xyexyxxy y eyxxy y xey xxy y x eyxxy y x注意：注意：最后一步利用了一般在邊界上函數變分為零的事實，即最后一步利用了一般在邊界上函數變分為零的事實，即 711|0ey192 泛函的極值泛函的極值 泛函的極值問題，一般來說是比較復雜的因為它泛函的極值問題，一般來說是比較復雜的

17、因為它與泛函包含的自變量個數，未知函數的個數以及函數導與泛函包含的自變量個數，未知函數的個數以及函數導數的階數等相關另外，在求泛函極值時，有的還要加數的階數等相關另外，在求泛函極值時，有的還要加約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等下面我約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等下面我們首先討論泛函的極值的們首先討論泛函的極值的必要條件必要條件 17.2.1 泛函的極值的必要條件泛函的極值的必要條件歐拉拉格朗日方程歐拉拉格朗日方程 設設 ( )j y x的極值問題有解的極值問題有解( )yy x（17.2.1） 現(xiàn)在推導這個解所滿足的現(xiàn)在推導這個解所滿足的常微分方程常微分方程，這是用，這是用間

18、接法間接法研究泛函極值問題的重要一環(huán)研究泛函極值問題的重要一環(huán)設想這個解有變分設想這個解有變分 ( )x則則 ( )( )j y xx可視為參數可視為參數 的函數的函數 ( ) ( )( ).j y xx而當而當 0時，時， ( )( )( )y xxy x對應于式對應于式(17.2.1),即為即為 ( )( )j y xx取極值于是原來的泛函極值取極值于是原來的泛函極值問題，就化為一個求普通函數問題，就化為一個求普通函數 ( )的極值問題由函數的極值問題由函數取取極值的必要條件極值的必要條件，有，有0d|0d即有即有 0|0j（17.2.2） 1.泛函表示為一個自變量，一個函數及其一階導數泛

19、函表示為一個自變量，一個函數及其一階導數的積分形式的積分形式泛函表示為一個自變量，一個函數及其一階導數的積分形式，泛函表示為一個自變量，一個函數及其一階導數的積分形式， 即（即（17.1.2） ( )( , ,)baj y xf x y y dx若考慮兩端固定邊界的泛函問題若考慮兩端固定邊界的泛函問題：積分是在區(qū)域內通過兩點積分是在區(qū)域內通過兩點 1122(,),(,)x yxy的任意曲線進行的，其中的任意曲線進行的，其中 12,xa xb泛函中泛函中 y為為( , )( )( )y xy xx由于由于兩端固定兩端固定，所以要求，所以要求 ( )0, ( )0ab，即，即 |0,|0 x ax

20、 byy由由(17.1.8)，有，有 0 ( )( )|d ( )d( )d d dbabaj y xxjffxxxyyffyyxyy（17.2.3） 式式(17.2.3)的積分號下既有的積分號下既有 y，又有，又有 y，對第二項，對第二項應用分部積分法可使積分號下出現(xiàn)應用分部積分法可使積分號下出現(xiàn)yd|()ddbbaafffjyy xyyxy(17.2.4)根據（根據（17.2.2）,所以所以 0|0jjd ,再根據再根據（17.2.4）故有故有d|()d0dbbaafffjyy xyyxy（17.2.5） 因為因為 |0,|0 x ax byy并且并且 y是任意的，所以是任意的，所以 d(

21、)0dffyxy (17.2.6) 上式上式(17.2.6)稱為稱為歐拉（歐拉（euler）拉格朗日（）拉格朗日（lagrange）方程，簡稱為方程，簡稱為e-l方程方程 此即泛函取極值的必要條件即泛函此即泛函取極值的必要條件即泛函 j的極值函數的極值函數 ( )y x必須是滿足泛函的變分必須是滿足泛函的變分 0j的函數類的函數類 ( )y x因此，因此， 把泛函的極值問題稱為變分問題把泛函的極值問題稱為變分問題 注明注明：e-l方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件如果討論充分條件，則要計算二階變分，并考慮其正、負值如果討論充分條件，則要計算二階

22、變分，并考慮其正、負值,但對但對于實際問題中，當泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往于實際問題中，當泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往間接地在問題的提法中就可以肯定，所以極值的存在性是不成問間接地在問題的提法中就可以肯定，所以極值的存在性是不成問題的，只要解出題的，只要解出e-l方程，就可以得到方程，就可以得到泛函的極值泛函的極值e-l方程除了上面給出的形式方程除了上面給出的形式(17.2.6)之外之外，另外還有四種特殊情況：另外還有四種特殊情況：(1) f不顯含不顯含 x( ,),ff y y且且 0fx因為因為ddd()()()dddfffffffyyyxyxyxyyxy若若 0

23、,y e-l方程等價于方程等價于 ffycy （17.2.7）(2) f不依賴于不依賴于 y( ,),ff x y且且 0fy則則e-l方程化為方程化為d()0, dffcxyy （17.2.8）(3) f不依賴于不依賴于 y( , ),ff x y且且 0fy則則e-l方程化為方程化為0fy（17.2.9）由此可見由此可見 f僅為僅為 x的函數的函數 (4) f關于關于 y是線性的：是線性的： ( , ,)( , )( , )f x y yf x yg x y y則則e-l方程化為方程化為0fgyx （17.2.10） 對于含有一個自變量，多個變量函數，以及有較高階變量對于含有一個自變量，多

24、個變量函數，以及有較高階變量函數導數的泛函，類似上面的推導可得如下結論：函數導數的泛函，類似上面的推導可得如下結論：2. 泛函表示為多個函數的積分形式泛函表示為多個函數的積分形式1122 ( )( ,)dbnnaj y xf x y y yyyyx|0, |=0 (1,2, )ix aix byyin則與此泛函極值問題相應的則與此泛函極值問題相應的e-l方程為方程為d()0 (1,2, )diiffinyxy（17.2.11）3. 泛函的積分形式中含有高階導數泛函的積分形式中含有高階導數( ) ( )( , ,)dbnaj y xf x y y yyx(1)( )( )( )0ny ay ay

25、 a(1)( )( )( )0ny by by b與此泛函極值問題相應的與此泛函極值問題相應的e-l方程為方程為22( )ddd()()( 1)()0dddnnnnffffyxyxyxy （17.2.12）4.泛函的積分形式中含有多元函數泛函的積分形式中含有多元函數( , )u x y, x y設設為為的二元函數，則的二元函數，則22111212( , , ,)d d( , )(, )( ,)( ,)0 xyxyxyjf x y u u ux yu x yu xyu x yu x y 與此泛函極值問題相應的與此泛函極值問題相應的e-l方程為方程為()()0 xyfffuxuyu（17.2.13

26、）例例17.2.1 試求解最速降線落徑問題，即變分問題試求解最速降線落徑問題，即變分問題21d02bayxgy【解】解】目前，我們只能用間接方法來求解，由于目前，我們只能用間接方法來求解，由于212yfgy不顯含不顯含 x，故其故其e-l方程為（方程為（17.2.7）式）式0221122yyffyygycyygy令令 02cgc，故有，故有 221(1)yyc令令 121cc，分離變量得到，分離變量得到1dd ycyxy再令再令 12sin2cy，代入上式得到，代入上式得到112dsind(1cos )d22cxc即得到即得到121(sin)2(1c o s2)cccxy此即為擺線的參數方程，

27、積分常數可由初始位置此即為擺線的參數方程，積分常數可由初始位置 （圖（圖17.1的的a,b兩點）決定兩點）決定19.2.2泛函的條件極值問題泛函的條件極值問題 在許多泛函的極值問題中，變量函數還受到一些附加條件在許多泛函的極值問題中，變量函數還受到一些附加條件的限制，其中最常見和重要的一種是以的限制，其中最常見和重要的一種是以積分形式表示的限制積分形式表示的限制條件條件( , ,)dbag x y yxl （17.2.14）即所謂的即所謂的等周問題等周問題：01 ( )( , ,)d , ( ), ( )( , ,)d babaj y xf x y yxy ayy byg x y yxl (1

28、7.2.15) （注：這種問題之所以稱為等周問題，是因為在歷史上起源注：這種問題之所以稱為等周問題，是因為在歷史上起源于求一條通過兩點，長度固定為于求一條通過兩點，長度固定為l的曲線的曲線 ( ),y x使面積使面積 ( )dbasy xx取極大值）取極大值）其中其中 01,l yy為常數此類問題可以仿照普通函數的為常數此類問題可以仿照普通函數的條件極值問題的拉格朗日乘子法即將附加條件條件極值問題的拉格朗日乘子法即將附加條件(17.2.14)乘以乘以參數，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到參數，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到 ( ; ,)( ; ,)d0baf x y yg

29、 x y yx于是問題轉化為不帶條件的由上式所表示的變分問題于是問題轉化為不帶條件的由上式所表示的變分問題 其對應的其對應的e-l方程為方程為d()0dfgfgyyxyy這是通過這是通過 a和和 b兩點的兩點的 ( )y x之下使之下使泛函取極值的必要條件泛函取極值的必要條件它實際上是一個關于它實際上是一個關于 在在附加條件（附加條件（17.2.14）( )y x的二階常微分方程其通解中含有三個參數，即的二階常微分方程其通解中含有三個參數，即和兩個積分和兩個積分常數它們可由條件常數它們可由條件 01( ), ( )y ayy by（17.2.14）來確定）來確定 .和附加條件和附加條件 例例1

30、7.2.2 求求 120 ( )() dj y xyx的極值，其中的極值，其中 y是歸一化的，即是歸一化的，即 120d1yx ，且已知，且已知 (0)0, (1)0.yy【解】解】本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題本題是求泛函的條件極值問題，可化為變分問題1220()d0yyx 對應的對應的e-l方程為方程為0yy其通解為其通解為cossin (0)yaxbx代入附加條件代入附加條件 (0)0, (1)0.yy得到得到( )sin( ) (1,2,)nnyxcn xn代入歸一化條件得到代入歸一化條件得到1220sin ( )d1ncn x x 于是得到于是得到 2nc ，故原極值問題

31、的解為，故原極值問題的解為2sin( )nyn x 而題中要求的泛函而題中要求的泛函 120() dyx的極值為的極值為12222202 cos ( )dnn xxn當當 1n 時，極值函數時，極值函數 1( )2siny xx 使得泛函數取得最小值使得泛函數取得最小值 2例例17.2.3 求泛函求泛函 20 (2 cos )dj yyyxx在條件在條件 (0)0, ()0yy下的極值曲線下的極值曲線.【解】【解】 此時此時 xyyyyxfcos2),(2 ,則偏導數則偏導數 yfxfyy2,cos2.對應的對應的euler方程為方程為0cos xy其通解為其通解為 21coscxcxy,代入

32、邊界條件可得代入邊界條件可得 12c 12c,所以所以極值曲線為極值曲線為 2cos1yxx泛函極值問題的求解泛函極值問題的求解,通常有兩種結果：通常有兩種結果：（i）解析解）解析解 由變分法得到的由變分法得到的e-l方程求解，一般來說，是很困難的方程求解，一般來說，是很困難的但在分析力學中往往還是采用這一辦法來求解因為歷史悠但在分析力學中往往還是采用這一辦法來求解因為歷史悠久，它自有一套辦法久，它自有一套辦法（ii）近似解）近似解 所謂近似解即由泛函本身出發(fā)，而不需求解所謂近似解即由泛函本身出發(fā)，而不需求解e-l方程，方程，直接求得所需要的解直接求得所需要的解極值曲線極值曲線 ( )y x因此，常常稱它為研究泛函極值問題的直接法因此，常常稱它為研究泛函極值問題的直接法 下面我們以