投資的效益和風險

1、市場上有 n 種資產(chǎn)（如股票、債券、）si ( i=1,n)供投資者選擇，某公司有數(shù)額為 m 的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務分析人員對這 n 種資產(chǎn)進行了評估，估算出在這一時期內購買 si的平均收益率為ir并預測出購買 si的風險損失率為iq?？紤]到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時，總體風險用所投資的 si中最大的一個風險來度量。投資的效益和風險投資的效益和風險(1998年全國大學生數(shù)學建模競賽年全國大學生數(shù)學建模競賽a題題) 購買 si要付交易費，費率為ip，并且當購買額不超過給定值iu時，交易費按購買iu計算（不買當然無須付費） 。另外，假

2、定同期銀行存款利率是0r, 且既無交易費又無風險。 （0r=5%） 已知 n = 4 時的相關數(shù)據(jù)如下： 試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定的資金 m，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風險盡可能小。問題分析問題分析優(yōu)化問題決策決策每種資產(chǎn)的投資額（投資組合）目標目標凈收益最大整體風險最小 在一定風險下收益最大的決策 在一定收益下風險最小的決策 收益和風險按一定比例組合最優(yōu)的決策一組解(如在一系列風險值下收益最大的決策)二者矛盾 冒險型投資者從中選擇高風險下收益最大的決策 保守型投資者則可從低風險下的決策中選取模型建立模型建立用數(shù)學符號和式子表述決策變量、構造目

3、標函數(shù)、確定約束條件。xi i對si(i=0,1,n)的投資,s0表示存入銀行.目標函數(shù)目標函數(shù) 總收益投資si的凈收益減去交易費，對i求和 總體風險投資si的風險，對i求最大值對si的投資xi i加交易費，對i求和，不超過給定資金m.決策變量決策變量約束條件約束條件f xxc xiiiii( )( )0uixicipiuiiiiiiiiiiiiuxxpuxupxxc, 0, 0, 0)(1）投資si的交易費、凈收益、風險、資金表達式交易費凈收益)( )(iiiiiixcxrxr(收益率ri)風險資金iiiixqxq)(風險損失率qi)0)(, 1 , 0000qxcni2）投資方案總收益、總

4、體風險、資金表達式投資方案),(10nxxxxr xr xiiin( )() 0總收益)( )(max0iinixqxq總體風險f xf xiiin( )() 0資金3）兩目標（總收益、總體風險）優(yōu)化模型0,)( )()( minxxmxfxrxq4）單目標優(yōu)化模型0,)()(.s.t)(maxxmxfkxqxr模型m1：確定風險水平q，記 kqm，模型 m2：確定盈利水平r，記hrm，0,)()(.s.t)(minxmxfhxrxq0,)(.s.t)()1 ()( )(minxmxfxrxqxs 模型m3：確定投資者對風險收益的相對偏好參數(shù) 0模型簡化模型簡化iiiiiiiiiiiuxxpu

5、xupxxc, 0, 0, 0)(交易費iiiixpxc)(ui很小m很大資金約束設m=1nixpyiii, 1, 0,)1 (投資si的比例f xxc xiiiii( )( )f xfxiiin( )() 0mxf)(mxpinii)1 (0)( )(max0iinixqxqiiiixqxq)(r xr xiiin( )() 0)( )(iiiiiixcxrxriiixpr)( mxpinii)1 (0設m=1線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型lp1模型模型m1的簡化的簡化0,)()(.s.t)(maxxmxfkxqxrm1iiniixpr)(max0nikxqt sii, 2, 1,. .0, 1)

6、1 (0 xxpinii模型模型m2的簡化的簡化0,)()(.s.t)(minxmxfhxrxqm21minnxnixxqt snii, 1,. .1hxpriinii)(00, 1)1 (0 xxpinii極大極小規(guī)劃模型)(maxmin1iinixqhxprt siinii)(. .00, 1)1 (0 xxpinii線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型lp2引入人工變量引入人工變量 xn+1模型模型m3的簡化的簡化0,)(.s.t)()1 ()( )(minxmxfxrxqxsm30, 1)1 (. .0 xxpt siniiiiniinxprxxl)()1 ()(min01nixxqnii, 11

7、線性規(guī)劃線性規(guī)劃模型模型lp3模型求解模型求解lp1,lp2,lp3都很容易用軟件lingo9.0求解iiniixpr)(max0nikxqt sii, 2, 1,. .0, 1)1 (0 xxpinii線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型lp1iiiiiiiiiipqapprcxpy11)1(0, 14, 1 , 0,. .max4040iiiiiiiiyyikyatsycbaxtscx. .min風險 k(%)收益 r(%)y0y1y2y3y405.00001.000000000.17.55280.83160.04040.06800.01900.04100.210.10550.66330.08080.

8、13600.03800.08190.312.65830.49490.12120.20400.05700.12290.415.21100.32660.16160.27200.07600.16380.517.76380.15820.20200.34000.09500.20480.620.190800.24240.40800.11400.23560.720.660700.28280.47600.13300.10820.821.124300.32320.54400.132800.921.552000.36360.61200.024401.021.902000.40400.5960001.523.539

9、200.60600.3940002.025.176500.80800.1920002.125.503900.84840.1516002.225.831400.88880.1112002.326.158800.92920.0708002.426.486300.96960.0304002.526.732701.0000000lp1的結果的結果風險水平取風險水平取k=02.5%, 得投資比例得投資比例y0y400.511.522.551015202530k(%)r(%)(k*,r*)lp1的結果的結果lp1 風險 k 和收益 r 的關系對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇圖中曲線的拐點（k*, r*） ，大約是 k*=0.6%, r*=20%lp3的結果的結果偏好系數(shù)取 0.760.97風險k(%)收益r(%)y0y1y2y3y40.762.475226.732701.00000000.770.922521.648200.37270.6273000.810.922521.648200.37270.6273000.820.784921.059900.31710.53380.149100.830.594020.162400.24000.40390.11290.24320.960.594020.162400.24000.40390.11290.24320.970.00005.0