重積分二重積分的計(jì)算81435

1、第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算方法二重積分的計(jì)算方法第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算方法二重積分的計(jì)算方法一一.在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法在直角坐標(biāo)系中,用平行于坐標(biāo)軸的直線將積分區(qū)域d分成n份小矩形,可知:利用幾何意義-曲頂柱體的體積研究其計(jì)算方法:將曲頂柱體看作已知平行截面面積的立體,利用定積分計(jì)算.化成兩次定積分dxdyddddxdyyxfdyxf),(),(1.設(shè)),()(,:21xyyxybxadx型域abd)(1xyy )(2xyy )()(21),()(xyxydyyxfxaabxxyza(x) baxyxydxdyyxfv),()()(21ddxdyyxf),(

2、 baxyxydxdyyxf),()()(21ddxdyyxf),(baxyxydyyxfdx)()(21),(先對(duì)y后對(duì)x的二次積分在d內(nèi)任取一點(diǎn)x,作平行于 yoz 面的截面.曲邊梯形2.設(shè)),()(,:21yxxyxdycdy型域同理可得:ddxdyyxf),(dcyxyxdxyxfdy)()(21),(先對(duì)x 后對(duì)y 的二次積分注:(1).如果d 既是x 型域又是y 型域,則dcyxyxdxyxfdy)()(21),(baxyxydyyxfdx)()(21),(dydxyxfdcyxyx )()(21),(ddxdyyxf),(cdd)(1yxx)(2yxx(2).如果d 既不是x 型

3、域又不是y 型域,則用平行于坐標(biāo)軸的 直線將d 分成若干子域,利用積分的可加性進(jìn)行計(jì)算.選擇積分域和積分次序是計(jì)算的關(guān)鍵選擇積分域和積分次序是計(jì)算的關(guān)鍵例如:1d3d2d分塊越少越好分塊越少越好第一次積分要易于計(jì)算第一次積分要易于計(jì)算 例1 計(jì)算dydxdyx2xyxyd, 2, 1由 圍成.12解一:,1 , 21:xyxdx 型域xdydyxdxydxdyx122122124)22(dxxx152922212ydydxxdyydxdyx214)338(dyyy1529解二:, 2, 21:xyydy 型域 例2 計(jì)算dxydxdyxyxyd2, 2由 圍成.2212yydxydxdyxyd

4、xdy-12解一:, 2, 21:2yxyydy型域2152)2(21dyyyy845解二:如果選擇 x 型域,需要將 d 分成兩部分,顯然復(fù)雜.分塊越少越好分塊越少越好 例3 計(jì)算ddxdyyysinxyxyd2,由 圍成.yyddxyydydxdyyy2sinsin10(1,1)如果先對(duì) y 積分,dyyysin無法進(jìn)行因此先對(duì) x 積分,10)sin(sindyyyy1sin1第一次積分要易于計(jì)算第一次積分要易于計(jì)算dxdxdybaod.,) 1 , 2()2 , 1 (),0 , 0(. 4求為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域和是由點(diǎn)設(shè)例xyxyxyaboboa32,2,和的方程相應(yīng)為和直線解,21兩

5、個(gè)區(qū)域和分成它將軸作垂線向過點(diǎn)dddapxa21dddddxdyx dddyxxyxxxxxxyxxyxx32212210dddd212102d233d23xxxxx.232123|212132103xxx例5.交換積分次序:2202022002),(),().2(xxdyyxfdxdyyxfdxyydxyxfdy222210),(1-220yydxyxfdy),().1 (101xxdxyxfdx2),(10二二.在極坐標(biāo)系中的計(jì)算方法在極坐標(biāo)系中的計(jì)算方法在極坐標(biāo)系中,設(shè)d的邊界與過極點(diǎn)的射線相交不多于兩點(diǎn),化成兩次定積分rdrddddrdrdrrfdyxf)sin,cos(),(用過極點(diǎn)

6、的射線和以極點(diǎn)為圓心的圓周將d分成若干子域,如圖可知:dr+drrd基本類型:)()(,:21rrrdd)()(21)sin,cos()sin,cos(rrdrdrrrfdrdrdrrf注:(1).只研究先對(duì)r后對(duì) 的積分次序;(2).如果d是曲邊扇形:)(0 ,rr )(0)sin,cos()sin,cos(rdrdrrrfdrdrdrrf)(020)sin,cos()sin,cos(rdrdrrrfdrdrdrrf(3).如果d包含極點(diǎn):)(0 ,20rr 例6 計(jì)算ddxdyyx)(222222:byxadbrad,20:badrdrrddxdyyx22022)(204| )4(drba

7、)(244ab 例7 計(jì)算dyxdxdye22222:ayxddyxdxdye22arrdred0202200| )2(2dear)1 (2ae此題若采用直角坐標(biāo)系方法無法積分注意注意:下列情形適合用極坐標(biāo)計(jì)算下列情形適合用極坐標(biāo)計(jì)算:(1).積分區(qū)域適于極坐標(biāo)表示,例如:圓,圓環(huán);(2).被積函數(shù)形如 ;)(22yxf(3).用直角坐標(biāo)系計(jì)算不出時(shí).例8.化為極坐標(biāo)形式:22020),(yryrdxyxfdy2r0sin2020)sin,cos(rrdrrrfd1)(81)(2)()(),(1, 0,),(),(,),(. 12xydxycxybxyayxfxxyyddudvvufxyyxf

8、yxfd等于所圍區(qū)域，則是由其中且連續(xù)設(shè)難題解析0)()sincos(4)(2)(sincos2)()sincos() 1, 1() 1 , 1(),1 , 1 (. 21111ddxdyyxxycxydxdybydxdyxadxdyyxxyddxoyddddd在第一象限的部分，則是為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，和平面上以是設(shè).1, 1,)(1 . 3222上的連續(xù)函數(shù)是圍成的區(qū)域，由，其中dfxyxyddyxyfxdxoy1-111d2d3d4d.52dd2d2d)(dd)(1 0d)(1 ,33434343214321001222222xdddddddddddddyxxxyxxyfxyxyfxyxyfxx為奇函數(shù)因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于原式解).0()()()( ). 400fafdyyxxayfdxxfxa連續(xù)，證明：設(shè)).0()(d)( dd)( d221dy)( d)()( dyd)()( d0220sin22220000fafyyftyyfxyaxyayfxyxxayfyyxxayfxaatyayaxayaayaxa解).12(