重積分二重積分的計算81435

1、第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算方法二重積分的計算方法第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算方法二重積分的計算方法一一.在直角坐標系中的計算方法在直角坐標系中的計算方法在直角坐標系中,用平行于坐標軸的直線將積分區(qū)域d分成n份小矩形,可知:利用幾何意義-曲頂柱體的體積研究其計算方法:將曲頂柱體看作已知平行截面面積的立體,利用定積分計算.化成兩次定積分dxdyddddxdyyxfdyxf),(),(1.設),()(,:21xyyxybxadx型域abd)(1xyy )(2xyy )()(21),()(xyxydyyxfxaabxxyza(x) baxyxydxdyyxfv),()()(21ddxdyyxf),(

2、 baxyxydxdyyxf),()()(21ddxdyyxf),(baxyxydyyxfdx)()(21),(先對y后對x的二次積分在d內(nèi)任取一點x,作平行于 yoz 面的截面.曲邊梯形2.設),()(,:21yxxyxdycdy型域同理可得:ddxdyyxf),(dcyxyxdxyxfdy)()(21),(先對x 后對y 的二次積分注:(1).如果d 既是x 型域又是y 型域,則dcyxyxdxyxfdy)()(21),(baxyxydyyxfdx)()(21),(dydxyxfdcyxyx )()(21),(ddxdyyxf),(cdd)(1yxx)(2yxx(2).如果d 既不是x 型

3、域又不是y 型域,則用平行于坐標軸的 直線將d 分成若干子域,利用積分的可加性進行計算.選擇積分域和積分次序是計算的關(guān)鍵選擇積分域和積分次序是計算的關(guān)鍵例如:1d3d2d分塊越少越好分塊越少越好第一次積分要易于計算第一次積分要易于計算 例1 計算dydxdyx2xyxyd, 2, 1由 圍成.12解一:,1 , 21:xyxdx 型域xdydyxdxydxdyx122122124)22(dxxx152922212ydydxxdyydxdyx214)338(dyyy1529解二:, 2, 21:xyydy 型域 例2 計算dxydxdyxyxyd2, 2由 圍成.2212yydxydxdyxyd

4、xdy-12解一:, 2, 21:2yxyydy型域2152)2(21dyyyy845解二:如果選擇 x 型域,需要將 d 分成兩部分,顯然復雜.分塊越少越好分塊越少越好 例3 計算ddxdyyysinxyxyd2,由 圍成.yyddxyydydxdyyy2sinsin10(1,1)如果先對 y 積分,dyyysin無法進行因此先對 x 積分,10)sin(sindyyyy1sin1第一次積分要易于計算第一次積分要易于計算dxdxdybaod.,) 1 , 2()2 , 1 (),0 , 0(. 4求為頂點的三角形區(qū)域和是由點設例xyxyxyaboboa32,2,和的方程相應為和直線解,21兩

5、個區(qū)域和分成它將軸作垂線向過點dddapxa21dddddxdyx dddyxxyxxxxxxyxxyxx32212210dddd212102d233d23xxxxx.232123|212132103xxx例5.交換積分次序:2202022002),(),().2(xxdyyxfdxdyyxfdxyydxyxfdy222210),(1-220yydxyxfdy),().1 (101xxdxyxfdx2),(10二二.在極坐標系中的計算方法在極坐標系中的計算方法在極坐標系中,設d的邊界與過極點的射線相交不多于兩點,化成兩次定積分rdrddddrdrdrrfdyxf)sin,cos(),(用過極點

6、的射線和以極點為圓心的圓周將d分成若干子域,如圖可知:dr+drrd基本類型:)()(,:21rrrdd)()(21)sin,cos()sin,cos(rrdrdrrrfdrdrdrrf注:(1).只研究先對r后對 的積分次序;(2).如果d是曲邊扇形:)(0 ,rr )(0)sin,cos()sin,cos(rdrdrrrfdrdrdrrf)(020)sin,cos()sin,cos(rdrdrrrfdrdrdrrf(3).如果d包含極點:)(0 ,20rr 例6 計算ddxdyyx)(222222:byxadbrad,20:badrdrrddxdyyx22022)(204| )4(drba

7、)(244ab 例7 計算dyxdxdye22222:ayxddyxdxdye22arrdred0202200| )2(2dear)1 (2ae此題若采用直角坐標系方法無法積分注意注意:下列情形適合用極坐標計算下列情形適合用極坐標計算:(1).積分區(qū)域適于極坐標表示,例如:圓,圓環(huán);(2).被積函數(shù)形如 ;)(22yxf(3).用直角坐標系計算不出時.例8.化為極坐標形式:22020),(yryrdxyxfdy2r0sin2020)sin,cos(rrdrrrfd1)(81)(2)()(),(1, 0,),(),(,),(. 12xydxycxybxyayxfxxyyddudvvufxyyxf

8、yxfd等于所圍區(qū)域，則是由其中且連續(xù)設難題解析0)()sincos(4)(2)(sincos2)()sincos() 1, 1() 1 , 1(),1 , 1 (. 21111ddxdyyxxycxydxdybydxdyxadxdyyxxyddxoyddddd在第一象限的部分，則是為頂點的三角形區(qū)域，和平面上以是設.1, 1,)(1 . 3222上的連續(xù)函數(shù)是圍成的區(qū)域，由，其中dfxyxyddyxyfxdxoy1-111d2d3d4d.52dd2d2d)(dd)(1 0d)(1 ,33434343214321001222222xdddddddddddddyxxxyxxyfxyxyfxyxyfxx為奇函數(shù)因為被積函數(shù)關(guān)于原式解).0()()()( ). 400fafdyyxxayfdxxfxa連續(xù)，證明：設).0()(d)( dd)( d221dy)( d)()( dyd)()( d0220sin22220000fafyyftyyfxyaxyayfxyxxayfyyxxayfxaatyayaxayaayaxa解).12(