第二十章曲線積分

1、一、問題的提出實例實例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l. sm 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insmmm ,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取極限取極限.),(lim10 niiiism 近似值近似值精確值精確值二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinlmmmllyxfxoyl并作和并作和作乘積作乘積點點個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一為第為第又又個小段的長度為個小段的長度為

2、設第設第個小段個小段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設設1.定義定義oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l.),(lim),(,),(,),(,010 niiiillsfdsyxfdsyxflyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段的如果當各小弧段的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( ldsyxm 2.存在

3、條件：存在條件：.),(,),(存在存在對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當 ldsyxflyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對弧長的上對弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(. 121llll 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 lllldsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 ldsyxflyxf曲線積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數(shù)函數(shù)4.性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()1( llld

4、syxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為常數(shù)為常數(shù)kdsyxfkdsyxkfll .),(),(),()3(21 llldsyxfdsyxfdsyxf).(21lll 曲線積分定積分三、對弧長曲線積分的計算三、對弧長曲線積分的計算定理定理且且上有一階連續(xù)導數(shù)上有一階連續(xù)導數(shù)在在其中其中參數(shù)方程為參數(shù)方程為的的上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設設, , )( ),()( ),(),( ,),( ttttytxllyxf dtttttfdsyxfl )()()( ),(),(22)( 證略。證略。 ).(),( :tytxl 這里這里，. t. )()(22dttt

5、ds 注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分的下限.,),(. 2而而是是相相互互有有關關的的不不彼彼此此獨獨立立中中yxyxf ).(),( :tytxl 1. 曲線曲線. t對弧長曲線積分的計算公式對弧長曲線積分的計算公式dtttttfdsyxfl )()()( ),(),(22則則2. 曲線曲線.)(:bxaxyl .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbal .)(:dycyxl 3. 曲線曲線.)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcl 則則則則推廣推廣: :)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(22

6、2 dtttttttfdszyxf例例1其中其中計算計算 . )( ldsyx解解. 0)( x 的直線；的直線；到點到點點點 )0 , 2( )0 , 0( : )1(aol的直線；的直線；到點到點點點 )3 , 2( )0 , 2( : )2(balaxyo23b(1) l：. 20 , 0)( xxy ldsyx)(dxx 20201 )0(dxx 20 . 2 . 0)( x (2) l：. 30 , 2)( yyx ldsyx)(dyy 30201 )2(dyy 30 )2(.221 例例2.2. 計算.dsyl其中 l 為y2=2x自點(0, 0)到點(2, 2)的一段弧.xxxs

7、yld2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xylxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31解解2 2：0y2,2 :2yxlyyysyld1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx 例例3.3. 計算lsyxd)(l: 連接o(0, 0), a(1, 0), b(0, 2)的閉折線oabo.解解：l分段光滑boaboal ds=dx21d)0(d)(10 xxsyxoaoa: y=0, 0 x1o2abyx110d5)22(d)(xxxsyxabab: y=22x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)

8、(yysyxbobo: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( lsyx)535(21o2abyx1例例4.4. 計算lsyxd)(22其中l(wèi): x2+y2=a2.l: x=acos t, y=asin t, 0t2lsyxd)(22ttatatatad)cos()sin()sincos(22222022taad20232 a例例5.5. 計算.d)(23szyx其中：從點a(3, 2, 1)到點o(0, 0, 0)的直線段.解解：直線段 ao 方程：123zyx化成參數(shù)方程：x=3t, y=2t, z=t, 0t1.ttttszyxd123)2()3(d)(222210323tt

9、 d143110314431例例6.)1 , 1()0 , 0(,:,2一段一段到到從從其中其中求求xyldsyil 解解dxxxi)(12102 xy 2. 10:2 xxyldxxx21041 )155(121 例例7)20(.,sin,cos:,)(222 的的一一段段其其中中求求kzayaxdszyxi解解).43(3222222kaka dkaakaa222222222)cos()sin(sincos 20i 2022222)(dkaka例例7 . 0,22222zyxazyxdsxi為圓周為圓周其中其中求求解解 由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxi)(

10、31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa例例8).(,sin,cos: ,象限象限第第橢圓橢圓其中其中求求 tbytaxlxydsil解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab ,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t lxyds.)(3)(22bababaab sin)( sin)()( 2222220222222btbadbtbabaab 20232222

11、22sin)(32)(2 btbabaabdttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab lxyds例例9其中其中計算計算 . )( ldsyx解解. 0)( x 的直線；的直線；到點到點點點 )0 , 2( )0 , 0( : )1(aol的直線；的直線；到點到點點點 )3 , 2( )0 , 2( : )2(balaxyo23b(1) l：. 20 , 0)( xxy ldsyx)(dxx 20201 )0(dxx 20 . 2 . 0)( x (2) l：. 3

12、0 , 2)( yyx ldsyx)(dyy 30201 )2(dyy 30 )2(.221 例例9.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到從從其中其中求求 xylydsil解解dyyy222)2(1 . 0 xy42 xyo12 2. 22 ,4)( :2 yyyxl .2)(yy lydsidyyy41222 例例10)20(. ,sin,cos: , 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsi解解.21222kaka dkaaka )cos()sin(sincos202222 . ,cos,sinkzayax dsxyzi dkaka 2sin220222 例例11解解直

13、直其中曲線其中曲線計算計算 , . 222 22ayxdselyx 形形邊邊界界。在在第第一一象象限限中中所所圍圍的的圖圖線線 , 0 xyx dselyx 22xyo2 2 aab.0 , 0 :ayxoa . 0 xdseoayx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedsedsedseobyxabyxoayx 222222 xyo2 2 aab.0 , 0 :ayxoa . 0 xdseoayx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedttataetata )sin()cos(2224)sin()cos(22 .24 ,sin ,cos : tta

14、ytaxabdseabyx 22.cos ,sintaytax dttataetata )sin()cos(2224)sin()cos(22 dtaea 24 .6aea .24 ,sin ,cos : ttaytaxabdseabyx 22.cos ,sintaytax .2 20 , :axxyob . 1 ydseobyx 22dxeaxx 11222022 xyo2 2 aab于是，于是，dselyx 22dsedsedseobyxabyxoayx 222222 )1(4)1( aaaeeae . 2)42( aea . 1 aedxeax 2220 2 .2 20 , :axxyob

15、 . 1 ydseobyx 22dxeaxx 11222022 四、幾何與物理意義,),()1(的線密度時的線密度時表示表示當當lyx ;),( ldsyxm ;,1),()2( ldslyxf弧長弧長時時當當,),( ),()3(處的高時處的高時柱面在點柱面在點上的上的表示立于表示立于當當yxlyxf.),( ldsyxfs柱面面積柱面面積sl),(yxfz 對弧長曲線積分的應用對弧長曲線積分的應用 ,)1(曲線弧的轉(zhuǎn)動慣量曲線弧的轉(zhuǎn)動慣量.,22 lylxdsyidsxi 曲線弧的質(zhì)心坐標曲線弧的質(zhì)心坐標)2(., lllldsdsyydsdsxx ,)(220 ldsyxi 例例9 ).

16、(,sin,cos: ttrytrxl解解: 如圖設置坐標系如圖設置坐標系dttrtrtr2222cos)sin(sin .1(2,）設設線線密密度度為為它它的的對對稱稱軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量對對于于的的圓圓弧弧中中心心角角為為計計算算半半徑徑為為lr xy lxdsyi2tdtr 23sin).cossin(3 r1 1、對弧長曲線積分的概念、對弧長曲線積分的概念2 2、對弧長曲線積分的計算、對弧長曲線積分的計算3 3、對弧長曲線積分的應用、對弧長曲線積分的應用作業(yè) : p201:1,(1)(7),2,3.五五 小結(jié)與思考判斷題小結(jié)與思考判斷題思考判斷題思考判斷題（1） 對弧長的曲線積分的

17、定義中對弧長的曲線積分的定義中 的符號可能為負嗎？的符號可能為負嗎？is （2） 對弧長的曲線積分是否與曲線方對弧長的曲線積分是否與曲線方向有關？向有關？思考題思考題對弧長的曲線積分的定義中對弧長的曲線積分的定義中 的符號的符號可能為負嗎？可能為負嗎？is 思考題解答思考題解答is 的符號永遠為正，它表示弧段的長度的符號永遠為正，它表示弧段的長度.一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲線形構(gòu)件已知曲線形構(gòu)件l的線密度為的線密度為),(yx , ,則則l的質(zhì)量的質(zhì)量m= =_；2 2、 lds= =_；3 3、 對對_的曲線積分與曲線的方向無關；的曲線積分與曲線的方向無關；4 4、 lds

18、yxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二、二、 計算下列求弧長的曲線積分計算下列求弧長的曲線積分: : 1 1、 lyxdse22, ,其中其中l(wèi)為圓周為圓周222ayx , ,直線直線xy 及及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界；軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界；練習題練習題 2 2、 yzdsx2, ,其中其中l(wèi)為折線為折線abcd, ,這里這里dcba, 依次為點依次為點(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 ldsyx)(22, ,其中其

19、中l(wèi)為曲線為曲線 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、計算、計算 ldsy, ,其中其中l(wèi)為雙紐線為雙紐線 )0()()(222222 ayxayx . .三、設螺旋形彈簧一圈的方程為三、設螺旋形彈簧一圈的方程為taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的線密度它的線密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它關于、它關于z軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動zi慣慣量量； 2 2、它的重心、它的重心 . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、 ldsyx),( ； 2 2、的的弧弧長長l； 3 3、弧長；、弧長； 4 4

20、、 . .二、二、1 1、2)42( aea； 2 2、9 9； 3 3、)21(2232 a； 4 4、)22(22 a. .三、三、)43(32222222kakaaiz ； 2222436kaakx ； 2222436kaaky ； 22222243)2(3kakakz . .oxyabl一、問題的提出1 nmim1 im2m1mix iy 實例實例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:baljyxqiyxpyxf),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110bmyxmyxmmannnn .)()(1jyixmmiiii .abfw 求和求

21、和. ),(),(1 niiiiiiiyqxp 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyqxpw 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jqipfiiiiii 取取,),(1iiiiimmfw .),(),(iiiiiiiyqxpw 即即 niiww1oxyabl1 nmim1 im2m1m),(iif ix iy 二、對坐標的曲線積分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段如果當各小弧段上任意取定的點上任意取定的點為為點點設設個有向小弧段個有向小弧段分成分成把

22、把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條有到點到點面內(nèi)從點面內(nèi)從點為為設設 iiiiiiiiiiniinnnmmyyyxxxbmamnimmnlyxmyxmyxmllyxqyxpbaxoyl1.定義定義.),(lim),(,(),(,),(101iiniilniiiixpdxyxpxlyxpxp 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）積分積分的曲線的曲線上對坐標上對坐標在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniilyqdyyxq ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做

23、被積函數(shù)其中其中yxqyxp.叫積分弧段叫積分弧段l2.存在條件：存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當lyxqyxp3.組合形式組合形式 llldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(.,jdyidxdsjqipf 其中其中. ldsf4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixpdxzyxp . rdzqdypdx.),(lim),(10iiiniiyqdyzyxq .),(lim),(10iiiniizrdzzyxr 5.5.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 ll

24、lqdypdxqdypdxqdypdxlll則則和和分成分成如果把如果把則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設設,)2(lll 即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關. lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(三、對坐標的曲線積分的計算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導數(shù)續(xù)導數(shù)一階連一階連為端點的閉區(qū)間上具有為端點的閉區(qū)間上具有及及在以在以運動到終點運動到終點沿沿的起點的起點從從點點時時到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當參數(shù)

25、當參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設設 ldyyxqdxyxpttttblalyxmttytxllyxqyxp 定理定理dttttqtttpdyyxqdxyxpl)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyl，終點為，終點為起點為起點為 .)()(,)(,dxxyxyxqxyxpqdypdxbal 則則.)(:)2(dcyyxxl，終點為，終點為起點為起點為 .),()(),(dyyyxqyxyyxpqdypdxdcl 則則.,)()()(:)3( 終點終點起點起點推廣推廣ttztytx dtttttrtttt

26、qttttprdzqdypdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( (4) 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxl ：設有向平面曲線弧為設有向平面曲線弧為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點上點yxl lldsqpqdypdx)coscos(則則其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） ,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點上點zyx dsrqprdzqdypdx)coscoscos(則則 dsta rda, dsat

27、可用向量表示可用向量表示，其中其中,rqpa ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲線元；有向曲線元；.上的投影上的投影在向量在向量為向量為向量taat處的單位切向量處的單位切向量上點上點),(zyx 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算baxylxydxl 解解的定積分，的定積分，化為對化為對x)1(.xy obaolxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( a)1 , 1(b的定積分，的定積分，化為對化為對y)2(,2yx ablxydxxydx

28、1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( a)1 , 1(b.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計算abxaaaldxyl 例例2解解,sincos:)1( ayaxl，變到變到從從 0)0 ,(aa)0 ,( ab 0原式原式 daa)sin(sin22 )0 ,(aa)0 ,( ab .343a , 0:)2( yl，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 問題問題：被積函數(shù)相同，起點和終

29、點也相同，但：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同路徑不同積分結(jié)果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算baooabboyxboxyldyxxydxl 2xy )0 , 1(a)1 , 1(b解解.)1(的積分的積分化為對化為對 x, 10,:2變到變到從從xxyl 1022)22(dxx

30、xxx原式原式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (a)1 ,1(b2yx .)2(的積分的積分化為對化為對 y,10,:2變到變到從從yyxl 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(a)1 , 1(b)3( aboadyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 oa,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxoa. 0 ,上上在在 ab,10, 1變到變到從從yx 102)102(2dyydyxxydxab. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (a)1 ,1(b問題問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但：

31、被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同路徑不同而積分結(jié)果相同.四、小結(jié)1、對坐標曲線積分的概念、對坐標曲線積分的概念2、對坐標曲線積分的計算、對坐標曲線積分的計算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系、兩類曲線積分之間的聯(lián)系思考題思考題 當曲線當曲線l的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定之后之后（例如（例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是正常數(shù)），試問如何表示是正常數(shù)），試問如何表示l的方的方向向（如（如l表示為順時針方向、逆時針方向）？表示為順時針方向、逆時針方向）？思考題解答思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定曲線方向由參數(shù)的變化方向

32、而定.例如例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中當當t從從 0 變變到到 2時時，l取取逆逆時時針針方方向向;反反之之當當t從從 2變變到到 0 時時，l取取順順時時針針方方向向.一、一、 填空題填空題: :1 1、 對對_的曲線積分與曲線的方向有關；的曲線積分與曲線的方向有關；2 2、 設設0),(),( dyyxqdxyxpl, ,則則 lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxqdxyxpl),(),( dttttqtttp)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限對應于對應于l的的_點點, ,上限上限 對應于