第二章一元函數(shù)微分學及其應(yīng)用

1、第二章 一元函數(shù)微分學及其應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 一元函數(shù)的導數(shù)與微分一元函數(shù)的導數(shù)與微分第二節(jié)第二節(jié) 導數(shù)的應(yīng)用導數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 一元函數(shù)的導數(shù)與微分一、導數(shù)的定義一、導數(shù)的定義二、求導法則和基本求導公式二、求導法則和基本求導公式三、函數(shù)的微分三、函數(shù)的微分1.導數(shù)的定義導數(shù)的定義 引例引例一、導數(shù)的定義 m,n為曲線為曲線c上不同點，作割線上不同點，作割線mn當點當點n沿曲線沿曲線c趨于點趨于點m時，如果割線時，如果割線mn繞點繞點m旋旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置轉(zhuǎn)而趨于極限位置m， 直線直線mt就稱為曲線就稱為曲線c在點在點m處的切線處的切線 t0 xxoxy)(xfy cnm極限位置即極限位置即. 0

2、, 0 nmtmn).,(),(00yxnyxm設(shè)設(shè)的斜率為的斜率為割線割線mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線mt.)()(limtan000 xxxfxfkxx 導數(shù)的概念導數(shù)的概念,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導數(shù)處的導數(shù)在點在點數(shù)數(shù)并稱這個極限為函并稱這個極限為函處可導處可導在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)時的極限存在時的極限存在之比當之比當與與如果如果得增量得增量取取相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時時仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)點點處取得

3、增量處取得增量在在當自變量當自變量有定義有定義的某個鄰域內(nèi)的某個鄰域內(nèi)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx ,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點導數(shù)是因變量在點點導數(shù)是因變量在點 x.)(,)(內(nèi)可導內(nèi)可導在開區(qū)間在開區(qū)間就稱函數(shù)就稱函數(shù)處都可導處都可導內(nèi)的每點內(nèi)的每點在開區(qū)間在開區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)ixfi

4、xfy 關(guān)于導數(shù)的說明：關(guān)于導數(shù)的說明：2.左、右導數(shù)左、右導數(shù)3. 可導與連續(xù)的關(guān)系可導與連續(xù)的關(guān)系定理定理 凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可導可導在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立. 步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極

5、限求極限例例1 1.)()(的導數(shù)的導數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)ccxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即4. 求導舉例求導舉例例例2 2.)(的導數(shù)的導數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(l

6、im)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例4 4.)1, 0()(的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee oxy)(xfy t0 xm幾何意義：幾何意義：)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxmxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxx

7、fyy 5. 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義定理定理并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導處可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu二、求導法則和基本求導公式求導法則和基本求導公式1. 導數(shù)的運算法則導數(shù)的運算法則例例1 1.tan的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos

8、)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例2 2.sec的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得2. 反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則11( )( )0,( ),1( ).( )yxxyiyyxixy如果函數(shù)在某區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導且那么它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導 且有即即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).3. 基本初等函數(shù)的求導

9、法則基本初等函數(shù)的求導法則xxxxxxxctansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc4. 復(fù)合函數(shù)的求導法則復(fù)合函數(shù)的求導法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決利用上述公式及法則

10、初等函數(shù)求導問題可完全解決.注意注意: :初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導數(shù)仍為初等函數(shù).)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?y xf.和 之間的關(guān)系以 (x,y)=0的形式表現(xiàn)的函數(shù)稱為隱函數(shù)5、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 隱函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)求導過程隱函數(shù)求導過程: :.,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytyt

11、x ),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy ,)()(中中在方程在方程 tytx參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù), 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即6. 高階導數(shù)高階導數(shù).)() )(,)()(lim) )(,)()(0處處的的二二階階導導數(shù)數(shù)在在點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱存存在在即即處處可可導導在在點點的的導導數(shù)數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù)xxfxfxxfxx

12、fxfxxfxfx 記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù), 高階導數(shù)的概念高階導數(shù)的概念記作記作階導數(shù)階導數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)高階導數(shù).)(;)(,稱為一階導數(shù)稱為一階導數(shù)稱為零階導數(shù)稱為零階導數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf 由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步

13、求高階導數(shù).例例sin ,yx設(shè)解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n階導數(shù)階導數(shù). 高階導數(shù)的計算高階導數(shù)的計算三、函數(shù)的微分1. 微分的定義微分的定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xadyxdfdyxxxfyxaxxfyxaxoxaxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記記作作的的微微分分相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量在在點點為為函函數(shù)數(shù)并并且

14、且稱稱可可微微在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與其其中中成成立立如如果果在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)及及在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)) ).(,)()(000 xfaxxfxxf 且且處可導處可導在點在點數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點在點函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點點xxf),( xoxay ,)(xxoaxy xxoaxyxx )(limlim00則則.a ).(,)(00 xfaxxf 且且可導可導在點在點即函數(shù)即函數(shù)2. 可導與

15、可微的關(guān)系可導與可微的關(guān)系(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從而從而,)(0 xfxy即即,)(0可可導導在在點點函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00axfxxf 且且可微可微在點在點函數(shù)函數(shù)).(.0 xfa 可微可微可導可導.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記作記作微分微分稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的的微分的微分在任意點在任意點函數(shù)函數(shù)3. 微分的運算法則微分的運算法則dxxfdy)( 求法求法: : 計算函數(shù)的導數(shù)計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.1)基本初等函數(shù)的微分公式基本初等

16、函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdcdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2) 微分的四則運算法則微分的四則運算法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud arc3)復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則4. 微分在近似計算中的應(yīng)用微分在近似計算中的應(yīng)用, 0)()(00很小時很小時且且處的導數(shù)處的導數(shù)在點在點若若xxfxxfy .)(0 xxf 0