復(fù)利現(xiàn)值、終值、年金現(xiàn)值終值公式、實(shí)例

1、年份012345678910各年末凈現(xiàn)金流量-50060100100100100100100100100100解:本例因?yàn)樯婕暗侥杲甬?dāng)中的遞延年金，所以將年金系列一起先介 紹，然后解題年金，是指一定時(shí)期內(nèi)每次等額收付款的系列款項(xiàng)， 通常記作A。 如保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)老金、折舊、租金、等額分期收款、等額分期付款以及 零存整取或整存零取儲(chǔ)蓄等等。年金按每次收付發(fā)生的時(shí)點(diǎn)不同， 可 分為普通年金、即付年金、遞延年金、永續(xù)年金等。結(jié)合本例，先介 紹普通年金與遞延年金，其他的在后面介紹。一、普通年金，是指從第一期起，在一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額發(fā)生的 系列收付款項(xiàng)，又稱后付年金。1. 普通年金現(xiàn)值公式為：P A (

2、1 i)A (1i)2A (1i)(n 1)A (1i)n1 (1i)式中的分式1 （1 i） n稱作“年金現(xiàn)值系數(shù)”，記為（P/A，i , n）,i可通過直接查閱“ 1元年金現(xiàn)值表”求得有關(guān)的數(shù)值，上式也可寫作:P=A（P/A，i，n）.2.例子：租入某設(shè)備，每年年末需要支付租金 120元，年復(fù)利利率為10%則5年內(nèi)應(yīng)支付的租金總額的現(xiàn)值為：1201 (1 10%)10%120 3.7908 455 (元)、遞延年金，是指第一次收付款發(fā)生時(shí)間與第一期無關(guān)，而隔若干期（假設(shè)為s期，s> 1）,后才開始發(fā)生的系列等額收付款項(xiàng)。它是普通年金的特殊形式，凡不是從第一期開始的年金都是遞延年金。1

3、.遞延年金現(xiàn)值公式為：nsA (P/A,i, n) (P/A,i,s)(1)1 (1 i) 1 (1 i)ii上述A 1(1 i)(ns)i(1 i)（1）公式是先計(jì)算出A (P/A,i, n s) (P/F,i,s)(2)n期的普通年金現(xiàn)值，然后減去前 s期的普通年金現(xiàn)值，即得遞延年金的現(xiàn)值,公式（2）是先將些遞延年金視為（n-s）期普通年金，求出在第s期的現(xiàn)值，然后再折算為第零期的現(xiàn)值。2.例子：某人在年初存入一筆資金，存滿5年后每年年末取出1000元，至第10年末取完，銀行存款利率為10%則此人應(yīng)在最初一次存入銀行的錢數(shù)為: 方法一:(P/A,i, n)(P/A,i,s)1 (1 i)

4、n 1 i10001 (1 10%) 1010%1 (1 10%) 510%1000 (P/A,10%,10) (P/A,10%,5)= 1000X(元)方法二：是先將些遞延年金視為（n-s）期普通年金，求出在第s期的現(xiàn)值，然后再折算為第零期的現(xiàn)值。10001 (1 i)(n s)1 (1 1C%)(105)i(1 10%)10 (P/A10%10 5) (P/F,10%5)= 1000XX 2354 (元)三、本例的分析及解答:從表中可以看出，現(xiàn)金流量是每年年末的凈現(xiàn)金流量，從第2年開始到第10年，每年年末的凈現(xiàn)金流量相等，這符合遞延年金的定義，那么從第2年到第10年的每年年末的凈現(xiàn)金流量的

5、現(xiàn)值要按遞延年金來計(jì)算。第0年的年末凈現(xiàn)金流量為500,說明是第1年年初一次性投入500萬元，第1年年末的凈現(xiàn)金流量為60萬元，按復(fù)利現(xiàn)值的公式來計(jì)算。從本例中，建設(shè)期為0年，經(jīng)營期為10年，年利率為10%那么本例的投資的凈現(xiàn)值計(jì)算為:NPVNtt 1 (1R)t60 (1 10%)100 1(1 10%)"_L (1 10%) 1500i60 (P/F,10%,1)100 (P/A,10%,101)(P/F,10%,1)500=60 x +100XX = （萬元）四、其他年金普通年金1.終值公式為:(1 if 1s(1 i) A (P/A,i, n s) (P/F,i,s)ii式中

6、的分式(LiLJ稱作“年金終值系數(shù)”，記作為(F/A, i , n),i可通過直接查閱“ 1元年金終值表”求得有關(guān)的數(shù)值，上式也可寫作： F=A(F/A，i，n)例：假設(shè)某項(xiàng)目在5年建設(shè)期內(nèi)每年年末從銀行垡100萬元，借 款年利率為10%則該項(xiàng)目竣工時(shí)就付本息的總額為：5F 100 (1 10%)1 = 100X( F/A, 10% 5) =100X =(萬元) 10%2. 年償債基金的計(jì)算(已知年金終值，求年金 A)償債基金是指為了在約定的未來某一時(shí)點(diǎn)清償某筆債務(wù)或者積聚一定數(shù)額的資金而必須分次等額形成的存款準(zhǔn)備金。它的計(jì)算實(shí)際上是年金終值的逆運(yùn)算。i(1 i)n 1式中的分式一稱作“償債基

7、金系數(shù)”，記為(A/F, i , n),(1 i) 1可通過直接查閱“償債基金系統(tǒng)表”或通過年金終值系數(shù)的倒數(shù)推算出來，上式也可寫作：A=F (A/F, i , n)或者A=F1/ (F/A, i , n)例：假設(shè)某企業(yè)有一筆4年后到期的借款，到期值為1000萬元。 若存款年復(fù)利率為10%則為償還該借款應(yīng)建立的償債基金應(yīng)為：10%A 10004=1000X=(萬元)(1 10%) 1或 A=1000X 1/(F/A , 10% 4) =1000 X (1/=(萬元)3. 年資本回收額的計(jì)算(已知年金現(xiàn)值P ,求年金A)1 (1i)式中的分式i-稱作“資本回收系數(shù)”記為記為（A/P, i , n

8、）,1 （1 i）可通過直接查閱“資本回收系統(tǒng)表”或通過年金現(xiàn)值系數(shù)的倒數(shù)推算出來，上式也可寫作：A=P（A/P，i，n）或者A=P1/（ P/A，i，n）例：某企業(yè)現(xiàn)在借得1000萬元的貸款，在10年內(nèi)以年利率12% 等額償還，則每年應(yīng)付的金額為：A 1000io =1000X =177 （萬元）1 （1 12%）或 A=1000X 1/ （P/A，12% 10） =1000 X （1/=177 （萬元）即付年金即付年金，是指從第一期起，在一定時(shí)期內(nèi)每期期初等額收付的 系列款項(xiàng)，又稱先付年金，它與普通年金的區(qū)別僅在于付款時(shí)間的不 同。1.由于付款時(shí)間的不同,n期即付年金終值比n期普通年金的終

9、值多計(jì)算一期利息。因此，在n期普通年金終值的基礎(chǔ)上乘上（1+i）就是n期即付年金的終值。1(1 i)(1 i)n1 1 1 i式中（1 i）n1 1 1稱作“即付年金終值系數(shù)”，它是在普通年金終i值系數(shù)的基礎(chǔ)上，期數(shù)加1,系數(shù)值減1所得的結(jié)果。通常記為（F/A， i，n+1） -1，這樣，通過查閱“一元年金終值表”得到 n+1期的值, 然后減去1便可得對(duì)應(yīng)的即付年金終值系數(shù)的值。上式也可寫作：F=A (F/A, i , n+1) -1例：某公司決定連續(xù)5年于每年年初存入100萬元作為住房基金, 銀行存款利率為10%則該公司在第5年末能一次取出本利和為：F= A (F/A，i，n+1)-1=10

10、0 x (F/A, 10% 5+1) -1= 100 x =672 (萬元)2.由于付款時(shí)間的不同，n期即付年金現(xiàn)值比n期普通年金的現(xiàn)值少折現(xiàn)一期。因此，在n期普通年金現(xiàn)值的基礎(chǔ)上乘上（1+i）就是n期即付年金的現(xiàn)值1 (1i) n(1 i)1 (1i)(n 1)式中1 （1 i）（n 1）1稱作“即付年金現(xiàn)值系數(shù)”，它是在普通年金i現(xiàn)值系數(shù)的基礎(chǔ)上，期數(shù)減 1,系數(shù)值加1所得的結(jié)果。通常記為（P/A, i , n-1 ） +1，這樣，通過查閱“一元年金現(xiàn)值表”得到 n-1 期的值，然后加上1便可得對(duì)應(yīng)的即付年金現(xiàn)值系數(shù)的值。上式也可 寫作：P=A （P/A，i，n-1） +1永續(xù)年金永續(xù)年金

11、，是指無限期等額收付的特種年金，可視為普通年金的特殊形式，即期限趨于無窮的普通年金。存本取息可視為永續(xù)年金的 例子。也可將利率較高、持續(xù)期限較長的年金視同永續(xù)年金。由于永續(xù)年金持續(xù)期無限，沒有終止時(shí)間，因此沒有終值，只有 現(xiàn)值。公式為：1At i (1 i)t T例：某人持有的某公司優(yōu)先股，每年每股股利為2元，若此人想長期持有，在利率為10%勺情況下，請對(duì)該股票投資進(jìn)行估價(jià)。這是一個(gè)求永續(xù)年金現(xiàn)值的問題，即假設(shè)該優(yōu)先股每年股利固定且持續(xù)較長時(shí)期，計(jì)算出這些股利的現(xiàn)值之和，即為該股票的估價(jià)。P=A/i=2/10%=20 (元)五、名義利率與實(shí)際利率的換算當(dāng)每年復(fù)利次數(shù)超過一次時(shí)，這樣的年利率叫做

12、名義利率，而每年只復(fù)利一次的利率才是實(shí)際利率。公式：i=(1+r/m) m-1式中：i為實(shí)際利率，r為名義利率，m為每年復(fù)利次數(shù)。例：某企業(yè)于年初存入10萬元，在年利率為10%半年復(fù)利一次的情況下，到第10年末，該企業(yè)能得到多少本利和？依題意，P=10, r=10%, m=2 n=10貝心 i=(1+r/m)街二 i=(1+10%/2) 2-仁F=P(1+i) n=10x (1+%)10=(萬元)這種方法的缺點(diǎn)是調(diào)整后的實(shí)際利率往往帶有小數(shù)點(diǎn)，不便于查表?？梢园牙首?yōu)閞/m，期數(shù)相應(yīng)變?yōu)閙x n,則有：F=P(1+r/m) mxn=10x (1+10%/2) 20=10x (F/P,5%,20)=(萬元)普通年金終值公式：F A (1 i)n 1 i現(xiàn)值公式:P A (1 i) 1 A (1 i) 2A (1 i)(n1)A (1 i)A 1(1 I) ni即付年金的終值。F A (1 i) A-(1in 1I) 1i現(xiàn)值。P A 1 (1 廠(1 I)i1 (1