第二章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第三節(jié)多元函數(shù)微分法

1、第三節(jié)第三節(jié) 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法一一 復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)微分法二二 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法一一 復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)微分法1 鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t定理定理)(tu )(tv t如果函數(shù)如果函數(shù)及及都在點(diǎn)都在點(diǎn)可導(dǎo)，可導(dǎo)，),(vufz ),(vu函數(shù)函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)，)(),(ttfz t則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，可導(dǎo)，dtdvvzdtduuzdtdz 且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：zuvtdtdzuz dtduvz dtdv,21vuvvzuuzz 01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 ,dtd

2、utu ,dtdvtv 證證()( ),uttt 則則);()(tttv tt 設(shè) 獲得增量，設(shè) 獲得增量，.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況. .如如dtdzuvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)dtdzuz dtduvz dtdvwz dtdw 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz ,xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz ),(yxu ),(yxv ),(yx

3、xy如果如果及及都在點(diǎn)都在點(diǎn)對對具有具有和和的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)，),(vufz ),(vu且函數(shù)且函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，),(),(yxyxfz ),(yx則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在， 且可用下列公式計(jì)算且可用下列公式計(jì)算uvxzy鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyxxz 類似地再推廣，類似地再推廣，),(),(),(yxwyxyxfz ),(yx在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)),(wvuf在對應(yīng)在對應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(wvu

4、處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，uz xu vz xv wz xw yz uz yu vz yv wz yw 、),(yxu 、),(yxv ),(yxww ),(yxxy都在點(diǎn)都在點(diǎn)具有對具有對和和的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)設(shè)且可用下列公式計(jì)算且可用下列公式計(jì)算 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似解解 xz uzxu vzxv veusin ),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cos

5、sin vexveuu).cossin(vvxeu y veucos 1 解解dzdt v ttetettcossincos .cos)sin(costttet z duu dt z dvvdt zt teu )sin(t tcos 例例3 3設(shè)設(shè)(1),xyzxy 求求,zzxy解解令令1,uxy vxy則則vzu zx 1vvu 1() (1)xyxy xxy (1)ln(1)xyxyxy 同理同理zy 1() (1)xyxy yxy (1)ln(1)xyxyxy zuu x zvv x ylnvuu 1 例例4 4設(shè)設(shè)2(,),zf xy x y計(jì)算計(jì)算2,zx y 其中其中f二階二階偏

6、導(dǎo)數(shù)連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。解解令令2,uxy vx y為方便起見記為方便起見記1( , ),f u vfu 2112( , ),ff u vfvu v 同理有同理有21122,fff則則zfufvxu xvx 1f 在計(jì)算含有抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是應(yīng)當(dāng)注意在計(jì)算含有抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是應(yīng)當(dāng)注意1 1）要學(xué)會(huì)分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系）要學(xué)會(huì)分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系2 2）將導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算分開做，不宜混為）將導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算分開做，不宜混為一談一談. .2f 2xy3) 3) 在計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)在計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí), ,要注意要注意12,ff仍保持仍保持f的的復(fù)合關(guān)系復(fù)合關(guān)系. .2122zfxyf

7、x yy 1fy 111ffufvyuyvy222ffufvyuyvy21112fx f2321112222(2)2xffxxy fx yf2222fxfxyy 11f 12f 2x22122fx f22xf 221222()xy fx f例例5 5 設(shè)設(shè)( ,),yzxf xx 求求222,.zzx yx 解解zffxxxf 12yfxffx22zfxx 122yffx1f 22yfx 11122()yx ffx21222()yyffxx21111222322yyfxfffxx二階偏導(dǎo)連續(xù)二階偏導(dǎo)連續(xù)f11ffxx 222yy ffxxx 122()yx ffx2zx y fy 1fxy 2

8、21y ffxxy 21fx 121xfx 21fx 221yfx x 12222yffx例例6 6設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f u二階可導(dǎo)，二階可導(dǎo)，2(),yzx fx 求求2.zx y 解解zx 注意這里出現(xiàn)的抽象函數(shù)注意這里出現(xiàn)的抽象函數(shù)( )f u為變量為變量()yux 的一元函數(shù)的一元函數(shù). .2xf 2xf 12zyfxffxx 2xf2x fx 2()yx 2xfyf 22zfxx yy ffyy 12xfx f 1yfx yffx222, 1ln,ln),(dtzdtvtuvutfz求求設(shè)設(shè) 1fdtdz 例例7 7 解解 其中其中),(vutf二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。t12

9、f ttln23f 131211ln21fttftf 22dtzd221ft )ln21(232221fttftf t1 32)ln1(2ftt ttln2 )ln21(333231fttftf 2222213121111ln42ftftfttftf 解解 xw1f2f yz zxw2)(21yzffz zf 1 zf111f zf212f xy21f22f xy1211xyff 2yf )(2221xyffyz .)(22221211yfzfxyfzxyf zfyzyf 22例例9設(shè)設(shè)),(xyxfz 求求其中其中)(uf二階可導(dǎo)。二階可導(dǎo)。解解 xzffx )(2xy fxyf 22xzf

10、 )(2xy fxy 2fxy )(2xy fxy 32 yzfx x1f 22yzf x1222222yzyxzx 222222yzyxzx fxy 2fxy 20 2 2 全微分形式不變性全微分形式不變性),(vufz dvvzduuzdz 、),(yxu ),(yxv 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，則有全微分則有全微分如果如果vu,是自是自變量，變量，由于由于dyyzdxxzdz dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：dvvzduuzdz 它的全

11、微分形式是一樣的它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、是自變量是自變量的函數(shù)，的函數(shù)，的函數(shù)，的函數(shù)，或中間變量或中間變量無論無論一階全微分形式不變性一階全微分形式不變性例例1010利用全微分形式不變性可以計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的利用全微分形式不變性可以計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的一階一階( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). .設(shè)設(shè)( , , ,),zf x y u w ( , ),( , , )ug x y wh x y u求求,.zzxy解解dz 12f dxf dy12312()f dxf dyfg dxg dy312()fg dxg dy4123()fhdxh dyh du412(fh dxh dy312()h g

12、 dxg dy1234f dxf dyf duf dw13141431()ff gf hf h g dx23242432()ff gf hf h g dy13141431zff gf hf h gx 23242432zff gf hf h gy . .12312()f dxf dyfg dxg dy412(fh dxh dy312()h g dxg dy1 一個(gè)方程的情形一個(gè)方程的情形二二 隱函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法0),( yxf1）yxffdxdy 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1),(yxf),(00yxp設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，,

13、 0),(00 yxf, 0),(00 yxfy且且0),( yxf),(00yxp),(xfy 一一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)則方程則方程在點(diǎn)在點(diǎn)的某的某的函數(shù)的函數(shù)),(00 xfy 它滿足條件它滿足條件0)(,( xfxf并有并有解法解法1令令則則,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx 解法解法2視方程中視方程中y為為x函數(shù)，函數(shù)， 方程兩邊對方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo))(222yx yyx 2221 xy2xyyx .xyyxy 解解令令

14、1),(22 yxyxf則則,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yf函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為yxffdxdy , 00 xdxdy,yx 22dxyd2y xy y 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd0),( zyxfzxffxz zyffyz 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2),(zyxf),(000zyxp設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，, 0),(000 zyxf, 0),(000 zyxfz且且0),( zyxf),(000zyxp),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一

15、確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏偏則方程則方程導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(000yxfz 它滿足條件它滿足條件且且, 0),(,( yxfyxf并有并有2)解法一解法一視方程視方程02 zxyeze中中z為為yx,的函數(shù)，的函數(shù)，方程兩邊分別關(guān)于方程兩邊分別關(guān)于yx,求偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，xye y 2zx ze xz 0 xz2xyzyee xye x 2zy ze yz 0 yz2xyzxee dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( 解法二解法二, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzex

16、yz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe解法三解法三解法解法1令令則則,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfzzxffxz 22xz 2)2(z 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz xz )2()(xz ,2zx 對關(guān)系式對關(guān)系式x2z2 xz xz 40 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x再求再求一次偏導(dǎo)數(shù)，一次偏導(dǎo)數(shù)，2xz 2xz 222xzz 224xz 0 22xz zxz 2)(12,2zxxz .)2()2(322zxz 解法解法2視方程視方程04222 zzyx中的中的z為為、xy的函數(shù)，

17、的函數(shù)，方程兩邊對方程兩邊對x求偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，,2zxxz x2z2 xz xz 40 0 思路：思路：解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 把把x看成看成yz,的函數(shù)對的函數(shù)對y求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得yx xz uf vf 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 0vf )1(xz ),(xzxyyz uf )1( yx),(yxyzxz 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx ),(xyzzyxfz 1vf 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff uf )1( zy),(zyxzxy ),(xyzzyxfz 2 2 方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)方程

18、組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形. . 0),(0),(vuyxgvuyxf ),(),(yxvvyxuu由由 f f、g g 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuggffvugfj ),(),(以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 , , 即即稱為稱為gf,的的雅可比雅可比( jacobi )行列式行列式.定理定理3.3.,0),(0000 vuyxf的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf則方程組則方程組0),(,