04第4講數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則64077

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程授課教師：劉長(zhǎng)榮第 二 章 極 限本章學(xué)習(xí)要求： 了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運(yùn)用“”和 “x ” 語(yǔ)言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無(wú)窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無(wú)窮小量間的關(guān)系。 掌握無(wú)窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì)二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則 單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限 . 單

2、調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限 . . 11 收斂證明數(shù)列nn證證由中學(xué)的牛頓二項(xiàng)式展開公式321! 3)2)(1(1! 2) 1(1! 1111nnnnnnnnnnxnnnnnnnnn1! )1() 1(nnn2111! 3111 2111！ , 112111! 1nnnnn例例1類似地, 有11111nnnx 111121111! 1nnnnn 11121111! ) 1(1nnnnn121111! 31111 2111nnn！除前面的展開式可以看出與比較 , 1nnxx并且的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的每一項(xiàng)都小于兩項(xiàng)外 , ,1nnxx因此一項(xiàng)還多了最后的大于零的 , 1nx1nnxx. 是單調(diào)增加的即nxn

3、nnxn2111! 3111 2111！ 112111! 1nnnnn又! 1! 31! 2111n1221212111n , 321321121111nn 等比數(shù)列求和 放大不等式 . 有界從而nx每個(gè)括號(hào)小于 1 . 綜上所述, 數(shù)列xn是單調(diào)增加且有上界的, 由極限存在準(zhǔn)則可知, 該數(shù)列的極限存在, 通常將它記為 e, 即. 11limennne 稱為歐拉常數(shù). 590457182818284. 2e .ln : , , xye記為稱為自然對(duì)數(shù)為底的對(duì)數(shù)以! ! 1! 31! 21 ! 111 nnnee的計(jì)算公式為 . 10 ,其中 歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞爾，20

4、年后卻永遠(yuǎn)離開了祖國(guó)。在他76年的生命歷程中，還有25年住在德國(guó)柏林（17411766年），其余時(shí)間則留在俄國(guó)彼得堡。 歐拉31歲時(shí)右眼失明，59歲時(shí)雙目失明。他的寓所和財(cái)產(chǎn)曾被烈火燒盡（1771年），與他共同生活40年的結(jié)發(fā)之妻先他10年去世。 歐拉聲譽(yù)顯赫。12次獲巴黎科學(xué)院大獎(jiǎng)（17381772年）曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會(huì)、巴塞爾物理數(shù)學(xué)會(huì)、巴黎科學(xué)院等科學(xué)團(tuán)體的成員。 歐拉成就卓著。生前就出版了560種論著，另有更多未出版的論著。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書和約400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。 歐拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年

5、后獲學(xué)士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué)了一段時(shí)期的神學(xué)和語(yǔ)言學(xué)。從18歲開始就一直從事數(shù)學(xué)研究工作。 歐拉具有超人的計(jì)算能力。法國(guó)天文學(xué)家、物理學(xué)家阿拉哥（d. f. j. arago，17861853）說(shuō)：“歐拉計(jì)算一點(diǎn)也不費(fèi)勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風(fēng)飛翔一樣?！?有一次，歐拉的兩個(gè)學(xué)生計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的和，加到第17 項(xiàng)時(shí)兩人發(fā)現(xiàn)在第 50 位數(shù)字相差一個(gè)單位。為了確定究竟誰(shuí)對(duì)，歐拉用心算進(jìn)行了全部運(yùn)算，準(zhǔn)確地找出了錯(cuò)誤。特別是在他雙目失明后，運(yùn)用心算解決了使牛頓頭疼的月球運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜分析運(yùn)算。 歐拉創(chuàng)用 a，b，c 表示三角形的三條邊，用 a，b，c表示對(duì)應(yīng)

6、的三個(gè)角( 1748 )；創(chuàng)用 表示求和符號(hào) ( 1755 )；提倡用 表示圓周率（1736）；1727年用 e 表示自然對(duì)數(shù)的底；還用y 表示差分等等。 十八世紀(jì)四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國(guó)，如他在1748年出版的無(wú)窮分析引論。設(shè)數(shù)列 xn, yn, zn 滿足下列關(guān)系:(2),limlimazynnnn則axnnlim(1) yn xn zn , n z+(或從某一項(xiàng)開始) ;想想：如何證明夾逼定理? ,limlim 所以因?yàn)閍zynnnn, | , , 0 , 0 1aynnnn時(shí)當(dāng), | , , 0 , 0 22aznnnn時(shí)當(dāng) , ,max 21有時(shí)則當(dāng)取nnnnn . |

7、, |azaynn故有或從某一項(xiàng)開始已知 ),( znzxynnn)( nnazxyannn , , 由極限定義得有時(shí)即當(dāng)axnnn.limaxnn解解 .12111 lim 222nnnnn求112111 22222nnnnnnnnn , 1lim 2nnnn而11lim2nnn由于112111 lim 222nnnnn故例例2想得通吧？想得通吧？解解. ,! lim znnnnn求 ,11 321! 0 nnnnnnnnnnn由于 1. 1,3,2均小于nnnn , 00lim , 01lim nnn而 . 0! lim nnnn故例例3 .)321 (lim 1nnnn求 132313)

8、321 (11nnnnnn , 3132311 nn而 , 33)321 (3 11nnnn故 , 3)33(lim 1nn又 . 3)321 (lim , 1nnnn得由夾逼定理例例4解解例例5 .221lim 2nnnn求解解 , 1 時(shí)當(dāng)n 2212nn ,12122121 2nnnnnnn故 ,121lim ,21lim 22enennnnn而 .221lim 22ennn故請(qǐng)自己做!n21 ,121) 1(221nnnn例例6解解.) , ( ,lim 2121zkaaaaaaknnknnn為正常數(shù)其中求 ,max 21則有記naaaa , 21nnnnnknnnnkakaaaaaa

9、 , 1lim 故由夾逼定理得而nnk .,maxlim2121knnknnnaaaaaaa除最大的一個(gè)外, 其余的均取為零. ) ( lim收斂即數(shù)列nnnxax. | , , , 0 , 0nmxxnnmn時(shí)當(dāng) 滿足此條件的數(shù)列, 稱為“柯西列”. 柯西準(zhǔn)則可寫為: . 為柯西列收斂數(shù)列nnxx . 131211 時(shí)發(fā)散的證明數(shù)列n證證,1 31211 nxn記nnnxxnn212111| 2由于 ,212111nnnnn , , , 21 0均有時(shí)當(dāng)取何值則不論時(shí)故取nnn0221 |nnxx由柯西收斂準(zhǔn)則可知, 該數(shù)列是發(fā)散的.例例6 柯柯 西西 a.l.cauchy (1789185

10、7) 柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學(xué)的律師，與當(dāng)時(shí)法國(guó)的大數(shù)學(xué)家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年時(shí)代柯西的數(shù)學(xué)才華就頗受這兩位大數(shù)學(xué)的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建議下，其父親加強(qiáng)了對(duì)柯西文學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，使得后來(lái)柯西在詩(shī)歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。 18051810年，柯西考入巴黎理工學(xué)校，兩年后以第一名的成績(jī)被巴黎橋梁公路學(xué)院錄取，畢業(yè)時(shí)獲該校會(huì)考大獎(jiǎng)。1810年成為工程師。1815年獲科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)，1816年3月被任命為巴黎科學(xué)院院士，同年9月，被任命為巴黎理工學(xué)校分析學(xué)和力學(xué)教授。 由于身體欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師工作，

11、致力于純數(shù)學(xué)研究?？挛髟跀?shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的一個(gè)重大事件，也是柯西對(duì)人類科學(xué)發(fā)展所作的巨大貢獻(xiàn)。1821年柯西提出了極限定義的方法，把極限過程用不等式刻劃出來(lái)，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進(jìn)為現(xiàn)在教科書上所說(shuō)的極限定義或定義。當(dāng)今所有微積分教科書都還（至少在本質(zhì)上）沿用柯西關(guān)于極限、連續(xù)、收斂等概念?？挛鲗?duì)定積分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性的工作。他把定積分定義為和的極限，并強(qiáng)調(diào)在作定積分運(yùn)算前，應(yīng)判斷定積分的存在性。 他首先利用中值定理證明了微積分基本定理。通過柯西以及后來(lái)維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴(yán)格化處理，從而結(jié)束了 200 年來(lái)微積分在思想上的混亂局面，并使微積分發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)、最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科。 數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作一開始就產(chǎn)生了很大的影響。在一次學(xué)術(shù)會(huì)議上柯西提出了級(jí)數(shù)收斂理論，會(huì)后，拉普拉斯急忙回家，關(guān)起門來(lái)，避不見人，直到將他所發(fā)表和未發(fā)表的與級(jí)數(shù)有關(guān)的論文和著作全部檢查一遍，確認(rèn)無(wú)誤為止。 柯西一生撰寫的數(shù)學(xué)論著有800多種。他是19 個(gè)科學(xué)院或著名學(xué)術(shù)團(tuán)體的成員。1838年他還被授予男爵封號(hào)。他在學(xué)術(shù)上