高考數(shù)學(xué)二輪：2.4導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題試題含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第4講導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題(20xx·課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)aexln x，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)>1.利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問題，高考中常與函數(shù)零點(diǎn)、方程根及不等式相結(jié)合，難度較大.熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式用導(dǎo)數(shù)證明不等式是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一，可以間接考查用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值，以及構(gòu)造函數(shù)解題的能力例1已知函數(shù)f(x)ln xx3.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：在(1，)上，f(x)2>0；(3)求證：×

2、5;××<(n2，nn*)思維升華用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)，對(duì)x1，x2a，b，且x1<x2，則f(x1)<f(x2)對(duì)于減函數(shù)有類似結(jié)論(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍d內(nèi)有最大值m(或最小值m)，則對(duì)xd，則f(x)m(或f(x)m)(3)證明f(x)<g(x)，可構(gòu)造函數(shù)f(x)f(x)g(x)，證明f(x)<0.跟蹤演練1已知函數(shù)f(x)aln xbx(a，br)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為x2y20.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)x>1時(shí)，

3、f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)討論方程根的個(gè)數(shù)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三個(gè)等價(jià)的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)，通過數(shù)形結(jié)合思想直觀求解例2設(shè)函數(shù)f(x)c，e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，cr.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值(2)討論關(guān)于x的方程|ln x|f(x)根的個(gè)數(shù)思維升華(1)函數(shù)yf(x)k的零點(diǎn)問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)和直線yk的交點(diǎn)問題(2)研究函數(shù)yf(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢(shì)跟蹤演練2已知函數(shù)f(x)ln xax(ar)若函數(shù)f

4、(x)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題生活中的實(shí)際問題受某些主要變量的制約，解決生活中的優(yōu)化問題就是把制約問題的主要變量找出來，建立目標(biāo)問題即關(guān)于這個(gè)變量的函數(shù)，然后通過研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，從而找到變量在什么情況下可以達(dá)到目標(biāo)最優(yōu)例3某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為v立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將v表示成r的函數(shù)v(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)v(r)的單調(diào)性，并確定r和

5、h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大思維升華利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模：分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值(4)作答：回歸實(shí)際問題作答跟蹤演練3將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s，則s的最小值是_已知f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然常數(shù)，ar.(1)討論a1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值；(2)求證：在(

6、1)的條件下，f(x)>g(x)；(3)是否存在正實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由提醒：完成作業(yè)專題二第4講二輪專題強(qiáng)化練專題二 第4講導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題a組專題通關(guān)1已知a>0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是()a0 b1c2 d32已知r上可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x22x3)·f(x)>0的解集為()a(，2)(1，)b(，2)(1,2)c(，1)(1,0)(2，)d(，1)(1,1)(3，)3若不等式2xln xx2ax3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()a(，0) b(，4c(0

7、，) d4，)4設(shè)函數(shù)f(x)x34xa(0<a<2)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1<x2<x3，則下列結(jié)論正確的是()ax1>1 bx2<0c0<x2<1 dx3>25(20xx·福建)“對(duì)任意x，ksin xcos xx”是“k1”的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件6關(guān)于x的方程x33x2a0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_7已知函數(shù)f(x)x24x3ln x在t，t1上不單調(diào)，則t的取值范圍是_8已知函數(shù)f(x)x3x23x，直線l：9x2yc0，若當(dāng)x2,2時(shí)，函數(shù)

8、yf(x)的圖象恒在直線l下方，則c的取值范圍是_9已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(ar)(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在，e上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍b組能力提高10對(duì)于r上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足0，則必有()af(0)f(2)>2f(1)bf(0)f(2)2f(1)cf(0)f(2)<2f(1)df(0)f(2)2f(1)11已知f(x)xex，g(x)(x1)2a，若x1，x2r，使得f(x2)g(x1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_12已知函數(shù)f(x)aln(x1)x2在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，

9、q，且pq，不等式>1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_13(20xx·課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線yf(x)的切線；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)(x>0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)學(xué)生用書答案精析第4講導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題高考真題體驗(yàn)(1)解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)aexln xexex1·ex1.由題意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)證明由(1)知，f(x)exln xex1，從而f(x)>1等價(jià)于xln x>xex.設(shè)

10、函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x.所以當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x(，)時(shí)，g(x)>0.故g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g().設(shè)函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)<0.故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1).綜上，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1.熱點(diǎn)分類突破例1(1)解f(x)(x>0)解f(x)>0得x(1，)；解f(x)

11、<0得x(0,1)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1)(2)證明f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>f(1)即f(x)>2，所以f(x)2>0.(3)證明由(1)可知，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>f(1)，即ln xx1>0，0<ln x<x1對(duì)一切x(1，)成立n2，nn*，則有0<ln n<n1，0<<.····<····(n2，nn*

12、)跟蹤演練1解(1)f(x)aln xbx，f(x)b.直線x2y20的斜率為，且過點(diǎn)(1，)，即解得a1，b.(2)由(1)得f(x)ln x.當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0恒成立，即ln x<0，等價(jià)于k<xln x.令g(x)xln x，則g(x)x(ln x1)x1ln x.令h(x)x1ln x，則h(x)1.當(dāng)x>1時(shí)，h(x)>0，函數(shù)h(x)在(1，)上單調(diào)遞增，故h(x)>h(1)0.從而，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，即函數(shù)g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，故g(x)>g(1).因此，當(dāng)x>1時(shí)，k<xln x恒成立

13、，則k.所求k的取值范圍是(，例2解(1)f(x)，由f(x)>0得x<，由f(x)<0得x>.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.所以f(x)maxfc.(2)由已知|ln x|f(x)得|ln x|c，x(0，)，令g(x)|ln x|，yc.當(dāng)x(1，)時(shí)，ln x>0，則g(x)ln x.所以g(x)>0.所以g(x)在(1，)上單調(diào)遞增當(dāng)x(0,1)時(shí)，ln x<0，則g(x)ln x.所以g(x).因?yàn)閑2x(1，e2)，e2x>1>x>0，所以<1，而2x1<1.所以g(x)<0，即g(x)在(0

14、,1)上單調(diào)遞減由可知，當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)g(1).由數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)c<時(shí)，方程|ln x|f(x)根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)c時(shí)，方程|ln x|f(x)根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)c>時(shí)，方程|ln x|f(x)根的個(gè)數(shù)為2.跟蹤演練2解函數(shù)f(x)無零點(diǎn)方程ln xax，即a在(0，)上無實(shí)數(shù)解令g(x)，則g(x)，由g(x)0，得xe.在區(qū)間(0，e)上，g(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間(e，)上，g(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，故在區(qū)間(0，)上g(x)的極大值為g(e)，注意到當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)(，0)；當(dāng)x1時(shí)，g(1)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)

15、(0，故方程a無實(shí)數(shù)解a>，即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，)例3解(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2rh200rh元，底面的總成本為160r2元所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又根據(jù)題意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而v(r)r2h(300r4r3)因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<5，故函數(shù)v(r)的定義域?yàn)?0,5)(2)因?yàn)関(r)(300r4r3)，故v(r)(30012r2)，令v(r)0，解得r15，r25(因?yàn)閞25不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)r(0,5)時(shí)，v(r)>0，故v(r)在(0,5)上為增

16、函數(shù)；當(dāng)r(5,5)時(shí)，v(r)<0，故v(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，v(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8.即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大跟蹤演練3解析設(shè)剪成的兩塊中是正三角形的那一塊邊長(zhǎng)為x m，則梯形的周長(zhǎng)為x(1x)(1x)13x，梯形的面積為x2，s·(0<x<1)，對(duì)s求導(dǎo)得s·.令s0，得x或x3(舍去)當(dāng)x(0，)時(shí)，s<0，當(dāng)x(，1)時(shí)，s>0.smins().高考押題精練(1)解f(x)xln x，f(x)1，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)1<xe時(shí)，f(x)&

17、gt;0時(shí)，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增f(x)的極小值為f(1)1.(2)證明f(x)的極小值為1，f(x)在(0，e上的最小值為1，即f(x)min1.又g(x)，當(dāng)0<x<e時(shí)，g(x)>0，g(x)在(0，e上單調(diào)遞增g(x)maxg(e)<，f(x)ming(x)max>，在(1)的條件下，f(x)>g(x).(3)解假設(shè)存在正實(shí)數(shù)a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，則f(x)a.當(dāng)0<<e時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，e上單調(diào)遞增，f(x)minf()1ln a3，ae2，滿足條件；當(dāng)e時(shí)，f(x)在(0，e上單調(diào)遞

18、減，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此時(shí)f(x)無最小值綜上，存在實(shí)數(shù)ae2，使得當(dāng)x(0，e時(shí)f(x)有最小值3.二輪專題強(qiáng)化練答案精析第4講導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問題1d函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)3x2a，要使函數(shù)在1，)上是單調(diào)增函數(shù)，則有f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2，又3x23，所以a3，即a的最大值是3，故選d.2d由題圖可知，不等式(x22x3)f(x)>0等價(jià)于或解得x(，1)(3，)或x(1,1)3b條件可轉(zhuǎn)化為a2ln xx恒成立設(shè)f(x)2ln xx，則f(x)(x>0)當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，

19、f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.4c求導(dǎo)得f(x)3x24，令f(x)3x240，得x±.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)和f(x)的變化情況如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值又f(1)3a>0，f(0)a>0，f(1)a3<0，f(2)a>0，由以上信息得f(x)的大致圖象如圖所示，可知0<x2<1.故選c.5bx，ksin xcos xxx，k，令f(x)2xsin 2x.f(x)22cos 2x0，f(x)在為增函數(shù)，f(x)f(0)0.2xsin 2x，1，k1，故選b.6(4

20、,0)解析由題意知使函數(shù)f(x)x33x2a的極大值大于0且極小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值，即f(x)極大值f(0)a；當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極小值，即f(x)極小值f(2)4a，所以解得4<a<0.70<t<1或2<t<3解析f(x)x4，由f(x)0得函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)1,3，則只要這兩個(gè)極值點(diǎn)在區(qū)間(t，t1)內(nèi)，函數(shù)在區(qū)間t，t1上就不單調(diào)，由t

21、<1<t1或t<3<t1，解得0<t<1或2<t<3.8(，6)解析根據(jù)題意知x3x23x<x在x2,2上恒成立，則>x3x2x，設(shè)g(x)x3x2x，則g(x)x22x，則g(x)>0恒成立，所以g(x)在2,2上單調(diào)遞增，所以g(x)maxg(2)3，則c<6.9解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，則g(x)2x.x，e，當(dāng)g(x)0時(shí)，x1.當(dāng)<x<1時(shí)，g(x)

22、>0；當(dāng)1<x<e時(shí)，g(x)<0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g()4e2<0，則g(e)<g()g(x)在，e上的最小值是g(e)g(x)在，e上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是解得1<m2，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,210a由條件知，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最小值，所以有f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，故有f(0)f(2)>2f(1)11，)解析f(x)exxexex(1x)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減所以函數(shù)f(x)的最小值為f(1).而函數(shù)g(x)的最大值為a，則由題意，可得a即a.1215，)解析，表示點(diǎn)(p1，f(p1)與點(diǎn)(q1，f(q1)連線的斜率，因?yàn)閜，q(0,1)，所以1<p1<2,1<q1<2，即函數(shù)圖象在區(qū)間(1,2)內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，即f(x)>1在(1,2)內(nèi)恒成立由定義域可知x>1，所以f(x)2x>