高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：用樣本估計(jì)總體教學(xué)案含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5用樣本估計(jì)總體知識(shí)能否憶起一、作頻率分布直方圖的步驟1求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)2確定組距與組數(shù)3將數(shù)據(jù)分組4列頻率分布表5畫頻率分布直方圖二、頻率分布折線圖和總體密度曲線1頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得頻率分布折線圖2總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線三、樣本的數(shù)字特征數(shù)字特征定義眾數(shù)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右

2、邊的直方圖的面積相等平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即 (x1x2xn)方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中s為標(biāo)準(zhǔn)差四、莖葉圖莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是可以保留原始數(shù)據(jù)，而且可以隨時(shí)記錄，方便記錄與表示小題能否全取1242035630114121.(教材習(xí)題改編)在如圖所示的莖葉圖表示的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是()a23與26b31與26c24與30 d26與30解析：選b觀察莖葉圖可知，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是31，中位數(shù)是26.2(教材習(xí)題改編)把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：10,20)，2；20,30)，3；30,40)，4；40,50)，5；50,60)，4；60,70，2，則在區(qū)

3、間10,50)上的數(shù)據(jù)的頻率是()a0.05b0.25c0.5 d0.7解析：選d由題知，在區(qū)間10,50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是234514，故其頻率為0.7.3(20xx·長春模擬)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖由圖中數(shù)據(jù)可知身高在120,130內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為()a20 b25c30 d35解析：選c由題意知a×100.350.20.10.051，則a0.03，故學(xué)生人數(shù)為0.3×10030.4(教材習(xí)題改編)甲、乙兩人比賽射擊，兩人所得的平均環(huán)數(shù)相同，其中甲所得環(huán)數(shù)的方差為5，乙所得環(huán)數(shù)如下：5、6、9、10、5，

4、那么這兩人中成績較穩(wěn)定的是_解析：7，s4.4，則ss，故乙的成績較穩(wěn)定答案：乙5(20xx·山西大同)將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分為6組，繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組的數(shù)據(jù)的頻率之比為234641，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和為27，則n_.解析：依題意得，前三組的頻率總和為，因此有，即n60.答案：601.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值，而平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2注意區(qū)分直方圖與條形圖，條形圖中的縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖中的縱坐標(biāo)刻度為頻

5、率/組距3方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布典題導(dǎo)入例1(20xx·廣東高考)某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分；(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在50,90)之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段50

6、,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445自主解答(1)由頻率分布直方圖知(2a0.020.030.04)×101，解得a0.005.(2)由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語文成績的平均分為55×0.005×1065×0.04×1075×0.03×1085×0.02×1095×0.005×1073(分)(3)由頻率分布直方圖知語文成績在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為0.005×10×1005,0.04

7、×10×10040,0.03×10×10030,0.02×10×10020.由題中給出的比例關(guān)系知數(shù)學(xué)成績在上述各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為5,40×20,30×40,20×25.故數(shù)學(xué)成績在50,90)之外的人數(shù)為100(5204025)10.在本例條件下估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)解：眾數(shù)應(yīng)為最高矩形的中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)，故約為65.由題悟法解決頻率分布直方圖問題時(shí)要抓住(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距×，即矩形的面積(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率

8、15;總體數(shù)以題試法1(20xx·深圳調(diào)研)某中學(xué)組織了“迎新杯”知識(shí)競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出若干名學(xué)生，并將其成績繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中成績的范圍是50,100，樣本數(shù)據(jù)分組為50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，已知樣本中成績小于70分的個(gè)數(shù)是36，則樣本中成績在60,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為_解析：依題意得，樣本中成績小于70分的頻率是(0.0100.020)×100.3；樣本中成績在60,90)內(nèi)的頻率是(0.0200.0300.025)×100.75，因此樣本中成績在60,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為90.答案：90莖

9、葉圖的應(yīng)用典題導(dǎo)入例2(20xx·陜西高考)從甲、乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取16臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)，對其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲、乙，中位數(shù)分別為m甲、m乙，則()a.甲<乙，m甲>m乙b.甲<乙，m甲<m乙c.甲>乙，m甲>m乙 d.甲>乙，m甲<m乙自主解答甲(41433030382225271010141818568)，乙(42434831323434382022232327101218).甲乙又m甲20，m乙29，m甲m乙答案b由題悟法由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點(diǎn)同頻

10、率分布直方圖類似它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示其缺點(diǎn)是當(dāng)樣本容量較大時(shí)，作圖較繁以題試法2(20xx·淮北模考)如圖所示的莖葉圖記錄了一組數(shù)據(jù)，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，其中說法正確的序號是_.078999101223眾數(shù)是9；平均數(shù)是10；中位數(shù)是9或10；標(biāo)準(zhǔn)差是3.4.解析：由莖葉圖知，該組數(shù)據(jù)為7,8,9,9,9,10,11,12,12,13，眾數(shù)為9，正確；中位數(shù)是9.5，錯(cuò)；平均數(shù)是(789991011121213)10，正確；方差是s2(710)2(810)2(910)2(910)2(910)2(1010)2(

11、1110)2(1210)2(1210)2(1310)23.4，標(biāo)準(zhǔn)差s，錯(cuò)答案：樣本的數(shù)字特征典題導(dǎo)入例3(1)(20xx·江西高考)樣本(x1，x2，xn)的平均數(shù)為，樣本(y1，y2，ym)的平均數(shù)為()若樣本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均數(shù)(1)，其中0<<，則n，m的大小關(guān)系為()an<mbn>mcnm d不能確定(2)(20xx·山東高考)在某次測量中得到的a樣本數(shù)據(jù)如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若b樣本數(shù)據(jù)恰好是a樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都加2后所得數(shù)據(jù)，則a，b兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是()a

12、眾數(shù) b平均數(shù)c中位數(shù) d標(biāo)準(zhǔn)差自主解答(1)，則.由題意知0，nm.(2)對樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)都加上一個(gè)非零常數(shù)時(shí)不改變樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都發(fā)生改變答案(1)a(2)d由題悟法(1)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但無法客觀地反映總體特征(2)中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)居中的數(shù)(3)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)越分散，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)越集中以題試法3(20xx·淄博一檢)一農(nóng)場在同一塊稻田中種植一種水稻，其連續(xù)8年的產(chǎn)量(單位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，則該組數(shù)據(jù)的方差為()a1

13、20 b80c15 d150解析：選d根據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為450，所以該組數(shù)據(jù)的方差為×(0220210210202102202102)150.1(20xx·豫西五校聯(lián)考)某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為8,12,10,11,9，估計(jì)此人每次上班途中平均花費(fèi)的時(shí)間為()a8分鐘b9分鐘c11分鐘 d10分鐘解析：選d依題意，估計(jì)此人每次上班途中平均花費(fèi)的時(shí)間為10分鐘2(20xx·湖北高考)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間

14、10,40)的頻率為()a0.35 b0.45c0.55 d0.65解析：選b求得該頻數(shù)為2349，樣本容量是20，所以頻率為0.45.3某廠10名工人在一個(gè)小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()aabc bbcaccab dcba解析：選d把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均數(shù)a×(10121414151516171717)14.7，中位數(shù)b15，眾數(shù)c17，則abc.4(20xx·濟(jì)寧模擬)為了解一片大約一萬

15、株樹木的生長情況，隨機(jī)測量了其中100株樹木的底部周長(單位：cm)根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如圖所示，那么在這片樹木中，底部周長小于110 cm的株數(shù)大約是()a3 000 b6 000c7 000 d8 000解析：選c底部周長小于110 cm的頻率為：(0.010.020.04)×100.7，所以底部周長小于110 cm的株數(shù)大約是10 000×0.77 000.5(20xx·江西高考)小波一星期的總開支分布如圖1所示，一星期的食品開支如圖2所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為()圖1圖2a30% b10%c3% d不能確定解析：選c由圖

16、1得到小波一星期的總開支，由圖2得到小波一星期的食品開支，從而再借助圖2計(jì)算出雞蛋開支占總開支的百分比由圖2知，小波一星期的食品開支為30401008050300元，由圖1知，小波一星期的總開支為1 000元，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為×100%3%.6(20xx·江西盟校二聯(lián))若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)為，方差為s2，則()a.5，s22 b.5，s22c.5，s22 d.5，s22解析：選a設(shè)(x1x2x8)5，(x1x2x85)5，5，由方差定義及意義可知加新數(shù)據(jù)5后，樣本數(shù)據(jù)取值

17、的穩(wěn)定性比原來強(qiáng)，s22.7(20xx·湖北模擬)下圖為150輛汽車通過某路段時(shí)速度的頻率分布直方圖，則速度在60,70)內(nèi)的汽車大約有_輛解析：由頻率分布直方圖可知，汽車速度在60,70)內(nèi)的頻率為0.04×100.4，故速度在60,70)內(nèi)的汽車為150×0.460輛答案：608(20xx·湖南高考)如圖所示是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這五場比賽中得分的方差為_注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù)解析：該運(yùn)動(dòng)員五場比賽中的得分為8,9,10,13,15，平均得分11，方差s2(

18、811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)26.8.答案：6.89(20xx·北京海淀)甲和乙兩個(gè)城市去年上半年每月的平均氣溫(單位：)用莖葉圖記錄如下，根據(jù)莖葉圖可知，兩城市中平均溫度較高的城市是_，氣溫波動(dòng)較大的城市是_解析：根據(jù)莖葉圖可知，甲城市上半年的平均溫度為16，乙城市上半年的平均溫度為19，故兩城市中平均溫度較高的是乙城市，觀察莖葉圖可知，甲城市的溫度更加集中在峰值附近，故乙城市的溫度波動(dòng)較大答案：乙乙10(20xx·鄭州模擬)某中學(xué)共有1 000名學(xué)生參加了該地區(qū)高三第一次質(zhì)量檢測的數(shù)學(xué)考試，數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤硭荆簲?shù)學(xué)成績分組0,30)30

19、,60)60,90)90,120)120,150人數(shù)6090300x160(1)為了了解同學(xué)們前段復(fù)習(xí)的得失，以便制定下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃，學(xué)校將采用分層抽樣的方法抽取100名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，甲同學(xué)在本次測試中數(shù)學(xué)成績?yōu)?5分，求他被抽中的概率；(2)已知本次數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀線為110分，試根據(jù)所提供數(shù)據(jù)估計(jì)該中學(xué)達(dá)到優(yōu)秀線的人數(shù)；(3)作出頻率分布直方圖，并估計(jì)該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)解：(1)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為，故甲同學(xué)被抽到的概率p.(2)由題意得x1 000(6090300160)390.故估計(jì)該中學(xué)達(dá)到優(yōu)秀線的人數(shù)m16039

20、0×290.(3)頻率分布直方圖如圖所示該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分90.估計(jì)該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分為90分11 (20xx·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級，等級系數(shù)x依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對其等級系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：x12345頻率a0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為x1，x2，x3，等級系數(shù)為5的2件日用品記為y1，y2，現(xiàn)從x1，x2，x3，y1，y2這5

21、件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結(jié)果，并求這2件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率解：(1)由頻率分布表得a0.20.45bc1，即abc0.35.因?yàn)槌槿〉?0件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以b0.15.等級系數(shù)為5的恰有2件，所以c0.1.從而a0.35bc0.1.所以a0.1，b0.15，c0.1.(2)從日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，所有可能的結(jié)果為：x1，x2，x1，x3，x1，y1，x1，y2，x2，x3，x2，y1，x2，y2，x3，y1，x3，y2，y1，y2，共10個(gè)設(shè)事件a表示“從日用品x1，x2，x3，y1，y2中

22、任取2件，其等級系數(shù)相等”，則a包含的基本事件為：x1，x2，x1，x3，x2，x3，y1，y2，共4個(gè)故所求的概率p(a)0.4.12(20xx·北京高考)近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1 000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；(3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余

23、垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a>0，abc600.當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時(shí)，寫出a，b，c的值(結(jié)論不要求證明)，并求此時(shí)s2的值注：s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)解：(1)廚余垃圾投放正確的概率約為.(2)設(shè)“生活垃圾投放錯(cuò)誤”為事件a，則事件表示“生活垃圾投放正確”事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即p()約為0.7，所以p(a)約為10.70.3.(3)當(dāng)a600，bc0時(shí)，s2取得最大值因?yàn)?abc)200

24、，所以s2×(600200)2(0200)2(0200)280 000.1(20xx·西寧模擬)已知一組數(shù)據(jù)：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，且這組數(shù)據(jù)的方差等于1，則公差d等于()a±b±c± d無法求解解析：選b這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a4，又因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的方差等于1，所以(a1a4)2(a2a4)2(a3a4)2(a4a4)2(a5a4)2(a6a4)2(a7a4)21，即4d21，解得d±.2(20xx·安徽高考)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()a甲

25、的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)b甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)c甲的成績的方差小于乙的成績的方差d甲的成績的極差小于乙的成績的極差解析：選c由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6，a錯(cuò)；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5，b錯(cuò)；甲、乙的成績的方差分別為×(46)2(56)2(66)2(76)2(86)22，×(56)2(56)2(56)2(66)2(96)2，c對；甲、乙的成績的極差均為4，d錯(cuò)3(20xx·山西山大附中月考)如圖是某市有關(guān)部門根據(jù)該市干部的月收入情況，畫出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數(shù)為4 000，請根據(jù)該圖提供的信息解答下列問題(1)求樣本中月收入在2 500,3 500)的人數(shù)；(2)為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須從樣本中按月收入用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在1 500,2 000)的這組中應(yīng)抽多少人？(3)試估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)解：(1)由題知