高三數(shù)學(xué)理33個黃金考點總動員 考點15 平面向量的運算線性運算和坐標(biāo)運算解析版 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5高三數(shù)學(xué)33個黃金考點總動員【考點剖析】1.最新考試說明：（1）掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義（2）掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義（3）了解平面向量基本定理及其意義，會用平面向量基本定理解決簡單問題（4）掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示（5）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算（6）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件. 2.命題方向預(yù)測：（1）平面向量的線性運算是考查重點共線向量定理的理解和應(yīng)用是重點，也是難點題型以選擇題、填空題為主，常與解析幾何相聯(lián)系.（2）平面向量基本定理的應(yīng)用及坐標(biāo)表示下向量共線條件的應(yīng)用是重點

2、向量的坐標(biāo)運算可能單獨命題，更多的是與其他知識點交匯，其中以與三角和解析幾何知識結(jié)合為常見常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度為中、低檔.3.課本結(jié)論總結(jié)：（1）向量的有關(guān)概念向量：既有大小又有方向的量，兩個向量不能比較大小.零向量：模為0的向量，記作，其方向為任意的，所以與任意向量平行，其性質(zhì)有：=0，+=.單位向量：模為1個長度單位的向量，與方向相同的單位向量為.相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作=.相反向量：長度相等且方向相反的兩個向量，的相反向量為-，有-(- )= .(2)向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：abba. (2)結(jié)合

3、律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab(3) 平面向量基本定理若、是平面內(nèi)不共線的向量，向量是平面內(nèi)任意一個向量，則存在唯一實數(shù)對，使.(4) 共線向量共線向量概念：若兩個非零向量、的方向相同或相反，則稱與共線，也叫與平行，規(guī)定零向量與任意向量共線.兩個向量共線其所在的直線可能重合也可能平行. 共線向量定理：（）存在唯一實數(shù)，使得=. 若=（，），=（，），則

4、-=0.(5) 平面向量的基本運算若=（，），=（，），則±=（±，±），=（，），若a（，），b（，），則=（-，-）.4.名師二級結(jié)論：（1）若a、b、c三點共線且，則=1.（2）若向量不共線，則（3）c是線段ab中點的充要條件是.(4)若，則線段ab的中點坐標(biāo)為（）.(4)g是abc的重心的充要條件為.(5)若abc的三個頂點坐標(biāo)分別為，則abc重心坐標(biāo)為(6)已知，且，則點c的坐標(biāo)為.5.課本經(jīng)典習(xí)題：(1)新課標(biāo)a版第92頁，習(xí)題a組第12 題在abc中，debc，且與邊ac相交于點e，abc的中線am與de相交于點n，設(shè)，=，用，分別表示向量.【經(jīng)典理

5、由】本題考查了平面向量的加法、減法、實數(shù)與向量積等線性運算，具有代表性. (2) 新課標(biāo)a版第101頁，練習(xí)第7 題已知a（2,3），b（4，-3），點p在線段ab的延長線上，且,求點p的坐標(biāo).【經(jīng)典理由】本題考查了平面向量實數(shù)與向量積的坐標(biāo)運算及數(shù)形結(jié)合思想，是經(jīng)典題型.6.考點交匯展示：(1)三角函數(shù)交匯【北京重點中學(xué)8月測試10】設(shè)，若，則 .【答案】. (2)與平面幾何交匯【20xx高考北京，理13】在中，點，滿足，若，則；【答案】【考點定位】本題考點為平面向量有關(guān)知識與計算，利用向量相等解題.【名師點睛】本題考查平面向量的有關(guān)知識及及向量運算，利用向量相等條件求值，本題屬于基礎(chǔ)題.利

6、用坐標(biāo)運算要建立適當(dāng)?shù)闹g坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，利用向量相等，列方程組，解出未知數(shù)的值.【考點分類】熱點1 平面向量的線性運算1. 【20xx高考新課標(biāo)1，理7】設(shè)為所在平面內(nèi)一點，則（ ）（a） (b) （c） (d) 【答案】a【解析】由題知=，故選a.【考點定位】平面向量的線性運算【名師點睛】本題以三角形為載體考查了平面向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的法則與運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形會利用向量加法將向量表示為，再用已知條件和向量減法將用表示出來.2. 【20xx江蘇高考，6】已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 則的值為_.【答案】【解析】由

7、題意得：【考點定位】向量相等【名師點晴】明確兩向量相等的充要條件，它們的對應(yīng)坐標(biāo)相等.其實質(zhì)為平面向量基本定理應(yīng)用. 向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示：若，則.向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示：若，則.3. 【20xx浙江，理8】記，設(shè)為平面向量，則（ ）a. b. c. d. 【答案】4. 【20xx上海，理14】已知曲線c：，直線l：x=6.若對于點a（m，0）,存在c上的點p和l上的點q使得，則m的取值范圍為 .【答案】【解析】由知是的中點，設(shè)，則，由題意，解得【方法規(guī)律】1. 判定兩向量的關(guān)系式時，特別注意以下兩種情況：（1） 零向量的方向及與其他向量的關(guān)系.（2） 單位向量的長度與方向.2.

8、 對任意向量可以自由移動，且任意一組平行向量都可平移到一條直線上.3. 向量不能比較大小，但它的模可以比較大小4. 在進行向量的線性運算要能的轉(zhuǎn)化到三角形法、多邊形或平行四邊形中，運用三角形法則構(gòu)成“首尾相連”回路，或平行四邊形法則，利用三角形中的中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何知識，結(jié)合實數(shù)與向量的積，逐步將未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的斜率求解.5. 當(dāng)是線段ab的中點時，則=是中點公式的向量形式，應(yīng)當(dāng)做公式記憶.6. 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)或易建立坐標(biāo)系時，常用向量的坐標(biāo)運算解向量的線性運算問題.【解題技巧】1.進行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，充分利用

9、相等向量、相反向量、三角形的中位線定理、相似多邊形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來2.向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中同樣適用運用上述法則可簡化運算3. 用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理.4. 解決向量的坐標(biāo)運算問題，關(guān)鍵是掌握線性運算法則及坐標(biāo)運算的特點一般地，已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)解題時注意利用向量相

10、等(橫、縱坐標(biāo)分別相等)建立方程(組)的思想【易錯點睛】1解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性2在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯誤.3. 要區(qū)分點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況例1 已知平行四邊形三個頂點的坐標(biāo)分別為(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四個頂點的坐標(biāo)【錯解】設(shè)a(1,0)，b(3,0)，c(1，5)，d(x，y)2分因為四邊形abcd為平行四邊形，則，而(x1，y)，(2，

11、5)由，得d(3，5)，故第四個頂點坐標(biāo)為（-3，-5）【錯因分析】此題極易出現(xiàn)思維定勢，認(rèn)為平行四邊形只有一種情形，在解題思路中出現(xiàn)漏解實際上，題目條件中只給出平行四邊形的三個頂點，并沒有規(guī)定順序，可能有三種情形【預(yù)防措施】認(rèn)真閱讀試題，分析滿足條件的各種情況，若滿足條件的情況有多種，需要分類討論，分類討論時，要做到不重不漏.【正解】如圖所示，設(shè)a(1,0)，b(3,0)，c(1，5)，d(x，y)2分若四邊形abcd1為平行四邊形，則，而(x1，y)，(2，5)由，得d1(3，5)若四邊形acd2b為平行四邊形，則2.而(4,0)，(x1，y5)d2(5，5)若四邊形acbd3為平行四邊形

12、，則.而(x1，y)，(2,5)，d3(1,5)綜上所述，平行四邊形第四個頂點的坐標(biāo)為(3，5)或(5，5)或(1,5)熱點2 共線向量問題1. 【20xx陜西，理13】設(shè)，向量，若，則_.【答案】2.已知點a（1,3），b（4，-1），則與向量同方向的單位向量為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】 ，故選a【方法規(guī)律】1. 向量共線的充要條件中，要注意當(dāng)兩個向量共線時，通常只有非零向量才可以表示與之共線的其它向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的應(yīng)用.2. 對三點共線問題，可以用向量共線來解決，但要注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩個向量共線且有公共點時，才能得出三點共線

13、.3. 若a、b、c三點共線且，則=1.【解題技巧】1.一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為a(r)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量2.如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便【易錯點睛】若()，(，)，則的充要條件不能表示成，因為，有可能等于0，所以應(yīng)表示為.例 已知,，且，求實數(shù)的值.【錯解】因為,，且，所以，解得=-3.【錯因分析】已知()，(，)，錯誤將當(dāng)做的充要條件，因為，有可能等于0.【預(yù)防措施】正確記憶和運用的充要條件，已知()，(

14、，)，則的充要條件是0.【正解】因為,，且，解得=-3或=0.【熱點預(yù)測】1.【廣東揭陽一中、潮州金山中學(xué)聯(lián)考】已知平面向量，且，則（ ）a b c d【答案】d【解析】由已知，所以，故選.2.設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中不同的四點，若且，則稱是關(guān)于的“好點對”已知是關(guān)于的“好點對”, 則下面說法正確的是（ ）a可能是線段的中點 b 可能同時在線段延長線上c 可能同時在線段上 d不可能同時在線段的延長線上【答案】d3. 【陜西榆林市二模】已知向量與不共線，且，若三點共線，則實數(shù)滿足的條件是（ ）. . . . 【答案】c【解析】若三點共線，則，即，所以，則.4. 已知、，、是共起點的向量，、不共線，則

15、、的終點共線的充分必要條件是（ ）a b c d【答案】a【解析】設(shè),即時，在同一直線上.由直線的向量式參數(shù)方程知，、的終點共線的充分必要條件是，選.5. 【北京海淀區(qū)二?！恳阎蛄浚驮谡叫尉W(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則（ ）a.2 b. c.3 d.【答案】a6.【20xx福建,理8】在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（ ）a. b . c. d. 【答案】b【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共線的向量都可與作為基底.只有成立.7. 【廣東深圳五校聯(lián)考】已知，則 “2”是“”的（ ）a充要條件 b充分而不必要條件c必要而不充分條件 d既不充分也不必要條件【答案】b【解析】由已知，故

16、知“2”是“”的充分而不必要條件，故選8. 【20xx北京，理10】已知向量、滿足，且（），則 .【答案】【解析】由知，于是，因為，所以，又因為，所以.9.【江蘇揚州中學(xué)8月考12】已知是邊長為4的正三角形，d、p是內(nèi)部兩點，且滿足，則的面積為 【答案】.10.已知向量，且滿足，則實數(shù)_【答案】【解析】由，得，因為，所以，解得11.在中，點d在線段bc的延長線上，且，點o在線段cd上（與點c,d不重合）若則x的取值范圍是_. 【答案】【解析】依題意，存在實數(shù) ，使得 ，則有 = ，所以，故實數(shù)的取值范圍是.12. 【河北衡水中學(xué)一?！吭谥校沁呏悬c，角，的對邊分別是，若，則的形狀為 【答案】等邊三角形13.【福建高考壓軸】設(shè)是已知的平面向量，向量，,在同一平面內(nèi)且兩兩