高三數(shù)學(xué)解析幾何部分復(fù)習(xí)：橢圓人教實(shí)驗(yàn)版

1、高三數(shù)學(xué)解析幾何部分復(fù)習(xí)：橢圓人教實(shí)驗(yàn)版【本講教育信息 】一 . 教學(xué)內(nèi)容：解析幾何部分復(fù)習(xí)：橢圓二 . 教學(xué)目的1、掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及橢圓的主要基本量。2、掌握橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用。三 . 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用；橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用。難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)及其應(yīng)用及解決橢圓問題時(shí)所涉及的思想方法。四 . 知識(shí)分析【知識(shí)梳理】1、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1， F2 的距離之和等于常數(shù)（大于 |F1 F2 |）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)x2y21 (a b 0)y2x21 (

2、a b 0)標(biāo)準(zhǔn)方程a2b2a2b2圖形范axa， bybbx b， aya圍對 稱對稱軸： x 軸， y 軸對稱中心：坐標(biāo)原點(diǎn)性性A1（ a， 0）， A 2（a， 0），A 1（ 0， a），A 2（ 0，a），頂 點(diǎn)B1（ 0， b）， B 2（ 0， b）B1（ b， 0），B2（ b， 0）質(zhì)軸長軸 A1A 2的長為2a，短軸 B 1B2 的長為 2b焦 距|F1 F2| 2c （ ca2b2 ）離 心ec(0,1), 其中 ca2b2率aa2a2x準(zhǔn)線方cyc程【要點(diǎn)解析】1、求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法（先定性，后定形，再定參）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式

3、， 所謂“標(biāo)準(zhǔn)”，就是橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上 焦點(diǎn) F1， F2 的位置決定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，是橢圓的定位條件；參數(shù)a， b 決定橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件。對于方程x2y21（ m 0, n 0）若 m n 0，則橢圓的m2n2焦點(diǎn)在 x 軸上；若 0 m n，則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)位置不明確時(shí)， 要注意分類討論。2、注意橢圓幾何性質(zhì)的挖掘（ 1）橢圓中有“四線” （兩條對稱軸、兩條準(zhǔn)線） ，“六點(diǎn)”（兩個(gè)焦點(diǎn)、四個(gè)頂點(diǎn)） ，注意它們之間的位置關(guān)系 （如準(zhǔn)線垂直于長軸所在的直線、 焦點(diǎn)在長軸上等） 及相互間的距離（如焦點(diǎn)到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離為ac ，到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為a2

4、cb2等）。（ 2 ） 設(shè) 橢 圓 方 程 x2y2cc1 (a b 0) 上 任 意 一 點(diǎn) 為 P( x, y) ， 則a2b2|O P|222b222c2 x2a2 b2axa ，所以 x0 時(shí)，xyx 2 (a)x，因?yàn)閍a| OP |有最小值 b，這時(shí)， P 在短軸端點(diǎn)處；當(dāng) xa 時(shí)， | OP | 有最大值 a，這時(shí) P 在長軸端點(diǎn) A1或 A2處。（ 3）橢圓上任意一點(diǎn)P( x, y)( y0)與兩焦點(diǎn) F1 ( c,0), F2 (c,0) 構(gòu)成的三角形 PF1F2稱之為焦點(diǎn)三角形，周長為2( ac) 。（ 4）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的邊長有a2b

5、2c2 。3、求動(dòng)點(diǎn) M ( x, y) 的軌跡方程時(shí)，不直接建立x, y 間的關(guān)系，而是先尋求x, y 與中間變量 x0 , y0間的關(guān)系。利用已知關(guān)于x0 , y0 間的關(guān)系方程得到x, y 之間的關(guān)系方程，也稱為代入法（或相關(guān)點(diǎn)法）求軌跡方程。要注意平面向量與橢圓結(jié)合的題目，能夠根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決有關(guān)問題?！镜湫屠} 】例 1. 一動(dòng)圓與已知圓 O1 ： x32y 21外切，與圓 O2 ： x 3 2y81 內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。解析： 兩定圓的圓心和半徑分別為O1 （3 ， 0）， r1 1 ； O 2 （ 3， 0）， r 29 ，設(shè)動(dòng)圓圓心為 M （ x， y），半

6、徑為 R，則由題設(shè)條件可得 | MO 1 | 1R，|MO2|9R 。|MO1| |MO2 | 10。由橢圓的定義知：M在以O(shè)、O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且 a5 ， c 3 。1 b2a 2c225 9 16，故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為x 2y 21。2516點(diǎn)評： 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 、 F2 的距離之和等于常數(shù)2a ，當(dāng)2a|F1F2 | 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓； 當(dāng) 2a | F1F2 | 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段 F1F2 ；當(dāng) 2a | F1F2| 時(shí)，軌跡不存在。例 2. 求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（ 1）長軸是短軸的 3 倍且經(jīng)過點(diǎn) A （3， 0）；（ 2）短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦

7、點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為3 ；（ 3）經(jīng)過點(diǎn) P（23，1），Q（3 ，2）兩點(diǎn)；（ 4）與橢圓 x2y 21 有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn) (2,3 ) 。34解析：（ 1）若橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上，設(shè)方程為x 2y2a21 a b 0b2橢圓過點(diǎn) A（ 3，0）， 91， a=3，a2 2a 32b ， b1 ，方程為x 2y21。9y 2若橢圓的焦點(diǎn)在y 軸上，設(shè)橢圓方程為x 21 ab 0 ，a2b 2橢圓過點(diǎn) A（ 3，0）， 0291 ，a2b2 b 3， 2a3 2b ， a9 ，方程為 y2x 21。819綜上所述，橢圓方程為x 2y 21或y 2x 29811。9a

8、2ca2 39 ，（ 2）由已知c，c3。從而 b2a3所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y 21或 x 2y 21 。129912（ 3）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx 2ny 21 m0, n0，點(diǎn) P（2 3 ，1）， Q（3 ，2 ）在橢圓上，代入上述方程得12mn1 ，3m4n1m115 ， x 2y 2解得1 。n11555（ 4）由題意，設(shè)所求橢圓的方程為x 2y 2t t0，43因?yàn)闄E圓過點(diǎn)（2，3 ），22232 ，所以 t43故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y 21。86點(diǎn)評：在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，會(huì)遇到焦點(diǎn)位置不確定而有兩種結(jié)果的情況，這時(shí)應(yīng)注意分類討論 仔細(xì)體會(huì) （ 1）、（ 2）兩小題中的

9、答案可見， （ 1）中兩個(gè)橢圓不僅焦點(diǎn)位置不同，而且橢圓大小形狀也不一樣， 而（ 2）中兩個(gè)橢圓只是焦點(diǎn)位置不同， 大小形狀一樣， 像（ 2）小題中的情形，可先求出焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后把 x， y 交換即可得焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓方程，但（1）小題是不可以的，要注意區(qū)別由于分類討論較復(fù)雜，因此在處理橢圓焦點(diǎn)位置不確定的情況時(shí)，有時(shí)可直接設(shè)橢圓方程為Ax2By2 1 或由已知條件設(shè)橢圓系方程（x2y2(0) ）來求解，如（ 3）、（4）兩小題，這樣可避免討論和a2b2復(fù)雜的計(jì)算。例 3. 已知橢圓 x 2m3 y 2m m0 的離心率 e3 ，求 m 的值及橢圓的長軸和短2軸的長

10、、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)。解析： 橢圓方程可化為x 2y 21 。mmm 3 mmm m20， mm。m 3m3m3即 a 2m ， b 2m， ca2b 2m m 2 。m3m3由 e3 ，得m23 ， m 1。2m32橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y 21。14 a1， b13， c。22橢圓的長軸長為2，短軸長為 1；兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F13, 0 ，F(xiàn)23,0 ；四22個(gè)頂點(diǎn)分別為 A 11,0 ，A21,0 ，B10,1 ， B20, 1。22點(diǎn)評：（ 1）要掌握橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率。2（ 2）離心率 ec1bb1e2 。aaa（ 3）通過解關(guān)于a， c 的齊次方程也可求離心

11、率。例 4. 如圖 1。某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22 米，要求通行車輛限高4.5 米，隧道全長 2.5 千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀。（ 1）若最大拱高（ 2）若最大拱高h(yuǎn) 為 6 米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l 是多少？h 不小于 6 米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn) 和拱寬l ，才能使這半個(gè)橢圓隧道的土方工程量最??？（半個(gè)橢圓的面積公式為Slh ，柱體體積為：底面積高，本題結(jié)4果均精確到0.1 米）解析：（ 1）如圖 2 建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（ 11， 4.5 ），橢圓方程為x 2y 21，a2b 2將 bh6 代入橢圓方程，得 a447 ，此時(shí) l2a88 733.3 ，77因此隧道的

12、拱寬約為33.3米。（ 2）將點(diǎn) P（11， 4.5 ）代入橢圓方程x 2y 21，a2b 2得 1124.521，a 2b2因?yàn)?1124.5 22114.5，a 2b2ab即 ab 99 ，且 l2a， hb ，所以 Slhab99，224當(dāng) S 取最小值時(shí)，有1124.521，a 2b22得 a 11 2 ， b92，2此時(shí) l2a22231.1， hb6.4 ，故當(dāng)拱高約為6.4米，拱寬約為31.1米時(shí)，土方工程量最小。點(diǎn)評： 解答應(yīng)用題可分四個(gè)步驟：（ 1）閱讀理解材料： 讀懂材料中量與量的關(guān)系，模型是什么？ （是方程還是不等式等）。（ 2）建立變量關(guān)系：利用量與量的關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)

13、系式（建模）。（ 3）討論變量性質(zhì)：利用代數(shù)知識(shí)對所建立的變化關(guān)系化簡、推導(dǎo)并討論變化具有的性質(zhì)（單調(diào)性、最大值或最小值等） 。（ 4）做出問題結(jié)論：最后的結(jié)論不可少，注意實(shí)際問題中變量的含義?！?模擬試題 】1.在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為2 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為（）A. 2B.2C.1222D.42.x 2y26 與曲線x 2y29 的（）曲線61 m5 n91 5 n10 mmnA. 焦距相等B. 離心率相等C. 焦點(diǎn)相同D. 準(zhǔn)線相同3.已知橢圓x 2y21 ab0 ，過橢圓的右焦點(diǎn)作x 軸的垂線交橢圓于A、B 兩點(diǎn)，a2b2若OAOB=0，則橢圓

14、的離心率 e 等于（）15B.131D.3A.2C.2224.如圖，直線 l : x2y 20 過橢圓的左焦點(diǎn) F1 和一個(gè)頂點(diǎn)B，該橢圓的離心率為 （）1B.2C.525A.55D.555.橢圓 x 2y 21 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1 、 F2 ，過 F1 作垂直于 x 軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交4點(diǎn)為 P，則 |PF2| =（）3B.3C.7D. 4A.226.若橢圓x 2y 21 a b0 的左、右焦點(diǎn)分別為F1 、F2 ，線段 F1F2 被拋物線 y 22bxa2b 2的焦點(diǎn)分成 5： 3 的兩段，則此橢圓的離心率為（）16B.417C.425A.175D.5177. 如圖， F1 ， F

15、2 分別為橢圓x 2y 21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在橢圓上， PO F2 是面積a 2b 2為3 的正三角形，則b2 的值是 _ 。8.x 2y 21 的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21 個(gè)不同的點(diǎn) p i i 1, 2, 3,，設(shè) F是橢圓67使 |FP1 | ， | FP2 |， |FP3| ，組成公差為 d 的等差數(shù)列，則 d 的取值范圍為 _。9.F1 、 F2 是橢圓C ：x 2y 2上滿足 PF1 PF2 的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)為81 的焦點(diǎn)，在 C4_ 。10.x2y2的長軸 AB 分成 8 等份，過每個(gè)分點(diǎn)作 x 軸的垂線交橢圓的如圖，把橢圓125 16上半部分于P1、P2、P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)

16、是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則| P1 F | P2 F| P7 F |=_ 。x 2y2F 是橢圓的右焦點(diǎn)。點(diǎn)P 在11. 點(diǎn) A 、 B 分別是橢圓1 長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)3620橢圓上，且位于x 軸的上方， PA PF。（ 1）求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。（ 2）設(shè) M 為橢圓長軸 AB 上的一點(diǎn)， M 到直線 AP 的距離等于 | MB | ，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn) M 的距離 d 的最小值。12.已知橢圓C： x 2y 21 ab 0的左、右焦點(diǎn)分別是F、F ，離心率為。直線l：a 2b 212ey exa 與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn)A 、B，M 是直線 l 與橢圓 C 的一個(gè)公共點(diǎn)， P 是點(diǎn) F1 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn)。設(shè)AMAB。（ 1）證明：1e2 ；（ 2）確定的值，使得 PF1 F2 是等腰三角形。x 2y 21 a b0 的右焦點(diǎn)為 F（ c ，0），過點(diǎn) F 的一動(dòng)直線 m 繞13.如圖，橢圓 Q；2b2a點(diǎn) F 轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A 、 B 兩點(diǎn)， P 為線段 AB 的中點(diǎn)。（ 1）求點(diǎn)P 的軌跡H 的方程；（