小升初分班考試資料第5講-數(shù)論-教師版

1、第五講：數(shù)論真題?？?. 從123456789101112, 9899100中任意劃去100個(gè)數(shù)字.其他數(shù)字順序不變.剩下的數(shù)字組成的數(shù)，最大的是多少？最小的是多少？【分析】 為了保證剩下的數(shù)最大，最高位數(shù)字要盡可能地大，先從12345678910中劃去10個(gè)數(shù)字剩下9 ;再從111213二4950中劃去76個(gè)教字剩下4個(gè)9 ;再從5152二00中劃去14個(gè)數(shù)字剩下盡可能大的 數(shù) 785960，所以最大的數(shù)是 999997859606162 二99100 .為了保證剩下的數(shù)最小，最高位數(shù)字要盡可能地小.從12345678910中劃去9個(gè)數(shù)字剩下10 :再從111213二4950中劃去76個(gè)數(shù)字

2、，剩下4個(gè)0 ,最后從5152二5960中劃去15個(gè)數(shù)字，剩下盡可 能小的數(shù)12340 ,所以最小的數(shù)是 1000001234061699100 .解答：最大的是 999997859606162 二99100 .最小的是 100000123406162 二99100 .2. 有一個(gè)正整數(shù)的平方，它的最后三位數(shù)字相同但不為0，試求滿足上述條件的最小的正整數(shù).【分析】 平方數(shù)的末尾只能是 0、1、4、5、6、9，因?yàn)?11、444555666、999都不是完全平方數(shù)，所以所求的數(shù)最 小是4位數(shù).考察1111、1444翌可以知道1444 =38:38，所以滿足條件的最小正整數(shù)是1444 .解答：滿足

3、條件的最小正整教是1444 .3. 一次數(shù)學(xué)考試滿分是100分，6位同學(xué)在這次考試中的平均分是91分，這6位同學(xué)的得分各不相同，其中有一位同學(xué)僅得了65分，那么得分排在第三名的同學(xué)至少得多少分？【分析】6 (100 -91)=5491 -65 =2654 -26 =28第一 100 第二 9928 -1 =2727 =13 14所以100 -13 =87第三至少得874. 有四個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是1111,則它們的最大公約數(shù)最大是().【分析】1111 =11 101 ,11 =12 3 5.四個(gè)數(shù)分別 101 1 =101,101 2 =202,101 3 =303,101 5 =50

4、5最大公約數(shù)為101.5. 有一種商品，買 2個(gè)要1角錢，買5個(gè)要2角錢，買11個(gè)要4角錢，小明和小紅都有整數(shù)角錢，小明的錢最多能買這種商品51個(gè)，要是他們的錢合在一起，則最多能買115個(gè)這種商品，那么小紅的錢最多能買這種商品()個(gè).【分析】51 "11 =4 77"5=1 22"2=1小明的錢數(shù)：4 4，2 11 1 =19 (角)115亠11 =1055“5 =1兩人一共有錢：4 10 2 1 =42 (角)小紅有錢：42 -19 =23 (角)23亠4 =5 33"2 =T 1小紅最多能買：5 11 5 626. 有兩個(gè)兩位數(shù)，它們的差是14，將它

5、們分別平方，得到的兩個(gè)平方數(shù)的末兩位數(shù)(個(gè)位數(shù)和十位數(shù))相同，那么這兩個(gè)兩位數(shù)是()(請(qǐng)寫出所有可能的答案).【分析】個(gè)位只能3和7 或 8和4(13,27)、(23,37)、(33,47)、(43,57)、(53,67)、(63,77)、(73,87)、(83,97)中只有(43,57)符合(18.32) 、28,42)、38,52) >(48,62)、(58,72)、68,82) >(78,92)中 只有(18.32) 和(68,82)符合所以一共有(43,57)、18,32)、68,82)三組答案.7. 令a =0.1234567891011998999，其中的數(shù)字是由依次寫

6、下正整數(shù)1至999得到的，則小數(shù)點(diǎn)右邊第2008位數(shù)字是()【分析】9 90 2 =1892008 =189 =18191819 “3=608二1 第608個(gè)三位數(shù)是 707 707708 即707的下一位是 78. 連續(xù)7個(gè)偶數(shù)的和是196 這7個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)偶數(shù)是多少？【分析】24 6 8 10 12 =42(196 _42) “7 =22這七個(gè)數(shù)分別是 22,24,26,28,30,32,34最大是349. 一個(gè)三位數(shù)除以43，商是a,余數(shù)是b (a、b都是正數(shù))求a+b的最大值.【分析】999 “ 43 =2310 那么一個(gè)三位數(shù) 亠43二2242為余數(shù)最大.這個(gè)數(shù)=43 22 -

7、42 =988最大值=22 - 42 =64 10. (1 )把17分成兩個(gè)自然數(shù)的和，使它們的乘積最大，應(yīng)該怎樣分？(2 )把17分成若干個(gè)自然數(shù)的和，要是這幾個(gè)數(shù)的乘積最大，應(yīng)該怎樣分？【分析】(1)8和9(2)3,3,3,3,3,2考點(diǎn)拓展【例1】 如果一個(gè)正整數(shù)的十進(jìn)制表示中，任何兩個(gè)相鄰數(shù)字的奇偶性不同，則稱這個(gè)正整數(shù)為“交替數(shù)”，若正整數(shù)n至少有一個(gè)倍數(shù)為“交替數(shù)”，則把n稱為“好數(shù)”.(1) 80是“好數(shù)”嗎？說明理由. 證明：2008是“好數(shù)”.(3)證明：所有與10互質(zhì)的正整數(shù)都是“好數(shù)”.【分析】(1) 80的任何倍數(shù)的十位和個(gè)位都是偶數(shù).(2) 2008 2 =4016，

8、前兩位都是偶數(shù)，用 251000 “改造”千位，4016 *251000 =255016 .萬位和千位都是奇數(shù)，“改造”十萬位和萬位，2510000255016 =2765016，滿足條件.(3) 首先證明任意一個(gè)與 10互質(zhì)的數(shù)都有倍數(shù)可以寫成“99, 99 ”的形式，證：設(shè)這個(gè)與“ 10”互質(zhì)的數(shù)是 A,取A個(gè)不同的自然數(shù)n,求10n被A除所得的余數(shù)，根據(jù) 抽屜原理，必有兩個(gè)余數(shù)相等，將余數(shù)相等的兩個(gè)被除數(shù)相減，則可得到“ 999000 ”,這個(gè)數(shù)能被 A整除，由于A與10互質(zhì)，所以去掉末尾的0后，剩下的999仍是A的倍數(shù)， 設(shè)這個(gè)數(shù)由m個(gè)9構(gòu)成，即寫成999，將這個(gè)數(shù)重復(fù)寫兩遍得到m 2

9、9999 99，它也是 A的倍數(shù)，將它除以11,再乘以1000100 0100 0100 0100012m2mVJ0 2mJ3 2m 202mJ0 2m J 2010 J00 - 0(能被11整除)，得到90909090909，這個(gè)數(shù)仍然是 A的倍數(shù)，并且是“交替數(shù)”，所以22m-1 J0A是“好數(shù)”n除以37的所有可能【例2】n為4位整數(shù)，且組成它的各位數(shù)碼是從左到右呈降序排列連續(xù)數(shù)字則的余數(shù)之和為 【分析】n 可能為 9876;8765;7654;6543;5432;4321 ;3210它們的余數(shù)分別是 34;33;32;31;30;29;2834 九28余數(shù)之和7 =2172【例3】 在

10、一次馬拉松長(zhǎng)跑比賽中，有100位選手參加.大會(huì)準(zhǔn)備了100塊標(biāo)有整數(shù)1到100的號(hào)碼布，分發(fā)給每位選手.選手們被要求在比賽結(jié)束時(shí)，將自己號(hào)碼布上的數(shù)字與到達(dá)終點(diǎn)時(shí)的名次數(shù)相力口，并將這個(gè)和數(shù)交上去問這交上來的100個(gè)數(shù)字的末2位數(shù)字是否可能都不相同巧青回答可能或不可能，并清楚地說明理由注：沒有同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的選手.【分析】（解一）不可能，因?yàn)閺? _100選出1個(gè)加上從1 _-100選出1個(gè)，結(jié)果可能是2 _-200 ,共有199種情況，一旦確定一個(gè)數(shù)，如11,那么2和102就不能再出現(xiàn)，即確定一個(gè)數(shù)就減少兩種情況，那么確定100個(gè)數(shù)就需要200種情況，本題只有199種情況，所以不可能.（解二）

11、不可能，末 2位數(shù)字都不相同說明 00 _-99各有一個(gè)而00 01 0-99 =4950 , 末2位數(shù)字為50 .所有選手身上和號(hào)碼布上的號(hào)碼總和應(yīng)該為：（12亠亠100） 2=10100,末2位數(shù)字為00.【例4】 已知n是正整數(shù)，規(guī)定 n! =1 2 n，令m=1!2! 2 3! 3 =2007! 2007，則整數(shù) m除以2008的余數(shù)為（）【分析】（解一）（1! 12! 2） “3 余數(shù)是2（1! 1 2! 2 3! 3）-：-4 余數(shù)是 3（1! 12! 23! 3 - 4! 4） “ 5 余數(shù)是 4（1! 1 2! 2 3! 3 4! 4 5! 5p> 6余數(shù)是 5(1! 1

12、2! 2 3! 3 - 4! 4 5! 5 川質(zhì)2007! 2007) 2008 余數(shù)是 2007(解二)1! 12! 23! 3 亠2007! 2007=1! (2 -1) 2! (3-1) 3! (4-1)亠2007! (2008 -1)=2!-1! 3!-2! 4!-3! 亠2008!-2007!= 2008!1 2008能夠整除2008!，所以2008!-1的余數(shù)是2007【例5】一個(gè)分子是1的分?jǐn)?shù)，化成小數(shù)后是一個(gè)混循環(huán)小數(shù)，且循環(huán)節(jié)為兩位，不循環(huán)也有兩位，那么 這種分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？【分析】假設(shè)該混循環(huán)小數(shù)是0.abcabCd 辿，9ab Cd，那么其中Cd = 0,11,22,33

13、， 9900990044,55,66,77,88,99，且 b 工 d，所以 99ab Cd 不是 11和 10 的倍數(shù).1. abcd - ab 99x 亠 y令 ab =x，cd =y，貝U O.abcd，那么 99x y n = 9900，而所以 99x yn99009900vf'是9900的約數(shù)，且不是11和10的倍數(shù).9900的約數(shù)中11的倍數(shù)有9900 =22 3" 52 11，9900的約數(shù)中11的倍數(shù)有3 3 3 =27個(gè)，10的倍數(shù)有2 3 2 2 =24個(gè)，即是11也是10的倍數(shù)有12個(gè)，顯然對(duì)任意值， x和y都有99以內(nèi)的符合條 件自然數(shù)解，所以符合條件

14、的解有 3 3 3 2 -（27 *24-12）=15個(gè)，對(duì)應(yīng)的n也有15個(gè)，即這樣 的分?jǐn)?shù)有15個(gè)，【例6】 有一個(gè)四位整數(shù)在它的某位數(shù)字前面加上一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，再和這個(gè)四位數(shù)相加，所得結(jié)果是2000.81 這個(gè)四位數(shù)是（）.【分析】結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后有兩位，說明這個(gè)小數(shù)要么是x.ynm,m = 0，要么是 xy.nm.x =1,y =919n0 1.9n =2000.81所以只能是 19nm 19. nm =2000.81 n =8,m =1 xynm =1981課后練習(xí)1. 一個(gè)兩位數(shù)被它的各個(gè)數(shù)字之和去除，余數(shù)最大是()【分析】 數(shù)字和18，99 “18 =5二9數(shù)字和 17，98T7=5 二

15、 13 ； 89亠17=5 二 4數(shù)字和 16，97“16=6 二 1 ； 88亠16=5 二 8 ； 79"16=4 二 15所以余數(shù)最大是152. 設(shè)x與y分別表示兩個(gè)兩位整數(shù)，并且滿足方程 100x2xy，則y =()【分析】方程兩邊除以x，得100 必=2y，即乂 =2y -100，xxy為偶數(shù)，.2y被4整除，又；兩位數(shù)除以兩位數(shù)只能在 1 _-9之間，.-4或乞=8經(jīng)驗(yàn)證-8不符合題意，舍去,xxx所以丄=4,x =13,y =52x3. 實(shí)驗(yàn)小學(xué)的禮堂一共有座位24 排.每排有座位30個(gè)，全校有650個(gè)學(xué)生在禮堂開會(huì)，那么至少育多少排座位上坐的學(xué)生人數(shù)同樣多？【分析】 假設(shè)24排座位上坐的人數(shù)都不一樣多，那么最多只能坐(30 - 7) 24“ 2 =444人；假設(shè)有兩排坐的人數(shù)同樣多，最多可以坐(30 19) 12-：-2 2=588人：假設(shè)由3排坐的人數(shù)同樣多.最多可以坐(30 23) 8 2 3 =636 .假