七年級下冊數(shù)學整式的乘除與因式分解知識點+習題

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識點整式的乘除與因式分解1、單項式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項式的次數(shù)。2a 2bc 的 系數(shù)為，次數(shù)為，單獨的一個非零數(shù)的次數(shù)是。2、多項式： 幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。a 22abx 1 ，項有，二次項為，一次項為，常數(shù)項為，各項次數(shù)分別為，系數(shù)分別為，叫 次 項式。3、整式： 單項式和多項式統(tǒng)稱整式。注意 ：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項式和多項式。4、多項式按字母的升（降）冪排列：x 32x2

2、y 2xy 2 y31按 x 的升冪排列：按 y 的升冪排列：按 x 的降冪排列：按 y 的降冪排列：5、同底數(shù)冪的乘法法則：am anam n （ m, n 都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。例 1.若 2a 264 ，則 a=；若 273n( 3) 8 ，則 n=.例 2.若 52 x 1125 ，則 (x2)2009x的值為。例 3 .設(shè) 4x=8y-1,且 9y=27 x-1,則 x-y 等于。6、冪的乘方法則： (am ) namn （ m, n 都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：( 35)2310冪的乘方法則可以逆用：即amn(

3、a m ) n(a n )m如： 46(42)3(43)27、積的乘方法則：( ab)na n bn （ n 是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。（ 2x3 y 2 z) 5 =8、同底數(shù)冪的除法法則： amanam n （ a0, m, n 都是正整數(shù)，且 m n)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：( ab) 4(ab) (ab)3a3b39、零指數(shù)和負指數(shù)；a 01 ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。p10, p 是正整數(shù)），即一個不等于零的數(shù)的p 次方等于這個數(shù)的p 次方的倒數(shù)。ap （ aa如：23(1) 312810、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同

4、字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。注意： 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。相同字母相乘，運用同底數(shù)冪的乘法法則。只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。名師總結(jié)優(yōu)秀知識點單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。如：2x 2 y3 z3xy11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即 m(abc)mambmc ( m, a, b, c 都是單項式 )注意：積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包

5、括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。如： 2x(2x3y)3 y( xy) =12、多項式與多項式相乘的法則:多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。如： (3a2b)(a3b)13、單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。如：7a2b 4 m49a 2b =14、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。即： ( am bmcm) mam mbmm cmm a b c例

6、 1.（ a 1b）（ 2a1b）（ 3a2 1b2）；例 2. （ a b）（ a b） 2÷（ a22ab b2） 2ab6312例 3.已知 x2 x 1 0，求 x3 2x2 3 的值15、平方差公式 ：(ab)(a b) a 2b 2注意平方差公式展開只有兩項如： (xyz)(xyz) =16、完全平方公式：(ab)2a 22abb 2a 2b 2(ab) 22ab(ab) 22ab(a b) 2(ab)24ab( ab) 2(ab) 2(ab) 2(ab) 2(ab) 2(ab) 2完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2 倍。 17、三項式的完全平方公式：(

7、abc) 2a2b 2c 22ab2ac2bc例 1.利用平方差公式計算：20072007220082006名師總結(jié)優(yōu)秀知識點例 2.廣場內(nèi)有一塊邊長為2a 米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3 米，東西方向要加長3 米，則改造后的長方形草坪的面積是多少？例 3.（ 1） x12, 求 x 21的值。（ 2） ( xy) 216, ( x y) 24 ，求 xy 的值。xx218、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法A.提公因式法： 式子中有公因式時，先提公因式。例 1.把 2ax10ay 5bybx 分解因式分析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩

8、組的項按x 的降冪排列， 然后從兩組分別提出公因式 2a 與 b ，這時另一個因式正好都是x 5y ，這樣可以繼續(xù)提取公因式解： 2ax 10ay 5by bx說明： 用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項為一組，二、三項為一組，同學不妨一試例 2.把 ab(c2d 2 ) (a2b2 )cd 分解因式分析： 按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式解： ab(c2d 2 ) (a2b2 )cd =說明： 由例 2、例 1 可以看出，分組時運用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組后，為了提

9、公因式，又運用了分配律由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用。B. 公式法： 根據(jù)平方差和完全平方公式分解因式 9x225y 2C.配方法： 分解因式x26x16說明： 這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差公式分解當然，本題還有其它方法，請大家試驗D.十字相乘法：名師總結(jié)優(yōu)秀知識點（ 1） x2( pq) xpq 型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：(1) 二次項系數(shù)是 1； (2) 常數(shù)項是兩個數(shù)之積； (3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和x2( pq) xpqx2pxqxpqx(xp)q( xp)( xp)( xq)

10、因此，x2( pq)xpq( xp)( xq)運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1 的二次三項式分解因式例 1.把下列各式因式分解：(1)x27 x6(2)x213x36說明： 此例可以看出，常數(shù)項為正數(shù)時，應(yīng)分解為兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同例 2.把下列各式因式分解：(1)x25x24(2)x22 x15說明： 此例可以看出，常數(shù)項為負數(shù)時，應(yīng)分解為兩個異號的因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)的符號相同例 3.把下列各式因式分解：(1) x2xy 6y2(2) ( x2x)28( x2x) 12分析： (1) 把 x2xy 6 y2 看成 x 的二次三項式，這時常數(shù)

11、項是6 y2 ，一次項系數(shù)是y ，把6 y2 分解成 3y與2 y 的積，而 3 y( 2 y)y ，正好是一次項系數(shù)(2) 由換元思想， 只要把 x2x 整體看作一個字母 a ，可不必寫出， 只當作分解二次三項式a28a 12 （ 2）一般二次三項式 ax 2bxc 型的因式分解大家知道， (a1 xc1 )(a2 xc2 )a1a2 x2(a1c2a2 c1 )xc1c2 反過來，就得到：a1a2 x2(a1 c2a2c1 ) xc1c2(a1 xc1 )(a2 xc2 )我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)a 分解成 a1a2 ，常數(shù)項 c 分解成 c1 c2 ，把 a1 , a2 , c1,c2 寫成

12、 a1c1 ，這里按斜線交叉相a2c2乘，再相加，就得到a ca c2bx c 的一次項系數(shù)b，那么 ax2bx c 就可以分解成1 22 1 ，如果它正好等于ax(a1x c1 )( a2 x c2 ) ，其中 a1 ,c1 位于上一行， a2 , c2 位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法 名師總結(jié)優(yōu)秀知識點例 4.把下列各式因式分解：(1) 12 x25x 2(2) 5x26xy 8 y2說明： 用十字相乘法分解二次三項式很重要當二次項系數(shù)不是1 時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負數(shù)，用減法”湊 ”，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法”湊 ”，先 ”湊 ”絕對值，然后調(diào)整，添加正、負號提高練習1（ 2x2 4x 10xy） ÷（） 1x 15y222若 xy 8， x2y2 4，則 x2 y2 _3代數(shù)式 4x2 3mx 9 是完全平方式 ,則 m _ 201322014_4.1.535. 若 a 2 b22b 10 ，則 a2b ab 2 =。6. （ a 1）（ a 1）（ a2 1）=56cm2。7. 一個正方形的邊長增加4cm ，面積就增加，原來正方形的邊長為。2+1）（34+1）（3200834016。8（ 3+1）（ 3+1）=29（ 1）