初中數(shù)學(xué)（中考總復(fù)習(xí)）專題21 幾何圖形的猜想、證明與探究-真題專項(xiàng)分類講練強(qiáng)化練習(xí)附解答

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理專題21 幾何圖形的猜想、證明與探究類型1 三角形的猜想、證明與探究1.（2019雞西）如圖，在ABC中，AB=BC，ADBC于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)F，BHAB于點(diǎn)B，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BH于點(diǎn)H（1）如圖所示，若ABC=30°，求證：DF+BH=BD；（2）如圖所示，若ABC=45°，如圖所示，若ABC=60°（點(diǎn)M與點(diǎn)D重合），猜想線段DF、BH與BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明2.（2019錦州）已知，在RtABC中，ACB=90°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，分別以CD和

2、AD為直角邊作RtCDE和RtADF，使DCE=ADF=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC下方，連接EF（1）如圖1，當(dāng)BC=AC，CE=CD，DF=AD時(shí)，求證：CAD=CDF，BD=EF；（2）如圖2，當(dāng)BC=2AC，CE=2CD，DF=2AD時(shí)，猜想BD和EF之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由3.（2019鐵嶺）如圖，ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交線段BC于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合），且GEF+BAC=180°（1）如圖1，當(dāng)B=45°時(shí)，線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系是_（2）如圖2，當(dāng)B=30°時(shí)，猜想線

3、段AG和CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（3）若AB=6，DG=1，cosB=，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)類型2 四邊形的猜想、證明與探究1.（2019鄂爾多斯）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，EOF的頂點(diǎn)O在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，EOF=90°，將EOF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，EOF的兩邊分別與正方形ABCD的邊BC和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）則CE，CF，BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_（2）【類比應(yīng)用】如圖2，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“BCD=120°的菱形ABCD”，其他條件不變，當(dāng)EOF=60°時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；

4、若不成立，請(qǐng)猜想結(jié)論并說明理由（3）【拓展延伸】如圖3，BOD=120°，OD=，OB=4，OA平分BOD，AB=，且OB2OA，點(diǎn)C是OB上一點(diǎn)，CAD=60°，求OC的長(zhǎng)2.（2019嘉興）小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展（1）溫故：如圖1，在ABC中，ADBC于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的邊長(zhǎng)（2）操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫ABC，在AB上任取一點(diǎn)P'，畫正方形P'Q'M&#

5、39;N'，使Q'，M'在BC邊上，N'在ABC內(nèi)，連結(jié)BN'并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，畫NMBC于點(diǎn)M，NPNM交AB于點(diǎn)P，PQBC于點(diǎn)Q，得到四邊形PPQMN小波把線段BN稱為“波利亞線”（3）推理：證明圖2中的四邊形PQMN是正方形（4）拓展：在（2）的條件下，在射線BN上截取NE=NM，連結(jié)EQ，EM（如圖3）當(dāng)tanNBM=時(shí)，猜想QEM的度數(shù)，并嘗試證明請(qǐng)幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題參考答案類型1 三角形的猜想、證明與探究1.【參考答案】（1）證明：連接CF，如圖所示，ADBC，BEAC，CFAB，BHAB，CFBH，CBH=

6、BCF，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，BM=MC，在BMH和CMF中，BMHCMF（ASA），BH=CF，AB=BC，BEAC，BE垂直平分AC，AF=CF，BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH，在RtADB中，ABC=30°，AD=BD，DF+BH=BD；（2）圖猜想結(jié)論：DF+BH=BD；理由如下：同（1）可證，AD=DF+AF=DF+BH，在RtADB中，ABC=45°，AD=BD，DF+BH=BD；圖猜想結(jié)論：DF+BH=BD；理由如下：同（1）可證，AD=DF+AF=DF+BH，在RtADB中，ABC=60°，AD=BD，DF+BH=BD2.【參考答案】（1）證

7、明：ACB=90°，CAD+ADC=90°，CDF+ADC=90°，CAD=CDF；作FHBC交BC的延長(zhǎng)線于H，則四邊形FECH為矩形，CH=EF，在ACD和DHF中，ACDDHF（AAS）DH=AC，AC=CB，DH=CB，DHCD=CBCD，即HG=BD，BD=EF；（2）BD=EF，理由如下：作FGBC交BC的延長(zhǎng)線于G，則四邊形FECG為矩形，CG=EF，CAD=GDF，ACD=DGF=90°，ACDDGF，=2，即DG=2AC，BC=2AC，BC=DG，BD=CG，BD=EF 3.【參考答案】（1）AG=CF理由：如圖1，連接AE，DE垂直平

8、分AB，AE=BE，BAE=B=45°，AEBC，AB=AC，BE=EC=AE，BAE=EAC=C=45°，GEF+BAC=180°，AGE+AFE=360°180°=180°，AFE+CFE=180°，AGE=CFE，GAE=C=45°，AEGCEF（AAS），AG=CF；故答案為AG=CF；（2）AG=CF，理由：如圖2，連接AE，AB=AC，B=C=30°，BAC=120°，DE垂直平分AB，AE=BE，BAE=B=30°，CAE=90°，BAE=C，GEF+BAC=1

9、80°，AGE+AFE=180°，CFE+AFE=180°，AGE=CFE，AGECFE，=，在RtACE中，C=30°，=sinC=，=，AG=CF；（3）當(dāng)G在DA上時(shí)，如圖3，連接AE，DE垂直平分AB，AD=BD=3，AE=BE，cosB=，BE=4，AE=BE=4，BAE=B，AB=AC，B=C，C=BAE，GEF+BAC=180°，AGE+AFE=360°180°=180°，AFE+CFE=180°，CFE=AGE，CFEAGE，=，過 A作AHBC于點(diǎn)H，cosB=，BH=AB=6=，AB=

10、AC，BC=2BH=9，BE=4，CE=9-4=5，AG=ADDG=31=2，=，CF=2.5；當(dāng)點(diǎn)G在BD上，如圖4，同（1）可得，CFEAGE，=，AG=AD+DG=3+1=4，=，CF=5，綜上所述，CF的長(zhǎng)為2.5或5 類型2 四邊形的猜想、證明與探究1.【參考答案】（1）如圖1中，結(jié)論：CE+CF=BC理由如下：四邊形ABCD是正方形，ACBD，OB=OC，OBE=OCF=45°，EOF=BOC=90°，BOE=OCF，BOECOF（ASA），BE=CF，CE+CF=CE+BE=BC故答案為CE+CF=BC（2）如圖2中，結(jié)論不成立CE+CF=BC理由：連接EF，

11、在CO上截取CJ=CF，連接FJ四邊形ABCD是菱形，BCD=120°，BCO=OCF=60°，EOF+ECF=180°，O，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，OFE=OCE=60°，EOF=60°，EOF是等邊三角形，OF=FE，OFE=60°，CF=CJ，F(xiàn)CJ=60°，CFJ是等邊三角形，F(xiàn)C=FJ，EFC=OFE=60°，OFJ=CFE，OFJEFC（SAS），OJ=CE，CF+CE=CJ+OJ=OC=BC，（3）如圖3中，由OB2OA可知BAO是鈍角三角形，BAO90°，作AHOB于H，設(shè)OH=x在RtABH

12、中，BH=，OB=4，+x=4，解得x=（舍棄）或，OA=2OH=1，COD+ACD=180°，A，C，O，D四點(diǎn)共圓，OA平分COD，AOC=AOD=60°，ADC=AOC=60°，CAD=60°，ACD是等邊三角形，由（2）可知，OC+OD=OA，OC=1= 2.【參考答案】（1）如圖1中，PNBC，APNABC，=，即=，解得PN= （2）能畫出這樣的正方形，如圖2中，正方形PNMQ即為所求 （3）證明：如圖2中，由畫圖可知,QMN=PQM=NPQ=BM'N'=90°，四邊形PNMQ是矩形，MNM'N'，BN'M'BNM，=，同理可得,=，=，M'N'=P'N