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1、數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備類型十類型十 二次函數(shù)與矩形有關(guān)的問題二次函數(shù)與矩形有關(guān)的問題【典例【典例 1 1】如果一條拋物線2y=ax +bx+c a0與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn),那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形” (1) “拋物線三角形”一定是三角形;(2)若拋物線2y=x +bx(b0)的“拋物線三角形”是等腰直角三角形,求 b 的值;(3)如圖,OAB 是拋物線2y=x +bx(b0)的“拋物線三角形” ,是否存在以原點(diǎn) O 為對稱中心的矩形 ABCD?若存在,求出過 O、C、D 三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式;若不存在,說明理由【答案】【答案】解
2、: (1)等腰。(2)拋物線2y=x +bx(b0)的“拋物線三角形”是等腰直角三角形,該拋物線的頂點(diǎn)2b b24,滿足2bb=24(b0) 。b=2。(3)存在。如圖,作OCD 與OAB 關(guān)于原點(diǎn) O 中心對稱,則四邊形 ABCD 為平行四邊形。當(dāng) OA=OB 時(shí),平行四邊形 ABCD 為矩形。又AO=AB, OAB 為等邊三角形。作 AEOB,垂足為 E,AE3OE,即2bb= 3b042,b=2 3A3 3B 2 3 0C33D2 3 0 - , , ,。設(shè)過點(diǎn) O、C、D 三點(diǎn)的拋物線2y=mx +nx,則數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備12m2 3n=03m3n=3,解得,m=
3、1n=2 3。所求拋物線的表達(dá)式為2y=x +2 3x?!镜淅?2】如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax22ax3a(a0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)) ,點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,且CD4AC設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上,以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形?若能,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請說明理由圖 5-1【解析】由yax22ax3aa(x1)(x3),得A(1, 0)由CD4AC,得xD4所以D(4, 5a)已知A(1, 0)、D(4, 5a),xP1,以AD為分類標(biāo)準(zhǔn),分兩種情況討論:如圖 5-2,如果AD為
4、矩形的邊,我們根據(jù)AD/QP,ADQP來兩次平 移坐標(biāo)由于A、D兩點(diǎn)間的水平距離為 5,所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4所以Q(4,21a)由于A、D兩點(diǎn)間的豎直距離為5a,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 26a所以 P(1, 26a)根據(jù)矩形的對角線相等,得AP2QD2所以 22(26a)282(16a)2整理,得 7a21所以77a 此時(shí)P26 7(1)7,如圖 5-3,如果AD為矩形的對角線,我們根據(jù)AP/QD,APQD來兩次平移坐標(biāo)由于A、P兩點(diǎn)間的水平距離為 2,所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為 2所以Q(2,3a)由于Q、D兩點(diǎn)間的豎直距離為8a,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 8a所以P(1, 8a)再根據(jù)AD2PQ2,得 52
5、(5a)212(11a)2整理,得 4a21所以12a 此時(shí)P(14),我們從圖形中可以看到,像“勾股圖”那樣構(gòu)造矩形的外接矩形,使得外接矩形的 邊與坐標(biāo)軸平行,那么線段的等量關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備上面我們根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”列方程,還可以根據(jù)定義“有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形”來列方程如圖 5-2,如果ADP90,那么MANDMDNP;如圖 5-3,如果QAP90,那么GQKAGAKP圖 5-2圖 5-3【典例 3】如圖所示,拋物線 m:y=ax2+b(a0,b0)與 x 軸于點(diǎn) A、B(點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)) ,與y軸交于
6、點(diǎn)C將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn) 180,得到新的拋物線n,它的頂點(diǎn)為C1,與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1(1)當(dāng)a=1,b=1 時(shí),求拋物線n的解析式;(2)四邊形AC1A1C是什么特殊四邊形,請寫出結(jié)果并說明理由;(3)若四邊形AC1A1C為矩形,請求出a,b應(yīng)滿足的關(guān)系式【答案【答案】 :解: (1)當(dāng)a=1,b=1 時(shí),拋物線m的解析式為:y=x2+1令x=0,得:y=1C(0,1) 令y=0,得:x=1A(1,0) ,B(1,0) ,C與C1關(guān)于點(diǎn)B中心對稱,拋物線n的解析式為:y=(x2)21=x24x+3;(2)四邊形AC1A1C是平行四邊形理由:C與C1、A與A1都關(guān)于點(diǎn)B中心對稱,AB
7、=BA1,BC=BC1,四邊形AC1A1C是平行四邊形數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備(3) 令x=0, 得:y=b C (0,b) 令y=0, 得:ax2+b=0, aby, 0,abA,0,abB,abAB 2,abbOBOCBC222.要使平行四邊形AC1A1C是矩形,必須滿足AB=BC,abbab22,abbab24,ab3a、b應(yīng)滿足關(guān)系式ab3【典例 4】如圖 6-1,將拋物線c1:233yx 沿x軸翻折,得到拋物線c2現(xiàn)將拋物線c1向左 平移m個(gè)單位長度,平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B;將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長度,平移后得到新拋物線的
8、頂點(diǎn)為N,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E在平移過程中,是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形?若存在,請求出此時(shí)m的值;若不存在,請說明理由圖 6-1【解析】沒有人能精確畫好拋物線,又怎么平移拋物線呢?我們?nèi)未嬲妫瑢、B、D、E、M、N六個(gè)點(diǎn)及它們的坐標(biāo)在圖中都標(biāo)注出來(如圖 6-2) ,如果您看到了MAB和NED是邊長為 2 的等邊三角形,那么平移就簡單了如圖 6-3, 在兩個(gè)等邊三角形平移的過程中,AM與EN保持平行且相等, 所以四邊形ANEM保持平行四邊形的形狀,點(diǎn)O為對稱中心【解法一】如果ANE90,根據(jù) 30角所對的直角邊等于斜邊 的一半,可得AE2EN4而AEA
9、OOE2AO,所以AO2已知AB2,此時(shí)B、O重合(如圖 6-4) ,所以數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備mBO1【解法二】如果對角線MNAE,那么OMOA,此時(shí)MAO是等邊三角形所以等邊三角形MAB與MAO重合因此B、O重合,mBO1【解法三】在平移的過程中,( 1,0)Am 、(1,0)Bm,M(,3)m,根據(jù)OA2OM2列方程(1m)2m23解得m1圖 6-2圖 6-3圖 6-4【典例 5】如圖 1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線2:C yaxbxc與x軸相交于,A B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為0,44 2DAB ,,設(shè)點(diǎn),0F m是x軸的正半軸上一點(diǎn),將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180,得到新的拋物線
10、C 1求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式: 2若拋物線C與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求m的取值范圍 3如圖 2,P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn), 它到兩坐標(biāo)軸的距離相等,點(diǎn)P在拋物線C上的對應(yīng)點(diǎn)P,設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn),N是C上的動(dòng)點(diǎn),試探究四邊形PMP N能否成為正方形?若能,求出m的值;若不能,請說明理由數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備【答案】 12142yx ; 222 2m; 3四邊形PMP N可以為正方形,6m 【解析】解: 14 2AB ,2 2,0)2,0(2AB將, ,A B D三點(diǎn)代入得2yaxbxc82 20.82 20.4abcabcc解得1204abc 2142yx
11、; 2如圖21:42C yx 關(guān)于,0F m對稱的拋物線為21:242Cyxm數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備當(dāng)C過點(diǎn)0,4D時(shí)有2140242m解得:2m 當(dāng)C過點(diǎn)()2 2,0B時(shí)有2102 2242m解得:2 2m 22 2m ; 3四邊形PMP N可以為正方形由題意設(shè),P n n,P是拋物線C第一象限上的點(diǎn)2142nn解得:122,2nn (舍去)即2,2P如圖作HKOF,PHHK于H,MKHK于K四邊形PMP N為正方形易證PHKFKM2FKHPm2MKHFM為2,2mm將M代入21:42Cyx 得數(shù)學(xué)專題 精心整理初中數(shù)學(xué)中考備課必備212242mm 解得:126,0mm(舍
12、去)當(dāng)6m 時(shí)四邊形PMP N 為正方形.【典例 6】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形 OABC 的邊 OA,OC 分別在 x 軸、y 軸上,點(diǎn) B 坐標(biāo)為(4,t)(t0)二次函數(shù) yx2bx(b0)的圖象經(jīng)過點(diǎn) B,頂點(diǎn)為點(diǎn) D.(1)當(dāng) t12 時(shí),頂點(diǎn) D 到 x 軸的距離等于_14_;(2)點(diǎn) E 是二次函數(shù) yx2bx(b0)的圖象與 x 軸的一個(gè)公共點(diǎn)(點(diǎn) E 與點(diǎn) O 不重合)求OEEA 的最大值及取得最大值時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式;(3)矩形 OABC 的對角線 OB,AC 交于點(diǎn) F,直線 l 平行于 x 軸,交二次函數(shù) yx2bx(b0)的圖象于點(diǎn) M,N,連結(jié) DM,DN.當(dāng)DMNFOC 時(shí),求 t 的值【解析】 (1)將B點(diǎn)坐標(biāo)(4,12)代入yx2bx求出二次函數(shù)關(guān)系式,再用配方法或二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解決問題;(2)分別用含b的代數(shù)式表示OE,AE的長,再運(yùn)用二次函數(shù)的求最值的方法(配方法)求出OEEA的最大值;(3)由DMNFOC可得MNCOt,再分別用含b,t的代數(shù)式表示出點(diǎn)M,N的坐標(biāo),將點(diǎn)M或點(diǎn)N的坐標(biāo)代入yx2bx就可以求出t的值解:(2)二次函數(shù)yx2bx與x軸交于點(diǎn)E,E(b,0)OEb,AE4b.OEEAb(b4)b24
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