函數(shù)單調(diào)性判斷方法

1、1.單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y = f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y = f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.常見基本函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)函數(shù)表達(dá)式單調(diào)區(qū)間次 函 數(shù)y kx b(k 0)當(dāng)k 0時(shí)，y在R上是增函數(shù)；當(dāng)k 0時(shí)，y在R上是減函數(shù)。茨 函 數(shù)2y ax bx c(a 0,a, b,c R)b當(dāng)a 0時(shí)，x 時(shí)y單調(diào)減， 2ab x 巴時(shí)y單調(diào)增；2a當(dāng)a 0時(shí)，x上時(shí)y單調(diào)增，2ab x 時(shí)y單倜減。2a反比例函數(shù)kyx(k R且 k 0 )當(dāng)k 0時(shí)，y在x 0時(shí)單調(diào)減，在x 0時(shí)單調(diào)減；當(dāng)k 0時(shí)，y在x 0時(shí)單調(diào)增，在

2、x 0時(shí)單調(diào)增。指數(shù)函數(shù)xy a(a 0,a 1)當(dāng)a 1時(shí)，y在R上是增函數(shù)；當(dāng)0 a 1,時(shí)y在R上是減函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x(a 0,a 1)當(dāng)a 1時(shí)，y在(0,)上是增函數(shù)；當(dāng)0 a 1時(shí)，y在(0,)上是減函數(shù)。特殊函數(shù)圖像典例分析題型一、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷及應(yīng)用使用情景：簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)類型解題模板：第一步先求函數(shù)的定義域；第二步 分解復(fù)合函數(shù)，分別判斷內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性；第三步 根據(jù)同增異減，確定原函數(shù)的增減區(qū)間.若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).即“同增異減”.【例1】 求函數(shù)y logo.7(

3、x2 3x 2)的單調(diào)區(qū)間；【變式練習(xí)1】已知定義在 R上的函數(shù)y f(x)是偶函數(shù)，且x 0時(shí)，f(x) ln(x2 2x 2).(1)當(dāng)x 0時(shí)，求f(x)解析式；(2)寫出f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間.【變式練習(xí)2】已知函數(shù)f(x) = x2-2x-3,則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()B. 3, +8 )A.(巴 1D. 1 , +8 )小Z（1）單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)樹立定義域優(yōu)先”的原則.（2）單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用并集符號(hào)V”連接，也不能用 我”連接.（3）函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的整體”性質(zhì)，所以不能僅僅根

4、據(jù)某個(gè)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)特殊變量xi, X2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小就判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性，必須保證這兩個(gè)變量是區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)自變量.題型二、分段函數(shù)單調(diào)性判斷及應(yīng)用使用情景：分段函數(shù)的單調(diào)性問題解題模板：第一步通過觀察分析，決定如何對(duì)自變量進(jìn)行分類；第二步根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性，分別計(jì)算每段函數(shù)的單調(diào)性；第三步滿足函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)） ，即左段的函數(shù)的最大值（或最小值）小于等于右段函數(shù)的最小值（或最大值）；第四步得出結(jié)論.x2,x 0,【例1】已知函數(shù)f X在區(qū)間 ，上是增函數(shù)，則常數(shù)a的取值x3 a2 3a 2,x,0范圍是 （）A. 1,2 B .,1 U 2,C. 1,2 D

5、.,1 U 2,【變式練習(xí)1】函數(shù)f x數(shù)a的取值范圍是()A. (-,1B.1,4x 4x,x 4,若函數(shù)y f x在區(qū)間(a , a+1)上單調(diào)遞增，則實(shí)log2 x, x 4C.4, +) D.(-,1 U4, +)【變式練習(xí)2】已知函數(shù)f(x)(3a 1)x 4a, x 1在R是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是lOgaX x 1【例2】設(shè)函數(shù)g(x) x2 2(x R), f (x)g(x) x 4,x g(x)5 ',5 ,則f (x)的值域是(g(x) x,x g(x).9a 0,)B-,)4一 -c. -,0 U(1,) D . -,0U(2,)442(x a) ,x 0

6、,【例3】f (x)1若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為(x - a, x 0, x(A)-1,2(B)-1，0(C)1， 2(D)0,2【變式練習(xí)3】已知函數(shù)f（x）3x 1, ，則 f(f( 3), f （x）的最小值是lg(x2 1),x 1小結(jié)1、最值問題使用情景：分段函數(shù)的最值問題解題模板：第一步通過觀察分析，決定如何對(duì)自變量進(jìn)行分類；第二步根據(jù)常見函數(shù)的最值，分別計(jì)算每段函數(shù)的最值；第三步滿足函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的最值，即比較每段函數(shù)的最值大小，誰最大誰是最大值,誰最小誰是最小值；第四步.得出結(jié)論.2、單調(diào)性問題其一是分段函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上的增函數(shù)（或減函數(shù)）與整體函數(shù)相同

7、；其二是滿足函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），即左段的函數(shù)的最大值（或最小值）小于等于右段函數(shù)的最小值（或最大值）題型三、抽象函數(shù)的單調(diào)性【例1】已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,2 ,且在 2,0內(nèi)遞減，求滿足：f(1 m) f (1 m2) 0的實(shí)數(shù)m的取值范圍.【例2】定義在尺上的偶函數(shù)了滿足：|4)=八-2) = 0,在區(qū)間(-工廠3)與TO上分別遞增和遞減, 則不等式xf(x) > 0的解集為.【變式練習(xí)1】設(shè)奇函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，且f( 1)1 .當(dāng)x 1,1時(shí)，函數(shù)f(x) t2 2at 1 ,對(duì)一切a 1,1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A. 2 t

8、2 B. t 2或 t 2C.t 0或 t 2 D. t 2或 t 2 或 t 0【變式練習(xí)2】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a足f (2a 1)f(后，則a的取值范圍是小結(jié)不等式中的數(shù)形結(jié)合問題，在解題時(shí)既要想形又要以形助數(shù)，常見的“以形助數(shù)”的方法有：(1)借助數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)軸的有關(guān)概念，解決與絕對(duì)值有關(guān)的問題，解決數(shù)集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算非常有效.(2)借助函數(shù)圖象性質(zhì)，利用函數(shù)圖象分析問題和解決問題是數(shù)形結(jié)合的基本方法，需注意的問題是準(zhǔn)確把握代數(shù)式的幾何意義實(shí)現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化.題型四、函數(shù)單調(diào)性判斷方法(性質(zhì))的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)：若f(x),

9、 g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x) + g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，更進(jìn)一步，即增+增=增，增減=增，減+減=減，減增=減；(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反;1(3)在公共定義域內(nèi)，函數(shù) 丫=電)(他戶0)與y=f(x), y =單倜性相反； f x(4)在公共定義域內(nèi)，函數(shù) y=f(x)(f(x)>0)與y="x"單調(diào)性相同；(5)奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.【常見判斷方法】方法一定義法使用情景：一般函數(shù)類型解題模板：

10、第一步取值定大?。涸O(shè)任意 x1, x2 D ,且x1 x2 ；第二步作差：f(x1) f(x2);第三步 變形(合并同類項(xiàng)、通分、分解因式、配方等)；第四步定符號(hào)；第五步得出結(jié)論.【例1】判斷并證明：f(x) 在(，0)上的單調(diào)性.1 x1【變式演練1】已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x 0時(shí)，f(x) x2 -. x(1)求f (x)的表達(dá)式；(2)判斷并證明函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性.方法二導(dǎo)數(shù)法使用情景：較復(fù)雜的函數(shù)類型解題模板：第一步求函數(shù)f(x)的定義域；第二步求導(dǎo)f (x);第三步 在定義域范圍內(nèi)解不等式f (x) 0或f (x) 0 ；第四步得出函數(shù)f(x)的

11、增減區(qū)間.【例2】已知函數(shù)f(x) (a 1) ln x ax2 1,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;【變式練習(xí)2】已知函數(shù)f (x) x3 3x2 9x a .求f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間;【應(yīng)用】應(yīng)用(一)比較函數(shù)值或自變量的大小例3已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 x= 1對(duì)稱，當(dāng)x2>xi>1時(shí)，f(x2)f(xi)(x2 xi)<0恒成立，設(shè)a1=f 2, b = f(2), c= f(e),則 a, b, c 的大小關(guān)系為()B. c>b>aA . c>a>bC. a>c>bD. b>a>c應(yīng)用(二)解函數(shù)不等式例4f(x)是

12、定義在(0, +8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)=f(x)+f(y), f(3) = 1,當(dāng)f(x)+f(x 8產(chǎn)2時(shí),x的取值范圍是()A . (8,)B. (8,9C. 8,9D. (0,8)方法技巧用單調(diào)性求解與抽象函數(shù)有關(guān)不等式的策略在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將f'符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.(2)有時(shí)，在不等式一邊沒有符號(hào)f”時(shí)，需轉(zhuǎn)化為含符號(hào)f”的形式.如若已知 f(a)=0, f(x-b)<0,則 f(x-b)<f(a).應(yīng)用(三)求參數(shù)的取值范圍例5 (1)如果函數(shù)f(x)=ax2+2x3在

13、區(qū)間(一8, 4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()1,_1,A. 4，+B.4，+C. -10D.-1044若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, a+1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a的取值范圍x2+4x, x< 4,(2)設(shè)函數(shù)f(x)=log 2x, x>4.A.(巴 1C. 4, +8 )是()B. 1,4D.(巴 1 U 4, +8 )易錯(cuò)提醒若函數(shù)在區(qū)間a, b上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的.(2)對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.【變式練習(xí)3】1 .函數(shù)f(x)= |x2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A. 1,2B. -1,0C.

14、0,2D. 2, +oo)2 .已知函數(shù) y= f(x)是 R 上的偶函數(shù),當(dāng)xi, X2C (0,), xx2時(shí)，都有(xi-X2)f(xi)-f(x2)<0.設(shè) a=ln1, b = (ln 卷)c=ln 則()A. f(a)>f(b)>f(c)B. f(b)>f(a)>f(c)C. f(c)>f(a)>f(b)D, f(c)>f(b)>f(a) 13.定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)在(0, +8)上單倜遞增，且f5 =0,則滿足flog x>0的x的集合為 9隨堂檢測(cè)2 a x+ 1, x<1 ,f x1 f x21 .已

15、知f(x)= X ,滿足對(duì)任意xx2,者B有f二>0成立，那么a的取值范圍是ax, x> 1 ,x1-x22 .討論函數(shù)f(x)= x + ；(a>0)的單調(diào)性.3、設(shè)函數(shù)f(x)lx2291nx在區(qū)間a 1,a 1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. 1C. a課后作業(yè)1.已知函數(shù)f(x) =(4 a3)x 3a, x10ga(x 1) 1,x0,一，斗，(a>0,且aw。在R上單倜遞減,且關(guān)于x的方程| f (x)| 2 x恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是(A) (0, 2(B) 2, 33341 (C)3I嗎(D)2)3U342.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a足f （2 a 1）f（依，則a的取值范圍是3.已知定義在R 上的函數(shù)f x2|xm 1（m為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記,則a,b, c的大小關(guān)系為（）af (log 0.5 3),bf log2 5 ,c f 2m(A) a b c (B) a c b(C) cab (D) c b a4.設(shè)函數(shù) f(x) ln(1 x) ln(1 x),則 f (x)是(A.奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在（0,1）