三角形面積的計算的探討

1、三角形面積的計算的探討六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第九冊三角形面積的計算一節(jié)，教材上是這樣安排的：一、明確 目標(biāo)；二、用數(shù)格的方式不能確定三角形的面積；三、能否轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的圖形進(jìn)行計算？ 四、拿兩個全等的直角三角形可以拼成以前學(xué)習(xí)過的學(xué)習(xí)過的長方形和平行四邊形，直角三 角形的面積是長方形和平行四邊形面積的一半；五、驗證銳角三角形和鈍角三角形是否也能 拼成平行四邊形；六、三次試驗確定所有類型的三角形能轉(zhuǎn)化成平行四邊形，兩者的關(guān)系是 “等底等高，面積一半”；七、總結(jié)三角形的面積公式。我們在多次的課堂教學(xué)實踐和課下輔導(dǎo)過程中，發(fā)現(xiàn)上面的幾個“環(huán)節(jié)”有些地方不太 符合學(xué)生的認(rèn)知特點。具體分析一下：第一步?jīng)]什么問

2、題，每個教師都有自己的導(dǎo)入新課的方式。第二步也沒有什么：學(xué)生在學(xué)習(xí)長方形和正方形的面積時用的是“數(shù)格”的方式。學(xué)習(xí) 平行四邊形時用的是切割再組合的方式，就是所謂的“轉(zhuǎn)化”。在大部分學(xué)生對面積這個概 念的理解還不十分透徹的情況下，面對三角形，學(xué)生們的首選方法就是“數(shù)格”。因為這是 學(xué)生學(xué)習(xí)有關(guān)面積計算的第一經(jīng)驗，第一印象，第一個技巧。也是最簡單，最直接（當(dāng)然也 是最麻煩）的方法。關(guān)于第三步：教材上只有一句話：能不能把三角形轉(zhuǎn)化成己經(jīng)學(xué)過的圖形再計算面積。 這是化未知為已知的思維方式，我們常給初中學(xué)生提起這些認(rèn)知策略，但它的基礎(chǔ)卻在小學(xué) 階段和學(xué)生的日常生活經(jīng)驗中。教材把這個重要的數(shù)學(xué)思想一筆帶過

3、，把挖掘其內(nèi)涵，為學(xué) 生建立辯證觀念的重任留給了老師。但很多老師并不特別重視這句話，只是把它當(dāng)作一個過 渡句，當(dāng)成進(jìn)入下面環(huán)節(jié)的引言。第四步。轉(zhuǎn)化是一定的。但是，轉(zhuǎn)化成什么？怎么轉(zhuǎn)化？把三角形轉(zhuǎn)化成“能計算的 圖形”大致有五種情況。教材推薦的是第五種（如圖）。教材上的引導(dǎo)方式只有教師的主導(dǎo) 性，而忽視了學(xué)生的主體位置。前面提到，學(xué)生計算三角形面積的首選方法是數(shù)格，那么次選方法是什么？他們的第 二方案應(yīng)該還是在自己的經(jīng)驗中尋找?guī)椭?。這些經(jīng)驗當(dāng)中，與計算面積有關(guān)的直接、簡單、 容易操作的內(nèi)容就是在前面的幾節(jié)課剛學(xué)過的“切割平行四邊形成長方形”的方法。他們對 “切割”這個動作記憶猶新。因為：一、這個

4、技巧剛剛學(xué)過；二、切割是個動作，但這個動 作能把不規(guī)則變規(guī)則，所以印象深刻；三、這個簡單的動作能完成面積計算的任務(wù)。所以他 們的下一步動作會是模仿上一節(jié)課的做法，想辦法切割三角形的某一角移動填補另一角，變 三角形成長方形或平行四邊形。按這個說法，學(xué)生在尋找計算三角形面積的方法時，他首先 會在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，對這個三角形進(jìn)行加工處理。在不得要領(lǐng)，或是找到 了辦法，問題解決了，但心有余味，繼續(xù)探索下去時才會考慮到利用其他內(nèi)容擴展思考空間, 再找一個一樣的三角，把思路引到問題的外面。教材中還有一點缺失：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下用兩個“全等”三角形進(jìn)行拼接時，是一個 嘗試的過程。教材舉例說：小

5、華拼出了一個長方形一個平行四邊形。小林拼出了兩個三角形 一個人拼的全是能利用的，一個人拼的全是不能用的，兩個人的對比太大。我們想這不 是教材的疏漏，是為了突出教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)。另外，教材舉的例子是兩個三角形能拼成一個 長方形和一個平行四邊形。但實際上能拼成兩個平行四邊形，加上長方形就是有三個圖形是 已經(jīng)學(xué)習(xí)過的，都能用來推算三角形面積。教材忽略這個沒有列出的平行四邊形，我們猜可 能是因為它的傾斜度過大，在視覺上有一種要“倒”的感覺。如果學(xué)生受視覺效果的影響， 注意力分散，會影響到他們分析兩種圖形的底、高和面積的關(guān)系。也可能是基于簡單化原則, 有兩個就夠了，何必要三個。但是按這個說法，要一個就夠了

6、，何必兩個。按照教材設(shè)定的思路，我們可以設(shè)想：學(xué)生手拿三角形，聽老師布置完任務(wù)。怎么拼, 能拼出什么都不太清楚，只能先隨便的拼一下試試。如果運氣好或者預(yù)想能力較強，可能直 接拼出平行四邊形和長方形。學(xué)生在試驗時，會發(fā)現(xiàn)不等邊拼接沒有后續(xù)效果，因為這些組 合圖形都不規(guī)則，不能把握。然后，學(xué)生會把注意力放在那些特殊圖形上。一類是那些中心 對稱的平行四邊形，這是學(xué)習(xí)過的內(nèi)容；一類是那些左右對稱的凸多邊形，這是好奇心驅(qū)使, 隨后即會放棄。學(xué)生的試驗，開始可能是無序狀態(tài)，隨著注意的集中，目標(biāo)一個一個的出現(xiàn), 學(xué)生的意識中必定會對自己剛才的所有拼接進(jìn)行回顧（很多時候這個回顧是無意識的），找 到拼出所有圖形

7、的方法得出兩個全等三角形能順次拼出三個形狀不同的平行四邊形的結(jié)論, 使自己的思維進(jìn)入有序狀態(tài)。教材把這個過程縮減了，有些教師則更希望把它壓縮成一個或幾個動作，為后面的講解和練習(xí)擠出時間，不愿把時間精力浪費在這個非目標(biāo)、非重點、也非難點的中間環(huán)節(jié)上。認(rèn) 為只要知道了轉(zhuǎn)換的道理，就有了 “等底等高，面積2倍”這個重點的突破。在動手操作上 延長時間，勢必影響教學(xué)目標(biāo)的講解和強調(diào)。其實這是個誤解。公式的推導(dǎo)過程本身也是對公式的熟悉過程，過程熟悉了，結(jié)果也就 熟悉了。以后也就無須用多的嚇人的練習(xí)題讓學(xué)生做，把公式強印到學(xué)生的腦子中。舉一個 化學(xué)上的例子：兩種物質(zhì)能發(fā)生反應(yīng)，這是先決條件。但是反應(yīng)所需要的環(huán)境如加熱、電擊、 攪拌或是放在溶液中使其反應(yīng)更充分，以及催化劑等這些控制反應(yīng)進(jìn)行的因素也很重要，甚 至是必須的。學(xué)生在探尋知識的過程中所取得的經(jīng)驗和教訓(xùn)就是知識發(fā)揮作用的控制因素。 一般上，我們認(rèn)為把知識放在問題中，解決問題，知識的作用就發(fā)揮出來了。但是，問題從 何而來？來自思維。思考什么？思考我們看到的，感覺到的。如果對周圍事物的發(fā)展、變化、 規(guī)律、聯(lián)系、相互作用、矛盾沖突以及相似性、特殊點（這些名詞、概念確實存在于我們的 意識和思維中）沒有任何的反應(yīng)，就不會產(chǎn)生問題、提出問題。不會發(fā)現(xiàn)問題的人，一般也 不會主動回答別人的問題。讓學(xué)生自己動手就是為了訓(xùn)練學(xué)生的動