試驗微分方程基礎(chǔ)試驗

1、實驗微分方程（基礎(chǔ)實驗）項目四無窮級數(shù)與微分方程實驗2微分方程(基礎(chǔ)實驗)實驗?zāi)康睦斫獬Ｎ⒎址匠探獾母拍钜约胺e分曲線和方向場的概念，掌握利用Mathematica求微分方程及方程組解的常用命令和方法基本命令1. 求微分方程的解的命令DSolve對于可以用積分方法求解的微分方程和微分方程組，可用Dsolve命令來求其通解或特解.例如,求方程y 3y 2y 0的通解，輸入DSolvey ”x+3y 'x+2yx=0,yx,x則輸出含有兩個任意常數(shù)C1和C2的通解：yx e 2xC1 e xC2注:在上述命令中，一階導數(shù)符號是通過鍵盤上的單引號輸入的，二階導數(shù)符號”要輸入兩個單引號，而不能輸

2、入一個雙引號.又如，求解微分方程的初值問題：y4y3y oy。6幾。10，輸入Dsolvey”x+4 y'x+3yx=0,y0=6, y'0=10,yx,x(*大括號把方程和初始條件放在一起*)則輸出3x2xyx e (814e2. 求微分方程的數(shù)值解的命令NDSolve對于不可以用積分方法求解的微分方程初值問題，可以用NDSolve命令來求其特解.例如要求方程y y2 x3, yx 0 0.5的近似解(0 x 1.5),輸入NDSolvey'x=yxA2+xA3,y0=0.5,yx,x,0,1.5(*命令中的x,0,1.5表示相應(yīng)的區(qū)間*)則輸出y->lnter

3、polatingFunction0.,1.5,< >注:因為NDSolve命令得到的輸出是解y y(x)的近似值.首先在區(qū)間0,1.5內(nèi)插入一系列點X1,X2,Xn,計算岀在這些點上函數(shù)的近似值yi ,y2, yn ,再通過插值方法得到y(tǒng) y(x)在區(qū)間上的近似解.3. 一階微分方程的方向場一般地，我們可把一階微分方程寫為y f (x,y)的形式，其中f(x,y)是已知函數(shù).上述微分方程表明：未知函數(shù)y在點x處的斜率等于函數(shù) f在點(x, y)處的函數(shù)值.因此，可在Oxy平面上的每一點，作出過該點的以f(x,y)為斜率 的一條很短的直線(即是未知函數(shù)y的切線).這樣得到的一個圖形就

4、是微分方程 y f (x,y)的方向場.為了便于觀察，實際上只要在Oxy平面上取適當多的點，作出在這些點的函數(shù)的 切線.順著斜率的走向畫出符合初始條件的解，就可以得到方程y f (x, y)的近似的積分曲線.例如，畫出dy 1y2,y(0) 0的方向場.dx輸入vvGraphics'PlotField'g1= PlotVectorField1,1-yA2,x,-3,3,y,-2,2, Frame->True, ScaleFunction->(1 &),ScaleFactor->0.16, HeadLength->0.01,PlotPoints-&

5、gt;20,25;則輸出方向場的圖形(圖 2.1),從圖中可以觀察到，當初始條件為y01/2時，這個微分方程的解介于1和1之間，且當x趨向于 或 時，y(x)分別趨向于 1與1.Huuiuuunmui2UUIHUUUUUIH + b -F" J 卡云* *產(chǎn)尸止尸老*尹老芒事求f *卓曩、 z r r事 * * r f f r r r 丁 聲屮嚴盧 r f0* 4 譽滬 g * p 存產(chǎn)*嚴嚴產(chǎn)尸尸尸存嚴尸亠* * 亠 *丨 ,J "B F *va Bi -wj *<K- F . j 七-k H、仕、仕*、 J、 仕仕仕七、七、£隹-1、 、X. b 、.

6、、 Mr、 乂乂-3-2-10123-2nHihHiHIHIhtJ3-2-10123210-1-2圖2.1圖2.2下面求解這個微分方程,并在同一坐標系中畫出方程的解與方向場的圖解.輸入sol=DSolvey'x=1-y xA2,y0=0,y x,x; g2=Plotsol1,1,2,x,-3,3,PlotStyle->Hue0.1,Thickness0.005; Showg2,g1,Axes->None,Frame->True;則輸出微分方程的解y(x)1 ex,以及解曲線與方向場的圖形(圖2.2).從圖中可以看1 e到，微分方程的解與方向場的箭頭方向相吻合實驗內(nèi)容

7、用Dsolve命令求解微分方程2例2.1 （教材 例2.1）求微分方程 y 2xy xe x的通解. 輸入Clearx,y;DSolvey 'x+2x* yx=x*Exp-xA2,yx,x或DSolveDy x ,x+2x*y x=x*Exp-xA2,yx,x則輸岀微分方程的通解：r ,1 x2 2x2yx e x e C1其中C1是任意常數(shù).2e下的特解.例2.2 （教材 例2.2）求微分方程xy yex0在初始條件輸入Clearx,y;DSolvex*y ' x+yx-Expx=0,y1=2 E,yx,x 則輸岀所求特解：yx例2.3 (教材 例2.3)求微分方程y 2y

8、5y ex cos2x的通解. 輸入DSolvey "x-2y 'x+5yx=Expx*Cos2 x,yx,x/Simplify則輸岀所求通解：yx-ex(1 8c2) Cos2x 2(x4c1)Sin2x)8例2.4 (教材 例2.4)求解微分方程y 2x ex ,并作出其積分曲線. 輸入g1= TablePlotEAx+xA3/3+c1+x*c2,x,-5,5, DisplayFunction->ldentity,c1,-10,10,5,c2,-5,5,5;Showg1,DisplayFunction->$DisplayFunction;則輸出積分曲線的圖形(

9、圖2.3).129圖2.3例2.5 （教材 例2.5）求微分方程組解.dxdtdydtx 2yx yte在初始條件Xt 0 1,y t 0 0下的特0輸入Clearx,y,t;DSolvex' t+xt+2 yt=Expt, y't -xt- yt=O, x【0=1,y【0=0,x【t,y【t,t 則輸岀所求特解：AxtCost, yt-(et Cost Sint)x2斗一的通解. y 22例2.6驗證(5x230y 3y5) c是微分方程y (x)15輸入命令vvGraphics'PlotField'vvGraphics'lmplicitPlot

10、9; sol=(-5xA3-30y+3yA5)/15=C;g仁 lmplicitPlotsol/.TableC->n,n,-3,3,x,-3,3; g2=PlotVectorField1,xA2/(yA4-2),x,-3,3,y,-3,3, Frame->True,ScaleFunction->(1 &),ScaleFactor->0.16, HeadLength->0.01,PlotPoints->20,25;g=Showg2,g1,Axes->None,Frame->True; ShowGraphicsArrayg1,g2,g;則分別

11、輸出積分曲線如圖2.4(a),微分方程的方向場如圖2.4(b).以及在同一坐標系中畫出積分曲線和方向場的圖形如下圖2.4 (c).-3嘗國3(a)3210 -1 -2 -3-3 -2-1 0 12 3(b)圖2.4從圖2.4(c)中可以看出微分方程的積分曲線與方向場的箭頭方向吻合，且當x 時,無論初始條件是什么，所有的解都趨向于一條直線方程例2.7 (教材 例2.6)求解微分方程 吐丑 (x 1)5/2，并作出積分曲線.dx x 1輸入vvGraphics'PlotField'DSolvey' x-2yx/(x+1)=(x+1)A(5/2),yx,x則輸出所給積分方程的

12、解為2 7/22yx -(1 x)7/2(1 x)2C13下面在同一坐標系中作出這個微分方程的方向場和積分曲線(設(shè)c3, 2, 1,0,1,2,3),輸入t=Table2(1+x)A(7/2)/3+(1+xF2c,c,-1,1;g1= PlotEvaluatet,x,-1,1,PlotRange->-1,1,-2,2,PlotStyle->RGBColor1,0,0,DisplayFunction->ldentity;g2=PlotVectorField1,-2y/(x+1)+(x+1F(5/2),x,-0.999,1,y,-4,4,Frame->True,ScaleF

13、unction->(1 &), ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01, PlotPoints->20,25,DisplayFunction->ldentity;Showg1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction-> $DisplayFunction; 則輸出積分曲線的圖形(圖 2.5).JJ-0.75 -0.5£.25-0 - 0.25丿-0.5 J 075 12.52 2例2.8求解微分方程(1 2xy)y x y 2,并作出其積分曲線 輸入命令vv

14、Graphics'PlotField'DSolve1-2*x*yx*y' x=xA2+(yx)A2-2,yx,x則得到微分方程的解為x32y x( 2 y2) C.3我們在 3 C 3時作出積分曲線，輸入命令t1= Table(3+Sqrt3)Sqrt3+24xA2-4xA4-4*c*x/(6*x),c,-3,3;t2=Table(3-Sqrt3)Sqrt3+24xA2-4xA4-4*c*x/(6*x),c,-3,3;gg1=PlotEvaluatet1,x,-3,3,PlotRange->-3,3,-3,3,PlotStyle->RGBColor1,0,0

15、,DisplayFunction->ldentity;gg2=PlotEvaluatet2,x,-3,3,PlotRange->-3,3,-3,3,PlotStyle->RGBColor1,0,0,DisplayFunction->ldentity;g1= ContourPloty-xA3/3-x*(-2+yA2),x,-3,3,y,-3,3,PlotRange->-3,3,Contours->7,ContourShading->False,PlotPoints->50,DisplayFunction->ldentity; g2=PlotV

16、ectorField1,(xA2+yA2-2)/(1-2*x*y),x,-3,3,y,-3,3,Frame->True,ScaleFunction->(1 &),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->20,25,DisplayFunction->Identity;Showg1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction;Showgg1,gg2,g2,Axes->None,Frame->Tru

17、e,DisplayFunction->$DisplayFunction;則輸岀微分方程的向量場與積分曲線，并輸岀等值線的圖2.6.210-1-2-1 、2圖2.6用NDSolve命令求微積分方程的近似解例2.9（教材 例2.7）求初值問題：（1 xy）y （1 xy）y 0, y x 1.21在區(qū)間1.2,4上的近似解并作圖.輸入fl=NDSolve（1+x*yx）*yx+（1-x*yx）*y'x=0,y1.2=1,y,x,1.2,4則輸岀為數(shù)值近似解（插值函數(shù)）的形式：y->lnterpolatingFunction1.2,4.,< >用Plot命令可以把它的

18、圖形畫出來.不過還需要先使用強制求值命令Evalu-ate,輸入PlotEvaluateyx/.fl,x,1.2,4則輸出近似解的圖形（圖2.7）.如果要求區(qū)間1.2,4內(nèi)某一點的函數(shù)的近似值，例如yx1.8 ,只要輸入y1.8/.fl則輸岀所求結(jié)果3.8341例2.10(教材 例2.8)求范德波爾(Van der Pel)方程y (y2 1)y y 0, y x 0 0, y x 00.5在區(qū)間0,20上的近似解.輸入Clearx,y;NDSolvey"x+(yxA2-1)*y'x+yx=0,y0=0,y'0=-0.5,y,x,0,20;PlotEvaluateyx

19、/.%,x,0,20可以觀察到近似解的圖形(圖 2.8).圖2.82 /xy x ysin x 10yi的數(shù)值解，并作岀數(shù)值解的圖形.輸入命令vvGraphics'PlotField'sol=NDSolvex*y'x-xA2*yx*Sinx+1=0,y1=1,y【x,x,1,4;fx_=Evaluatey x/.sol;g1= Plotfx,x,1,4,PlotRange->AII,DisplayFunction->ldentity;g2=PlotVectorField1,(xA2*y*Sinx-1)/x,x,1,4,y,-2,9,Frame->Tru

20、e,ScaleFunction->(1 &),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->20,25,DisplayFunction->Identity;g=Showg1,g2,Axes->None,Frame->True;ShowGraphicsArrayg1,g,DisplayFunction->$DisplayFunction;1 1.52 2.53 3.54則輸出所給微分方程的數(shù)值解及數(shù)值解的圖2.9.86420 -2例2.11 (教材 例2.9)求出初值問題y y sin2 x

21、y cos2 xy(0) 1,y (0)0的數(shù)值解，并作岀數(shù)值解的圖形.輸入NDSolvey"x+SinxA2*y'x+yx=CosxA2,y0=1,y'0=0,yx,x,0,10PlotEvaluateyx/.%,x,0,10;則輸出所求微分方程的數(shù)值解及數(shù)值解的圖形(圖 2.10)圖 2.10例2.12 (教材 例2.10)洛倫茲(Lorenz)方程組是由三個一階微分方程組成的方程組.這三個方程看似簡單，也沒有包含復雜的函數(shù)，但它的解卻很有趣和耐人尋味 .試求解洛倫茲 方程組x(t) 16y(t)16x(t)y (t) x(t)z(t) 45x(t) y(t) z

22、(t) x(t)y(t) 4z(t),x(0) 12, y(0) 4,z(0) 0并畫出解曲線的圖形.輸入Cleareq,x,y,zeq=Sequencex't=16*yt-16*xt, y'【t=-x【t*z【t-y【t+45x【t,z'【t=x【t*y【t-4z【tsol 1= NDSolveeq,x0=12,y0=4,z0=0, x【t,y【t,z【t,t,0,16,MaxSteps->10000;g1= ParametricPlot3DEvaluatext,yt,zt/.sol1,t,0,16, PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->N