多重積分方法總結(jié)

1、摘要：二重積分和三重積分的概念都有實(shí)際的幾何或物理的背景，定義分為四個(gè)步驟用構(gòu)造的方法給出，最終表現(xiàn)為“黎曼和”的極限故多重積分具有極限的基本性質(zhì)，如唯一性，線性性質(zhì)等定義給出了概念的一個(gè)準(zhǔn)確描述方法，進(jìn)而從定義出發(fā)可以從純邏輯上考察概念具有的性質(zhì)以及計(jì)算方法關(guān)鍵詞：二重積分 三重積分 英文題目 Summary of multiple integral method Abstract: The double integral and triple integral concepts are have the real geometry or physical background, defin

2、ition is divided into four steps with the method of structure are given, finally shown as "Riemann and" limit. So has the limits of the integral multiple basic properties, such as uniqueness, linear properties. Definition of the concept of a given accurate description method, and from the

3、definition from pure logic can be reviews the concept has property and calculation method. Keyword: The double integral triple integral 1.引言：重積分的計(jì)算主要是化為多次的積分這里首先要看被積區(qū)域的形式, 選擇合適的坐標(biāo)系來進(jìn)行處理二重積分主要給出了直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的計(jì)算方法我們都可以從以下幾個(gè)方面把握相應(yīng)的具體處理過程：1.被積區(qū)域在幾何直觀上的表現(xiàn)（直觀描述，易于把握）；2.被積分區(qū)域的集合表示（用于下一步確定多次積分的積分次序和相應(yīng)的積分限）；3.

4、化重積分為多次積分2.研究問題及成果2.1二重積分的計(jì)算1. 在直角坐標(biāo)下：(a) X-型區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于y軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)和；被積區(qū)域的集合表示：；二重積分化為二次積分：(b) Y-型區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于x軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)從而可以由左右交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)和；被積區(qū)域的集合表示：；二重積分化為二次積分：2. 在極坐標(biāo)下：幾何直觀表現(xiàn)：從極點(diǎn)出發(fā)引射線線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè)從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)和（具體如圓域，扇形域和環(huán)域等）； 被積區(qū)域

5、的集合表示：，注意，如果極點(diǎn)在被積區(qū)域的內(nèi)部，則有特殊形式；直角坐標(biāo)下的二重積分化為極坐標(biāo)下的二重積分，并表示成相應(yīng)的二次積分：注：具體處理題目時(shí)，首要要能夠選擇適當(dāng)?shù)奶幚矸椒?，并能夠?qū)崿F(xiàn)不同積分次序及直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化3. 二重積分的換元法：在閉區(qū)域D上連續(xù)，設(shè)有變換將一一映射到D上，又關(guān)于u, v有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且, 則有二 三重積分的計(jì)算三重積分具體的處理過程類似于二重積分，也分為三個(gè)步驟來進(jìn)行處理1. 在直角坐標(biāo)下：空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)函數(shù)和，并把區(qū)域投影到xoy面上從而確定的范

6、圍，記為；被積區(qū)域的集合表示：, 進(jìn)一步地, 可以表示成X型區(qū)域或Y型區(qū)域;三重積分化為三次積分：（所謂“二套一”的形式）（為X型）（為Y型）注：類似于以上的處理方法，把空間區(qū)域投影到 yoz面或zox面又可把三重積分轉(zhuǎn)化成不同次序的三次積分這時(shí)區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)，區(qū)域的集合表示，以及新的三次積分次序如何？可見，三重積分最多可以對(duì)應(yīng)六種積分次序這里還有所謂一套二的處理方法，區(qū)域的直觀表現(xiàn)為：平行于xoy面的截面面積容易求得作為被積函數(shù)最好與x，y無關(guān)，即可表示為為則區(qū)域表示為：,其中表示垂直于軸的截面此時(shí)，三重積分化為：（所謂“一套二”的形式）其中表示截面的面積，它是關(guān)于z的函數(shù)2. 在柱坐標(biāo)下

7、：柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)，從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)函數(shù)和空間區(qū)域在xoy面上的投影區(qū)域易于用參數(shù)和表示范圍（具體如圓域，扇形域和環(huán)域等），并且和也易于進(jìn)一步表示z成關(guān)于較簡(jiǎn)單的函數(shù)形式，比如可以看成一個(gè)整體（具體如上、下表面為旋轉(zhuǎn)面的情形）； 被積區(qū)域的集合表示：；直角坐標(biāo)下的三重積分化為極坐標(biāo)下的三重積分，并表示成相應(yīng)的三次積分： 3. 在球坐標(biāo)下： 球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：從原點(diǎn)出發(fā)引射線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)，從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩個(gè)球

8、坐標(biāo)函數(shù)和; （具體如球心在原點(diǎn)或z軸上的球形域）被積區(qū)域的集合表示：；直角坐標(biāo)下的三重積分化為極坐標(biāo)下的三重積分，并表示成相應(yīng)的三次積分：=如球心在原點(diǎn)半徑為的球形域下：4. 三重積分的換元法：在閉區(qū)域V上連續(xù)，設(shè)有變換將一一映射到V上，又和關(guān)于u, v和w有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且, 則有三重積分的幾何和物理應(yīng)用1. 幾何應(yīng)用a) 二重積分求平面區(qū)域面積；b)二重積分求曲頂柱體體積；c)三重積分求空間區(qū)域的體積；d)二重積分求空間曲面的面積求曲面的面積，對(duì)應(yīng)著曲面方程為直角坐標(biāo)系下的二元函數(shù)形式和參數(shù)方程形式分別有以下公式：i) 曲面方程ii)曲面參數(shù)方程注：這里的公式都對(duì)函數(shù)有相應(yīng)的微分條件2. 物理應(yīng)用包括求質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和引力等應(yīng)用，積分是研究物理問題的重要工具建立物理量對(duì)應(yīng)的積分公式的一般方法是從基本的物理原理出發(fā)，找到所求量對(duì)應(yīng)的微元，也就是對(duì)應(yīng)積分的被積表達(dá)式了3.結(jié)束語：以上對(duì)多重積分的計(jì)算方法做了個(gè)小結(jié)，關(guān)鍵要在具體的情況下要找到對(duì)應(yīng)的適宜的處理方法處理重