傅里葉變換詳細(xì)講述

1、第三章 傅里葉變換3-1 概述對(duì)于一件復(fù)雜的事情，人們總是從簡(jiǎn)單的一步開(kāi)始做起，富麗堂皇的高樓大廈，是人們一塊磚一塊磚壘起來(lái)的。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解，人們往往也使用“變換分析”這種技巧，所起“變換”大家可能會(huì)感到陌生，其實(shí)我們?cè)谥袑W(xué)時(shí)已經(jīng)運(yùn)用了“變換分析”技巧，大家一定還記得對(duì)數(shù)運(yùn)算，它實(shí)際上也是一種數(shù)學(xué)變換，我們知道兩個(gè)數(shù)的乘積的對(duì)數(shù)等于兩個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)和，兩個(gè)數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)差，利用對(duì)數(shù)這個(gè)運(yùn)算規(guī)則我們可以將數(shù)的乘積運(yùn)算轉(zhuǎn)換（準(zhǔn)確地說(shuō)變換）為數(shù)的加法運(yùn)算，可以將數(shù)的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)換（變換）為數(shù)的減法運(yùn)算，可見(jiàn)“變換分析”給我們解決問(wèn)題帶來(lái)了方便，傅里葉變換就是給我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題極

2、為方便的數(shù)學(xué)工具。線性非時(shí)變系統(tǒng)的卷積分析實(shí)際上是基于將輸入信號(hào)分解為一組加權(quán)延時(shí)的單位沖激（或樣值）激勵(lì)的線性組合。本章將討論信號(hào)和系統(tǒng)的另一種表示，其基本觀點(diǎn)還是將信號(hào)分解為一組簡(jiǎn)單函數(shù)的線性組合，但是這里用的簡(jiǎn)單函數(shù)不是單位沖激（或樣值）而是三角函數(shù)（或復(fù)指數(shù)函數(shù)）。用“三角函數(shù)和”表示信號(hào)的想法至少可以追溯到古代巴比倫時(shí)代，當(dāng)時(shí)他們利用這一想法來(lái)預(yù)測(cè)天體運(yùn)動(dòng)。這一問(wèn)題的近代研究始于1748年，歐拉在振動(dòng)弦的研究中發(fā)現(xiàn)：如果在某一時(shí)刻振動(dòng)弦的形狀是標(biāo)準(zhǔn)振動(dòng)（諧波）模的線性組合，那么在其后任何時(shí)刻，振動(dòng)弦的形狀也是這些振動(dòng)模的線性組合。另外，歐拉還證明了在該線性組合中，其后的加權(quán)系數(shù)可以直

3、接從前面時(shí)間的加權(quán)系數(shù)中導(dǎo)出。歐拉的研究成果表明了：如果一個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)輸入可以表示為周期復(fù)指數(shù)或正弦信號(hào)的線性組合，則輸出也一定能表示成這種形式。圖3-1Jean Baptiste Joseph Fourier傅里葉（17681830）現(xiàn)在大家已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，很多有用的信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合來(lái)表示，但是在18世紀(jì)中期，這一觀點(diǎn)還進(jìn)行著激烈的爭(zhēng)論。1753年D.伯努利（D.Bernoulli）曾聲稱：一根弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用標(biāo)準(zhǔn)（諧波）振蕩模的線性組合來(lái)表示。而以J.L.拉格朗日(J.L.Lagrange)為代表的學(xué)者強(qiáng)烈反對(duì)使用三角級(jí)數(shù)來(lái)研究振動(dòng)弦運(yùn)動(dòng)的主張，他反對(duì)的論據(jù)就是基于他自己

4、的信念，即不可能用三角級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù)。正是在這種多少有些敵意和懷疑的情形下，傅里葉于約半個(gè)世紀(jì)后提出了自己的想法。說(shuō)起傅里葉，多少具有一些傳奇色彩 4。傅里葉于1768年生于法國(guó)的奧塞爾，他是他父親的第十二個(gè)孩子，他母親的第九個(gè)孩子。在他九歲的時(shí)候，他的母親去世了，隨后的一年他的父親也去世了，盡管他的兩個(gè)年幼的兄妹被遺棄到了育嬰堂（可見(jiàn)他生活的艱辛），但他一直未中斷在學(xué)校的學(xué)習(xí)，1780年他進(jìn)入了奧塞爾皇家軍事學(xué)院，13歲的傅里葉在那兒迷上了數(shù)學(xué)，他常在夜間偷偷地到教室，在燭光下刻苦學(xué)習(xí)。傅里葉在學(xué)術(shù)上的成就贏得了當(dāng)?shù)刂鹘痰那嗖A，傅里葉畢業(yè)后就進(jìn)入了教會(huì)，就在他宣誓就任神職前，

5、法國(guó)的大革命爆發(fā)了。傅里葉同大多數(shù)人一樣，投身于建立“一個(gè)不受國(guó)王和教士操縱的自由政府”的事業(yè)，1793年他加入了奧塞爾的革命委員會(huì)。在羅伯斯庇爾政府倒臺(tái)后，傅里葉曾兩次被捕，險(xiǎn)些被送上斷頭臺(tái)。傅里葉在拿破侖時(shí)代被任命為伊澤爾河部的地方長(zhǎng)官，從政14年。盡管傅里葉擔(dān)任著行政長(zhǎng)官職務(wù)，但他從未放棄對(duì)科學(xué)和數(shù)學(xué)研究的興趣，在這期間他構(gòu)思了三角級(jí)數(shù)的想法，這為以后當(dāng)他從行政職務(wù)中退出時(shí)的科學(xué)研究工作奠定了基礎(chǔ)。1807年傅里葉完成了一項(xiàng)研究工作，他發(fā)現(xiàn)表示一個(gè)物體溫度分布時(shí)，成諧波關(guān)系的正弦函數(shù)級(jí)數(shù)是非常有用的，他斷言：“任何”周期信號(hào)都能用這樣的級(jí)數(shù)來(lái)表示。盡管傅里葉本人對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)理論沒(méi)有

6、做出多大的貢獻(xiàn)，但正是因?yàn)楦道锶~洞察到三角級(jí)數(shù)的潛在威力，并且在很大程度上由于他的工作和斷言，才激勵(lì)和推動(dòng)了傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題的深入研究。此外，傅里葉還指出了非周期信號(hào)的表示不是成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和，而是不全成諧波關(guān)系正弦信號(hào)的加權(quán)積分，他的這一觀點(diǎn)比他的任何先驅(qū)者都大大地進(jìn)了一步。遺憾的是由于拉格朗日的反對(duì)，傅里葉的這一研究論文從未公開(kāi)發(fā)表過(guò)，直到1829年（晚了15年）傅里葉才把他的研究成果發(fā)表在“熱的分析理論”一書(shū)中。盡管傅里葉分析起源于傅里葉之前，并且在傅里葉之后也有許多科學(xué)家對(duì)其理論進(jìn)行了完善和發(fā)展，但毫無(wú)疑問(wèn)的是傅里葉本人作為這個(gè)分析理論的邏輯起點(diǎn)是無(wú)可非議的。傅里葉對(duì)數(shù)學(xué)、科

7、學(xué)和我們的日常生活做出的不可估量的影響是有口皆碑的，然而他的偉大貢獻(xiàn)在他生前并沒(méi)得到充分的肯定。傅里葉分析是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容，這里引用傅里葉對(duì)“數(shù)學(xué)分析”作出的論述：數(shù)學(xué)分析規(guī)定了所有可發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，測(cè)量了時(shí)間、空間、力和溫度。這一高深難懂的科學(xué)發(fā)展得非常緩慢，但一旦它得到發(fā)展，便不會(huì)被遺棄59分析將最不相關(guān)的現(xiàn)象連接在一起并發(fā)現(xiàn)結(jié)合它們的隱藏著的相似關(guān)系。如果物質(zhì)如同空氣和光一樣細(xì)微我們無(wú)法抓?。蝗缇薮筇罩械奈矬w離我們遙遠(yuǎn)；如果人類想滿足了解被幾個(gè)世紀(jì)時(shí)光隔斷了的天堂情況的愿望；如果產(chǎn)生于地層深處的重力和溫度發(fā)生了作用而我們又永遠(yuǎn)不能到那個(gè)地方，數(shù)學(xué)分析能抓到掌握這些現(xiàn)象的法則。數(shù)學(xué)分析

8、能使得人類猶如自身具有的能力一樣將這些現(xiàn)象變得現(xiàn)實(shí)并加以測(cè)量，對(duì)人類短促的生命和我們不完善的感知加以補(bǔ)充3-2 信號(hào)的傅里葉變換本章要講述的是信號(hào)的傅里葉變換，所謂傅里葉變換有以下積分定義：（3-1）（3-2）通常稱（3-1）式為傅里葉正變換公式，（3-2）式為傅里葉反變換公式。式中為模擬角頻率，它與實(shí)際頻率有如下關(guān)系：=2f，于是傅里葉變換也可以寫(xiě)成：（3-3）（3-4）通常為復(fù)函數(shù)，可以寫(xiě)成： （3-5）其中，是的幅度函數(shù)，它表示信號(hào)中各頻率下的譜密度的相對(duì)大??；是的相位函數(shù)，它表示了信號(hào)中各頻率成分的相位關(guān)系。在工程技術(shù)中通常也稱為幅度頻譜，為相位頻譜，它們都是頻率的連續(xù)函數(shù)。應(yīng)該指出并

9、非所有信號(hào)函數(shù)都能用（3-1）式或（3-3）式進(jìn)行傅里葉變換的，一般來(lái)講，信號(hào)函數(shù)滿足絕對(duì)可積條件，即（3-6）則信號(hào)可以用（3-1）式或（3-3）式進(jìn)行傅里葉變換。然而（3-6）表示的僅僅是信號(hào)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換的充分條件，并不是必要條件。在引入廣義函數(shù)后，有些不滿足（3-6）式的信號(hào)函數(shù)也可以進(jìn)行傅里葉變換。現(xiàn)在我們研究傅里葉變換與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系，在第一章中我們已經(jīng)介紹了周期函數(shù)可以展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)（注意傅里葉級(jí)數(shù)不等于傅里葉變換）。設(shè)有周期性矩形脈沖信號(hào)，在主值區(qū)間內(nèi)有：圖3-2周期脈沖函數(shù)（3-7）脈沖寬度為，幅度為E，重復(fù)周期為T(mén)，如圖3-2所示。這個(gè)周期性脈沖函數(shù)可以展開(kāi)成傅里葉

10、級(jí)數(shù)（3-8）式中傅里葉系數(shù)為令，通常稱為基波角頻率，則上式可以簡(jiǎn)化為（3-9）圖3-3 周期脈沖函數(shù)的頻譜式中Sa(t)為我們?cè)诘谝徽轮薪榻B的抽樣信號(hào)，顯然Fn是的“函數(shù)”，只不過(guò)這里的頻率變量取基波角頻率的整倍數(shù)，可以理解為在離散頻率上定義的頻域信號(hào)，如圖3-3所示。由以上分析可知，當(dāng)周期信號(hào)的周期變大（趨于非周期）時(shí)，基波角頻率就越小，如圖3-3所示例子中離散譜線的密度增大，同時(shí)譜線的高度也趨于零。如果用周期T乘以（3-9）表示的傅里葉系數(shù)，并令周期T趨于無(wú)窮大（這時(shí)函數(shù)為非周期的），譜線間隔（基波角頻率）也趨于零，于是圖3-3中的譜線密度無(wú)限加密，趨于連續(xù)，離散頻譜趨于譜線的包絡(luò)線，即

11、有（3-10）（3-10）式就是矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換?，F(xiàn)在我們按（3-1）式對(duì)圖3-2所示周期信號(hào)中的主值區(qū)間信號(hào)（矩形脈沖信號(hào)）進(jìn)行傅里葉變換，因主值區(qū)間信號(hào)為（3-11）其傅里葉變換為：上式結(jié)果與（3-10）式結(jié)果完全一致。比較（3-9）式，可以看出傅里葉變換與傅里葉系數(shù)有如下關(guān)系（3-12）以上分析表明：傅里葉變換表示的是傅里葉系數(shù)乘以周期T后的包絡(luò)線，而傅里葉系數(shù)就是在此包絡(luò)線上等間隔取得的樣本。此外，當(dāng)一定，則包絡(luò)線與周期T無(wú)關(guān)。另外一種解釋是，當(dāng)周期信號(hào)的周期T趨于無(wú)窮大時(shí)，周期信號(hào)就變成非周期信號(hào)（周期為無(wú)窮大），原周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)（頻譜分量）的幅值變成無(wú)窮小（趨于零），

12、而譜線密度無(wú)限加密，以至于連續(xù)，在乘以周期T（無(wú)窮大值）后，就變成傅里葉變換，因此傅里葉變換反映的是信號(hào)頻譜的“相對(duì)”大小。上述例子說(shuō)明了對(duì)非周期信號(hào)建立傅里葉表示的基本思想。這就是在建立非周期信號(hào)的傅里葉變換時(shí)，可以把非周期信號(hào)當(dāng)作一個(gè)周期為無(wú)窮大的“周期”信號(hào)，并且將這個(gè)“周期”信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示。當(dāng)這個(gè)“周期”信號(hào)的傅里葉系數(shù)乘以周期時(shí)，傅里葉系數(shù)就是非周期信號(hào)的傅里葉變換。 傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換都是把信號(hào)表示為一組復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，對(duì)由于周期信號(hào)（用的是傅里67葉級(jí)數(shù)），這些復(fù)指數(shù)信號(hào)的幅度為，在成諧波關(guān)系的一組離散點(diǎn)上上出現(xiàn)。對(duì)于非周期信號(hào)（用的是傅里葉變換），這些復(fù)指數(shù)出

13、現(xiàn)在連續(xù)的頻率上，其“幅值”為一個(gè)微量，因?yàn)閷?shí)際上給了我們組成信號(hào)所需要的不同復(fù)指數(shù)函數(shù)的“大小”（幅值）信息，所以通常一個(gè)信號(hào)的傅里葉變換也稱為信號(hào)的頻譜。在給出傅里葉變換公式時(shí)，我們并沒(méi)有對(duì)信號(hào)做出任何限制，在實(shí)際工程中絕大多數(shù)信號(hào)確實(shí)能用傅里葉變換來(lái)分析，但從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹纳厦鎸?duì)傅里葉變換概念的論述中可以看出，傅里葉變換的條件應(yīng)該與傅里葉級(jí)數(shù)存在的條件類似，事實(shí)也是如此。這里給出傅里葉變換的條件，這個(gè)條件也稱為狄里赫利條件（是傅里葉變換的充分條件）：1. 絕對(duì)可積，即（3-12）2. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)最大值和最小值。3. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，并且在

14、每個(gè)不連續(xù)點(diǎn)上信號(hào)都必須取有限值，這時(shí)傅里葉變換收斂于間斷點(diǎn)兩邊函數(shù)值的平均值?，F(xiàn)在介紹常見(jiàn)非周期信號(hào)的傅里葉變換。圖3-4 矩形脈沖信號(hào)及其頻譜1. 矩形脈沖信號(hào)式中，E為脈沖幅度，為脈沖寬度。這個(gè)信號(hào)的傅里葉變換在前面已經(jīng)做了介紹，即為其幅度譜和相位譜分別為2. 單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào)可以表示為或?yàn)橛谑怯懈道锶~變換圖3-5單邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜單邊指數(shù)信號(hào)的幅度譜和相位譜為3. 雙邊奇指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)表示為圖3-6 雙邊奇指數(shù)信號(hào)及其頻譜其中,它的傅里葉變換為其幅度頻譜和相位頻譜為4. 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)的傅里葉變換為根據(jù)沖激函數(shù)的性質(zhì)（1-31）式，上式的積分等于1，即上式說(shuō)明

15、，單位沖激函數(shù)是無(wú)限帶寬的信號(hào)，在整個(gè)頻域內(nèi)頻譜是均勻分布的，這個(gè)頻譜通常稱為“均勻譜”或“白色譜”。5. 單位直流信號(hào)單位直流信號(hào)可以表示為顯然單位直流信號(hào)不滿足狄里赫利條件，故不能直接用積分求出其傅里葉變換。為此我們可以把單位直流信號(hào)看成脈沖幅度為1，脈沖寬度趨于無(wú)窮大的矩形脈沖信號(hào)。前面已經(jīng)求得矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換為，于是單位直流信號(hào)的傅里葉變換為注意到單位沖激函數(shù)的一種定義形式：所以單位直流信號(hào)的傅里葉變換為：圖3-7單位直流信號(hào)及其頻譜6. 符號(hào)函數(shù)若將符號(hào)函數(shù)看成雙邊指數(shù)信號(hào)當(dāng)時(shí)的極限，那么符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換為：所以符號(hào)函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜為圖3-8 符號(hào)函數(shù)及其頻譜7.

16、 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)可以看成是直流信號(hào)與符號(hào)函數(shù)的疊加，即上式兩邊進(jìn)行傅里葉變換，則有代入直流信號(hào)的傅里葉變換和符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換，得圖3-9單位階躍函數(shù)及其頻譜單位階躍函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜為3-3 傅里葉變換的性質(zhì)研究傅里葉變換的性質(zhì)是為了便于了解信號(hào)時(shí)頻域特性的內(nèi)在關(guān)系，以及進(jìn)行傅里葉變換或傅里葉反變換時(shí)簡(jiǎn)化計(jì)算方法。為了方便起見(jiàn)，在討論傅里葉變換性質(zhì)時(shí)采用一些簡(jiǎn)化符號(hào)表示信號(hào)與其變換之間的關(guān)系，即一個(gè)信號(hào)與它的傅里葉變換由下式給出（3-13）（3-14）有時(shí)為了方便用，用表示；也將與之間的傅里葉變換關(guān)系表示成。1. 線性特性若和則（3-15）式中a和b為任意常數(shù)（可以是復(fù)數(shù)）

17、。2. 奇偶性若通常為復(fù)函數(shù)可以表示成式中和分別為的實(shí)部和虛部，根據(jù)傅里葉變換的定義可知（3-16）68（3-17）若為實(shí)函數(shù)，則，因?yàn)榧扔校?-18）于是有（3-19）（3-20）由（3-18）式得（3-21）（3-32）上式說(shuō)明和為W的偶函數(shù)，和為W的奇函數(shù)。 若是實(shí)偶函數(shù)，則是t的奇函數(shù)，（3-17）式積分為零，所以，則（3-33）若是實(shí)奇函數(shù)，則是t的奇函數(shù)，（3-16）式的積分為零，所以，則（3-34）根據(jù)以上討論方法,我們可以對(duì)為虛奇函數(shù)和復(fù)函數(shù)時(shí)，的奇偶性進(jìn)行研究。3. 對(duì)稱性若72則（3-35）這是因?yàn)橛谑菍⑸鲜街械膖與W互換得既有（3-35）式說(shuō)明，信號(hào)的傅里葉變換的傅里葉變

18、換等于這個(gè)信號(hào)函數(shù)的反號(hào)函數(shù)乘以，在前面討論的單位沖激函數(shù)與單位直流信號(hào)之間就滿足這種關(guān)系。即又如求抽樣函數(shù)的傅里葉變換。若直接按傅里葉變換定義來(lái)求很麻煩，利用傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)可以利用矩形脈沖傅里葉變換求解。因?yàn)榱?，則有根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)，有（3-36）從以上兩例我們看到，除了在幅值上差個(gè)比例常數(shù)外，時(shí)域中的單位沖激函數(shù)的傅里葉變換為頻域中的直流函數(shù)，而時(shí)域中的直流函數(shù)的傅里葉變換為頻域中的沖激函數(shù)；時(shí)域中的矩形脈沖函數(shù)的傅里葉變換為頻域中的抽樣函數(shù)，而時(shí)域中的抽樣函數(shù)的傅里葉變換為頻域中的矩形脈沖函數(shù)。傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)是由傅里葉變換公式的對(duì)稱性所決定的，有時(shí)我們也稱對(duì)稱性為傅里

19、葉變換的對(duì)偶性。4. 尺度變換特性若則（3-37）尺度變換特性是傅里葉分析理論中的一個(gè)重要特性，它表明時(shí)間的伸縮必將導(dǎo)致頻率的伸縮，但是時(shí)間的伸縮與頻率的伸縮是相反的，即當(dāng)時(shí)，是的壓縮圖形（相當(dāng)于時(shí)間的擴(kuò)展），而則是圖形的擴(kuò)展（相當(dāng)于頻率壓縮），另外要注意，在頻率圖形擴(kuò)展的同時(shí)，頻譜的幅度也成比例減小，如圖3-10所示。特別是當(dāng)時(shí)，有圖3-10 函數(shù)的尺度變換及其傅里葉變換（3-38）上式說(shuō)明，在時(shí)間上反轉(zhuǎn)一個(gè)信號(hào)，它的傅里葉變換也反轉(zhuǎn)。5. 時(shí)移特性若則（3-39）式中是可正可負(fù)的常數(shù)。（3-39）式關(guān)系可以這樣來(lái)得到，因?yàn)榧扔羞@個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，信號(hào)在時(shí)間上的移位，并不改變它的傅里葉變換的模（信

20、號(hào)的幅度頻譜），而僅僅引入了一個(gè)相移，這個(gè)相移與頻率成線性關(guān)系。6. 頻移特性若則（3-40）式中為可正可負(fù)的常數(shù)。（3-40）式可以這樣來(lái)證明，注意與時(shí)移特性比較，在時(shí)域中信號(hào)平移，在頻域中就乘以因子，而在頻域中平移，則在時(shí)域中也乘以因子，所不同的是所乘因子的指數(shù)符號(hào)有所不同。通常在通訊理論中把時(shí)間信號(hào)乘以因子稱為信號(hào)的調(diào)制。由此可見(jiàn)信號(hào)調(diào)制的本質(zhì)是將某一頻帶內(nèi)的信號(hào)移至另一個(gè)頻帶（即信號(hào)的頻移）。利用頻域平移特性很容易得到正弦信號(hào)的傅里葉變換，因?yàn)橛谑嵌涂梢钥闯芍绷餍盘?hào)受和的調(diào)制，已知直流信號(hào)的傅里葉變換為所以（3-41）（3-42）注意這個(gè)例子同時(shí)也說(shuō)明了正弦信號(hào)的頻譜是兩根沖激譜線，

21、如圖3-11所示。7. 微分特性若則上式兩邊求導(dǎo)有：圖3-11正弦信號(hào)的頻譜即（3-41）這是一個(gè)重要特性，它將時(shí)域中的求導(dǎo)數(shù)變成頻域中的頻譜與的乘積。8. 積分特性若則（3-42）上式右邊的沖激函數(shù)項(xiàng)反映了由積分產(chǎn)生的直流（均值）。證明：交換上式中的積分次序有上式中方括弧中的積分為階躍函數(shù)的傅里葉變換，因?yàn)?6則于是證畢。3-4 卷積定理若則（3-43）上式說(shuō)明時(shí)域卷積信號(hào)的傅里葉變換等于信號(hào)傅里葉變換的乘積，（3-43）式稱為時(shí)域卷積定理。證明：因?yàn)樯鲜絻蛇呥M(jìn)行傅里葉變換，有交換積分次序上式中方括弧中的積分就是的傅里葉變換，即上式中的積分就是的傅里葉變換，即證畢。類似于（3-43）式關(guān)系，

22、還有頻域卷積定理，即若則（3-44）上式說(shuō)明，時(shí)域中兩個(gè)信號(hào)乘積的傅里葉變換等于這兩個(gè)信號(hào)傅里葉變換的卷積并乘以。證明：因?yàn)樯鲜絻蛇吳蟾道锶~逆變換，有交換上式中的積分次序上式中方括號(hào)中的積分就是的逆傅里葉變換，既有上式中方括號(hào)中的積分就是的逆傅里葉變換，所以證畢。在第二章已經(jīng)介紹了線性時(shí)不變系統(tǒng)的概念，線性非時(shí)變系統(tǒng)的一個(gè)重要特性是已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)于任何輸入的響應(yīng)可以用卷積求出，即運(yùn)用傅里葉變換的時(shí)域卷積定理，有（3-45）式中（3-45）式說(shuō)明，線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)的傅里葉變換等于輸入信號(hào)的傅里葉變換與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)傅里葉變換的乘積。注意到（3-45）式中系統(tǒng)的單

23、位沖激響應(yīng)與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，給定線性時(shí)不變系統(tǒng)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，因此它的傅里葉變換也是一定的，即只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與輸入毫無(wú)關(guān)系，這就是說(shuō)從頻域反映了線性時(shí)不變系統(tǒng)的固有特性，我們稱之為系統(tǒng)的頻率特性或系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)系統(tǒng)頻率響應(yīng)的重要性，我們來(lái)研究系統(tǒng)輸入為復(fù)指數(shù)信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，這里k為整常數(shù)，為任意常數(shù)，假定線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為，即有。求解系統(tǒng)的輸出可以用輸入信號(hào)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)卷積的方法，也可以用前面介紹的傅里葉變換的時(shí)域卷積定理，這里選用后一種方法。先求出輸入信號(hào)的傅里葉變換，因?yàn)檩斎胄盘?hào)可以看成與直流信號(hào)的乘積，根

24、據(jù)傅里葉變換的頻移特性，有則因此根據(jù)沖激函數(shù)的取樣特性，上式可以寫(xiě)成特征函數(shù)5一個(gè)信號(hào)，若系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)的輸出響應(yīng)僅是一個(gè)常數(shù)（可以是復(fù)數(shù)）乘以輸入，則稱該信號(hào)為系統(tǒng)的特征函數(shù)，而幅度因子稱為系統(tǒng)的特征值。線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征函數(shù)是復(fù)指數(shù)函數(shù)。所以以上分析表明，對(duì)于輸入線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)為，這里為復(fù)常數(shù)，因此指數(shù)函數(shù)通常稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果將寫(xiě)成指數(shù)形式于是與輸入比較可見(jiàn)輸入輸出具有相同的形式，只是輸出幅值比輸入擴(kuò)大（實(shí)際可能是縮?。?了倍，相位增加了弧度，所以實(shí)際上反映了線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)頻率為復(fù)指數(shù)信號(hào)的傳輸能力，當(dāng)k取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)的和也取相應(yīng)的值，也就是說(shuō)在知道了線性時(shí)不變

25、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)后，系統(tǒng)對(duì)各次諧波的傳輸能力也就確定了。對(duì)于任意給定的周期為T(mén)的周期信號(hào)可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，即式中為基波角頻率，為傅里葉系數(shù)，可以是復(fù)數(shù)，由下式確定根據(jù)前面分析的結(jié)果，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)這個(gè)周期信號(hào)的每個(gè)分量的相應(yīng)為于是系統(tǒng)的輸出為對(duì)于非周期信號(hào)，上式中的趨于連續(xù)變量，信號(hào)的傅里葉系數(shù)就趨于信號(hào)的傅里葉變換， 求和就變成積分，即有因?yàn)樗詫?shí)際上，上式關(guān)系就是傅里葉變換的時(shí)域卷積定理所說(shuō)表明的結(jié)果?，F(xiàn)在再來(lái)討論一個(gè)例子，設(shè)有一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，它的單位沖激相應(yīng)為這個(gè)系統(tǒng)對(duì)任何輸入的響應(yīng)可以由卷積求出，即因?yàn)樗钥梢?jiàn)該系統(tǒng)是個(gè)延時(shí)系統(tǒng)（僅對(duì)輸入信號(hào)產(chǎn)生一個(gè)延時(shí)）。而系統(tǒng)單位沖激響

26、應(yīng)的傅里葉變換為由上式可知，系統(tǒng)頻率響應(yīng)的模為1，而相頻特性為，即相位與頻率成線性關(guān)系，這個(gè)結(jié)論很重要，具有普遍意義?？疾煲粋€(gè)微分系統(tǒng)，即線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系由下式給出上式兩邊取傅里葉變換，由傅里葉變換的微分定性質(zhì)得所以微分系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為考察一個(gè)積分系統(tǒng)，即線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系由下式給出上式兩邊取傅里葉變換，由傅里葉變換的積分性質(zhì)得所以積分系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為。延時(shí)器、微分器和積分器是控制系統(tǒng)中常見(jiàn)的基本單元，我們討論它們的頻率響應(yīng)有著極為重要的理論意義和實(shí)踐價(jià)值。3-5 周期信號(hào)的傅里葉變換對(duì)于周期信號(hào)不能直接用傅里葉積分求傅里葉變換，但周期信號(hào)可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，即有式中，

27、T為周期信號(hào)的周期。上式兩邊求傅里葉變換，因?yàn)?，所以上式說(shuō)明，周期信號(hào)在頻域上是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。換言之，一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為的周期信號(hào)的傅里葉變換，可以看成是出現(xiàn)在諧波關(guān)系的頻率上的一串沖激函數(shù)，發(fā)生于第k次諧波頻率上的沖激函數(shù)的面積是第k個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的倍。現(xiàn)在討論一個(gè)有用的例子，已知一個(gè)周期為T(mén)的周期性沖激串（如圖3-12所示）（3-46）這個(gè)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為圖3-12周期性沖激串所以它的傅里葉變換為圖3-13 周期性沖激串的頻譜由此可見(jiàn)，在時(shí)域周期為T(mén)的周期沖激串的傅里葉變換在頻域是一個(gè)周期為的周期沖激串，如圖3-13所示，注意到當(dāng)T增大時(shí)

28、，減小，即時(shí)域中沖激密度（也就是周期）增大時(shí)，頻域中沖激密度（即基波頻率）就減小，這再一次表明了時(shí)域與頻域間存在的相反關(guān)系。3-6 抽樣信號(hào)的傅里葉變換與抽樣定理圖3-14典型數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)基本框架由于數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)具有許多模擬信號(hào)處理技術(shù)所無(wú)法得到優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的運(yùn)用極為普遍，然而我們并不能用數(shù)字技術(shù)實(shí)現(xiàn)所有模擬技術(shù)所能做的所有事（盡管有這樣的趨勢(shì)），所以在高科技領(lǐng)域中我們采用數(shù)字和模擬技術(shù)相結(jié)合方式處理信號(hào)，圖3-14給出了典型的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的基本框架。83圖3-14中限帶濾波器的作用是濾除模擬信號(hào)的高頻成分、調(diào)整信號(hào)電平至合適的范圍，這時(shí)輸出的信號(hào)還是連續(xù)時(shí)

29、間信號(hào)；模-數(shù)轉(zhuǎn)換器的作用是將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換（抽樣）為數(shù)字信號(hào)，這時(shí)得到的是離散信號(hào)（準(zhǔn)確地說(shuō)是數(shù)字信號(hào)）；數(shù)字處理器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理（加工），這時(shí)信號(hào)仍然是離散的；數(shù)-模轉(zhuǎn)換器將離散信號(hào)（準(zhǔn)確地講是數(shù)字信號(hào)）轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)，這時(shí)信號(hào)又變?yōu)檫B續(xù)；平滑濾波器將連續(xù)信號(hào)中多余的高頻分量濾除，并進(jìn)行信號(hào)電平調(diào)整，這時(shí)信號(hào)為模擬信號(hào)。根據(jù)上述系統(tǒng)的介紹不禁會(huì)產(chǎn)生這樣的問(wèn)題：信號(hào)是傳載信息的，一個(gè)模擬信號(hào)經(jīng)上述處理后會(huì)不會(huì)丟失信息呢？這個(gè)問(wèn)題又有兩個(gè)內(nèi)涵，第一是將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)變成離散信號(hào)（數(shù)字信號(hào)）會(huì)不會(huì)丟失信息？第二是將離散信號(hào)（數(shù)字信號(hào)）恢復(fù)為模擬信號(hào)后，能不能從恢復(fù)模擬信號(hào)中得到需要的信息，觀察信號(hào)中是

30、否丟失信息，通常通過(guò)兩個(gè)方面來(lái)判別，一是觀察這兩個(gè)信號(hào)的頻譜是否一致，二是能否從一個(gè)信號(hào)恢復(fù)出另一個(gè)信號(hào)。下面我們研究信號(hào)的采樣過(guò)程及其數(shù)學(xué)描述。1. 時(shí)域抽樣在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用該信號(hào)在等間隔點(diǎn)上的樣值或樣本來(lái)表示，并且可以用這些樣本值把原連續(xù)信號(hào)全部恢復(fù)出來(lái)，這就是抽樣定理所要表述的意思。抽樣定理給我們用離散信號(hào)（或數(shù)字信號(hào)）表示連續(xù)信號(hào)提供了理論依據(jù)。設(shè)有連續(xù)信號(hào)，每間隔時(shí)間T抽取一個(gè)樣本值，所得的一系列樣本值構(gòu)成一個(gè)序列，既（3-47）信號(hào)的抽樣過(guò)程可以看成原信號(hào)與一個(gè)抽樣脈沖序列相乘的結(jié)果，即（3-48）如果為周期信號(hào)，它的周期通常稱為抽樣周期，抽樣周期的倒數(shù)稱為抽樣

31、頻率，而稱為抽樣角頻率。由于為周期信號(hào)，其傅里葉變換為（3-49）其中，為的傅里葉系數(shù)，即（3-50）當(dāng)抽樣函數(shù)為矩形脈沖序列時(shí)（見(jiàn)圖3-2所示），每個(gè)矩形高度為E，寬度為，則矩形脈沖的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為若取，則（3-51）于是（3-52）因?yàn)楦鶕?jù)頻域卷積定理有式中將（3-52）式代入上式得84現(xiàn)在介紹限帶信號(hào)的概念，如果一個(gè)信號(hào)的頻譜僅在有限頻域區(qū)間上取非零值，即（3-53）則這個(gè)信號(hào)稱為限帶信號(hào)，有時(shí)候也稱為帶限信號(hào)。假設(shè)被抽樣信號(hào)是個(gè)限帶信號(hào)，具有如圖3-15所示頻譜（這里僅考慮幅度頻譜），則抽樣信號(hào)的頻譜為圖3-15限帶信號(hào)頻譜式中抽樣矩形脈沖寬度，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)設(shè)，既有圖3-16抽樣信號(hào)

32、波形圖3-17矩形抽樣信號(hào)的頻譜式中具有圖3-16所示圖形。假定，則可以畫(huà)出抽樣信號(hào)的頻譜如圖3-17所示。從圖3-17可以看出，用矩形脈沖抽樣時(shí)（這是最接近工程實(shí)際情況），在以為間隔的離散點(diǎn)上重復(fù)原信號(hào)頻譜，其幅度以抽樣函數(shù)的規(guī)律變化。當(dāng)抽樣函數(shù)為沖激函數(shù)序列時(shí)（見(jiàn)圖3-12所示），即（3-54）圖3-18給出了沖激函數(shù)序列的圖形，顯然沖激函數(shù)序列也是個(gè)周期函數(shù)，周期為（抽樣周期），傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為圖3-18沖激函數(shù)序列所以這里我們?nèi)约僭O(shè)，這時(shí)抽樣信號(hào)的頻譜如圖3-19所示。圖3-19沖激函數(shù)抽樣信號(hào)的頻譜由于沖激函數(shù)的頻譜為直流函數(shù)，所以信號(hào)在沖激函數(shù)序列的調(diào)制下，原信號(hào)的頻譜在以為間隔的

33、離散點(diǎn)上重復(fù)原信號(hào)頻譜，但其形狀不變，幅值乘以一個(gè)常數(shù)（與抽樣周期有關(guān)）。2. 頻域抽樣現(xiàn)在討論一個(gè)對(duì)稱的問(wèn)題，信號(hào)的頻域抽樣。運(yùn)用數(shù)字信號(hào)處理理論對(duì)信號(hào)處理有時(shí)不僅要對(duì)時(shí)域信號(hào)處理，而且也要對(duì)頻域信號(hào)進(jìn)行處理，為了能用數(shù)字信號(hào)表示連續(xù)頻域信號(hào)，需要對(duì)連續(xù)的頻域信號(hào)進(jìn)行抽樣。設(shè)這里是連續(xù)頻域變量，現(xiàn)以間隔為的頻域沖激序列進(jìn)行抽樣，即頻域抽樣信號(hào)為（3-55）因?yàn)椋?-56）式中。根據(jù)頻域卷積定理有圖3-20時(shí)限信號(hào)（3-57）圖3-21頻域抽樣信號(hào)的時(shí)域波形上式表明，連續(xù)信號(hào)的頻譜在頻域進(jìn)行沖激抽樣（理想抽樣）后，其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)是以為間隔的周期性函數(shù)。如果為時(shí)間受限信號(hào)（在有限時(shí)間區(qū)間上取非零值），即設(shè)為時(shí)限信號(hào)，具有如圖3-20所示圖形。根據(jù)（3-57）式，頻域抽樣信號(hào)的時(shí)域圖形如圖3-21所示。3. 抽樣定理時(shí)域抽樣定理：設(shè)是個(gè)帶限信號(hào)，在時(shí)，。如果抽樣頻率，其中，那么就唯一地由其樣本所確定。已知這樣的樣本值，我們能用如下的辦法重建：產(chǎn)生一個(gè)周期沖激串，其沖激幅度就是這些一次而來(lái)的樣本值；然后將該沖激串通過(guò)一個(gè)增益為T(mén)s，截至頻率為大于，而小于的理想低通濾波器，該濾波器的輸出就是在抽樣定理中，抽樣頻率必須大于，該頻率通常稱為奈奎斯特率，對(duì)