隨機(jī)過程(4.3)第4章第3節(jié)西電宋月

1、各態(tài)歷經(jīng)性是各態(tài)歷經(jīng)性是1931年在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中提出來的年在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中提出來的,它的它的直觀意義是直觀意義是一個(gè)平穩(wěn)過程如果是各態(tài)歷經(jīng)的一個(gè)平穩(wěn)過程如果是各態(tài)歷經(jīng)的,則它的每一個(gè)樣本則它的每一個(gè)樣本函數(shù)幾乎必須經(jīng)歷它所具有的各種狀態(tài)函數(shù)幾乎必須經(jīng)歷它所具有的各種狀態(tài).3 平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性時(shí)間平均定義時(shí)間平均定義設(shè)X(t), -t+ 是平穩(wěn)過程,若均方極限1( ). .( )2TTTX tl i mX t dtT存在則稱為X(t), -t+ 在(-,+ )上的時(shí)間平均時(shí)間平均.1. 各態(tài)歷經(jīng)的定義各態(tài)歷經(jīng)的定義若對任意固定的R,均方極限1( )(). .( )()2TTTX

2、 t X tl i mX t X tdtT存在則稱為X(t), -t+ 在(-,+ )上的時(shí)間相關(guān)函數(shù)時(shí)間相關(guān)函數(shù).時(shí)間相關(guān)函數(shù)定義時(shí)間相關(guān)函數(shù)定義對參數(shù)集為對參數(shù)集為t0的平穩(wěn)過程的平穩(wěn)過程, 即即X(t), t0.01( ). .( )TTX tl i mX t dtT時(shí)間平均時(shí)間平均時(shí)間相關(guān)函數(shù)時(shí)間相關(guān)函數(shù)01( )(). .( )()TTX t X tl i mX t X tdtT各態(tài)歷經(jīng)性定義各態(tài)歷經(jīng)性定義設(shè)X(t), -t+ 是平穩(wěn)過程(1) 若以概率若以概率1有有 =mX(t)則稱則稱X(t), -t+ 的的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性均值具有各態(tài)歷經(jīng)性. .(2) 若對任意的若對任意的R

3、,R,以概率以概率1 1有有 =RX()則稱則稱X(t), -t+ 的的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性性.若平穩(wěn)過程若平穩(wěn)過程X(t), -t+ 的均值函數(shù)的均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)與相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài) 歷經(jīng)性歷經(jīng)性,則則稱稱X(t), -t+ 具有各態(tài)歷經(jīng)性具有各態(tài)歷經(jīng)性.或或稱稱X(t), -t+ 是是各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程.舉例舉例1( )cos(),U0 2 ( ),.X tattaX tt 設(shè)其中為常數(shù)， ，試研究的各態(tài)歷經(jīng)性解解2( )0,( ,)cos2XXamtRt t即過程是平穩(wěn)過程.1( ). .( )2TTTX tl i mX t dtT由定義:1. .

4、cos()2TTTl i matdtT. .(coscossinsin)2TTTal i mttdtT0. .coscosTTal i mtdtTcossin. .0TaTl i mT2Tcossinlim E0aTT1( )(). .( )()2TTTX t X tl i mX t X tdtT由定義2. .cos()cos( ()2TTTal i mttdtT2. .cos(22 )cos4TTTtal i mdtT 22. . sin2cos(2 )cos42TTaal i mT 2cos2a22Tlim Esin2cos(2 )04TTa ( ),X tt 具有各態(tài)歷經(jīng)性.舉例舉例2(

5、 ),1(),1,2,33( ),.X tXtXP XiiX tt 設(shè)其中 具有概率分布試討論的各態(tài)歷經(jīng)性解解214( )2,( ,)E3XXmtRt tX即過程是平穩(wěn)過程1( ). .( )2TTTX tl i mX t dtT而1. .2TTTl i mXdtTX1( )(). .( )()2TTTX t X tl i mX t X tdtT21. .2TTTl i mX dtT2X2142113P XP X顯然 （） 和（） 不成立( ),X tt 不具有各態(tài)歷經(jīng)性.2. 均值各態(tài)歷經(jīng)的判定均值各態(tài)歷經(jīng)的判定定理定理1設(shè)設(shè)X(t), -t+ 是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程,則則 X(t), -t+

6、 均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是充要條件是221lim(1)( )022TXTTCdTT證明證明由定義 X(t), -t+ 均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件充要條件是()1( )XX tPm而上式成立的充要條件充要條件是)0(X tD 1l.i.m)( )2(TTTXDDX t dtTt 又1lim( )2TTTDX t dtT1( )2TTDX t dtT由方差定義2E11E( )2)(2TTTTX t dtdtTTX tE ( )XX tm21E( )2TXTX tmdtT再由模的定義再由模的定義21E( )( )4TTXXTTX smdsX tmdtT21E( )( )4

7、TTXXTTX smX tmdsdtT 21( , )4TTXTTCs t dsdtT 21()4TTXTTCts dsdtT 1212(),()svuutstvuvts 令則11( , )221( , )21122s tu vJ 21( )4XDCu J dudvTuv2T2T2T2T2uvT2uvT 2vuT2vuT DD新積分區(qū)域0222211( )42T uXTT uduCu dvT（vu（先 后 積分）2202( )TT uXT uduCu dv0221( )(42 )8XTCuTu duT（20( )(42 )TXCuTu du021( )(1)22XTuCuduTT20( )(1

8、)2TXCuduuTuu uu221(1)( )22TXTCu duTTu221(1)( )22TXTCdTT221lim(1)( )(2)2TXTTDCdTtTX所以 X(t), -t+ 均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是221lim(1)( )022TXTTCdTT1. 若X(t), -t+ 是實(shí)實(shí)平穩(wěn)過程,則均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是201lim(1)( )02TXTCdTT一些推論一些推論( )XC此時(shí)為偶函數(shù)2. 對參數(shù)集為t0的平穩(wěn)過程 X(t), t0,均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是1lim(1)( )0TXTTCdTT02lim(1)( )0TXTCdTT特別當(dāng)X(t), t0

9、為實(shí)實(shí)平穩(wěn)過程,則相應(yīng)結(jié)論為舉例舉例1設(shè)設(shè)X(t),t0是只取是只取1兩個(gè)值的隨機(jī)過程兩個(gè)值的隨機(jī)過程,其符號的改變次數(shù)是一參數(shù)為其符號的改變次數(shù)是一參數(shù)為的的PoissonPoisson過程過程N(yùn)(t),tN(t),t0,且對任意的且對任意的t0,P(X(t)=1)=P(X(t)=1)=1/2.試討論試討論X(t),t0均值的各態(tài)歷經(jīng)性均值的各態(tài)歷經(jīng)性.解解20,( ,).XXmRt te為平穩(wěn)過程2( )XCe20022lim(1)( )lim(1)TTXTTCdedTTTT211lim(1)02TTeTT所以所以X(t),t0的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性.舉例舉例22( )c

10、ossin,N(0,)( ),.X tAtBtA BttX t 設(shè)其中相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量， 常數(shù).試討論均值的各態(tài)歷經(jīng)性20,( ,)cos.XXmRt t為平穩(wěn)過程解解221lim(1)( )22TXTTCdTT2( )cosXC2221lim(1)cos22TTTdTT 221 cos2lim()02TTTT( ),.X tt 所以的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性lim( )0XC則 X(t), -t+ 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性. 定理定理2 設(shè)X(t), -t+ 是平穩(wěn)過程,如果 證明證明lim( )0XC110,0T,(T)XC 對當(dāng)時(shí)，有2222110(1)( )(1)( )222

11、2TTXXTTCdCdTTTT又221( )2TXTCdT11,22TTTT現(xiàn)限制:即2T2T1T1T0111211( )( )22TXXTTTCdCdTT11112(0)2(2)22XTCTTTT1(0)2XTCT11max(0),2MXTTTC取MTT則時(shí)，1(0)23XTCT221lim(1)( )022TXTTCdTT即所以所以 X(t), -t+ 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性.3. 相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性的判定相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性的判定設(shè)X(t), -t+ 是平穩(wěn)過程,令( )( )(),Y tX t X tt E ( )E( )()XY tX t X tR則( )，所以所以X

12、(t), -t+ 的的相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性的討論的討論可轉(zhuǎn)化為對過程可轉(zhuǎn)化為對過程Y(t), -t+ 的的均值各態(tài)歷經(jīng)性均值各態(tài)歷經(jīng)性的討論的討論.( )( )Xm tRY即同時(shí)還要求同時(shí)還要求Y(t), -t+ 是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程.定理定理3 設(shè)X(t), -t+ ,以及對任意固定的, Y(t), -t+ 均為平穩(wěn)過程,則X(t), -t+ 的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是2221lim(1)( )( ) )022TYXTTuR uRduTT（證明證明22( )( )( )(YYYYXCuR uRR um因?yàn)橛删蹈鲬B(tài)歷經(jīng)性的充要條件221lim(1)0,22T

13、TYTCuduTTu( )即222( )(1lim(1)02) )2TYTXTR uRuduTT（1. 設(shè)X(t),tR,以及對任意固定的, Y(t),tR,均為 實(shí)實(shí)平穩(wěn)過程,則X(t),tR的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng) 性的充要條件是2201lim(1)( )( )02TYXTuR uRduTT（一些推論一些推論2. 對參數(shù)集為t0的平穩(wěn)過程 X(t), t0,其相關(guān)函數(shù) 具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是21lim(1)( )( ) )0TYXTTuR uRduTT（特別X(t), t0為實(shí)平穩(wěn)過程,則其相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是202lim(1)( )( )0TYXTuR uRduTT（例例

14、. 設(shè)X(t),tR,為實(shí)平穩(wěn)的正態(tài)過程,若lim( )0XR則 X(t),tR的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性.證明證明( )( )(),Y tX t X tt 令E ( )E ( )()Y tX t X t則,XRt ( )，與t無關(guān)常數(shù).R ( ,)E ( ) ()Yt tY t YutuE ( )()()()X t X tX tX tuu以上為四維正態(tài)變量積的期望.它等于兩兩二階原點(diǎn)矩的積之和.(第一章14題）22( )( )()()XXXXRRuRuRutu與 無關(guān)，僅與 有關(guān). ( ),.Y tt 為平穩(wěn)過程2( )( )YYYCuR um又2lim( )lim( )YYYuuCuR um

15、222lim( )( )()()XXXXYuRRuRuRumlim( )0XR（）0 ( ),.Y tt 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性( ),.X tt 即的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性例：設(shè)均方連續(xù)的平穩(wěn)過程 X ( t) , - t 的期望為m、自相關(guān)函數(shù)為R()、協(xié)方差為C() , 試證:若R| C() | d , 則X 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性.221lim(1)( )022TXTTCdTT例例：設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程X ( t) = Asin t + Bcos t, - t , 其中其中A、B 是相互獨(dú)立的均值為零、方差為是相互獨(dú)立的均值為零、方差為2 的高斯的高斯(正態(tài)正態(tài))隨機(jī)變量隨機(jī)變量,試問試問

16、:(1 ) X( t)的均值是否各態(tài)歷經(jīng)的均值是否各態(tài)歷經(jīng)?(2 ) X( t)的均方值是否各態(tài)歷經(jīng)的均方值是否各態(tài)歷經(jīng)?解：由題意容易得到解：由題意容易得到E X( t) = E Asin t + EBcos t = 0 ,RX ( s, t) = E X( s) X ( t) = E( Asin s+ Bcos s) ( Asin t + Bcos t)= E( A2 sin ssin t + A Bsin scos t+ A Bcos ssin t + B2 cos scos t) =2 cos ( s - t)故故X( t)是是平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程.X( t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的均值具有

17、各態(tài)歷經(jīng)性.或者也可以用或者也可以用定義判斷如下：定義判斷如下：EY( t+) Y( t) = E A2 sin2( t +) + B2 cos2( t +）記Y( t) = X2 ( t) , 則E Y ( t) = E X2 ( t) =2 = mY+ ABsin 2( t+) A2 sin2t+ B2 cos2t+ ABsin 2t= 34 sin2t sin2( t + ) +4 sin2t cos2( t + )+4 cos2t sin2( t +) + 34 cos2t cos2( t+)+ 44 sin t cos t sin ( t + ) cos ( t +)= 24 sin

18、2t sin2( t + ) +4 sin2( t + )+ 4 cos2( t + ) + 24 cos2t cos2( t +)+ 44 sin t cos t cos ( t +) sin ( t + )= 24 cos2+4 = RY () .由此可見由此可見Y( t) 是平穩(wěn)的是平穩(wěn)的.RY () - mY 2= 24 cos2+4 - 4 = 24 cos2.于是就有于是就有Y( t) 的的均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性, 也即也即X( t) 的的均方均方值不具有各態(tài)歷經(jīng)性值不具有各態(tài)歷經(jīng)性.4. 各態(tài)歷經(jīng)性的應(yīng)用各態(tài)歷經(jīng)性的應(yīng)用一般，要在理論上驗(yàn)證一個(gè)平穩(wěn)過程的是非一般，要在理論上驗(yàn)證一個(gè)平穩(wěn)過程的是非具有各態(tài)歷經(jīng)性是很困難的。具有各態(tài)歷經(jīng)性是很困難的。例例：設(shè)：設(shè)X(t)，t0是具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過是具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過程，程，x(t)是是X的一個(gè)樣本函數(shù)，試用樣本函數(shù)的一個(gè)樣本函數(shù)，試用樣本函數(shù)x(t)近似估計(jì)近似估計(jì)X的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù).解解：由于X的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性，即以概率1有01. .( )TXTml i mX t dtT采用將采用將0,t等分的方式計(jì)算上式中的積分，即等分的方式計(jì)算上式中的積分，即01