力學(xué)競賽輔導(dǎo)講義4.8

1、力學(xué)競賽輔導(dǎo)講義碰撞一、內(nèi)容要點精講1、碰撞的定義兩個或兩個以上相對運動的物體在瞬間接觸，速度發(fā)生突然改變的力學(xué)現(xiàn)象稱為碰撞。2、碰撞現(xiàn)象的基本特征碰撞過程時間極短碰撞物體在這一過程中的位移可略去不計，但速度可產(chǎn)生有限變化。碰撞時產(chǎn)生的碰撞力可能極大并發(fā)生急劇變化，難以測量。通常用碰撞力在碰撞過程中的沖量來度量碰撞的強弱，碰撞沖量為 式中，和分別是物體作為質(zhì)點在碰撞開始瞬時和碰撞結(jié)束瞬時的速度。3、研究碰撞問題的兩點基本假設(shè)(1)在碰撞過程中，普通力（非碰撞力）的沖量忽略不計；(2)在碰撞過程中，物體的位移忽略不計。4、碰撞過程的兩個階段(1)變形階段。從兩個物體開始接觸到兩者接觸點處沿公法線

2、方向無相對速度為止這時變形獲得最大值。(2)恢復(fù)階段。從兩個物體接觸點處在公法線方向獲得分離速度到兩個物體脫離接觸為止。在這階段中物體的變形得到部分或全部恢復(fù)。5、碰撞的分類碰撞時兩物體間的相互作用力，稱為碰撞力。（1）按物體的相處位置分類對心碰撞與偏心碰撞：若碰撞力的作用線通過兩物體的質(zhì)心，稱為對心碰撞，否則稱為偏心碰撞。見下圖(a),圖(b)正碰撞、斜碰撞：若兩物體碰撞時各自質(zhì)心的速度均沿著接觸處的公法線，稱為正碰撞；否則稱為斜碰撞。下圖中，AA表示兩物體在接觸處的公切面，BB為其在接觸處的公法線(2) 按其接觸處有無摩擦，分為光滑碰撞與非光滑碰撞。(3) 按物體碰撞后變形的恢復(fù)程度(或能

3、量有無損失)，可分為完全彈性碰撞、彈性碰撞與塑性碰撞。（，完全彈性碰撞；，非彈性碰撞或塑性碰撞；,彈性碰撞）6、恢復(fù)因數(shù)K恢復(fù)因數(shù)K表示物體在碰撞后速度的恢復(fù)程度，也表示物體變形恢復(fù)的程度，并反映出碰撞過程中機械能損失的程度。（1）正碰撞k 式中和分別表示碰撞開始和碰撞結(jié)束時質(zhì)心的速度。（2）斜碰撞k式中分別是入射角和反射角（3）兩物體相互碰撞式中分別為兩物體的碰撞點在碰撞結(jié)束和碰撞開始時沿接觸面法線方向的相對速度。7、解決碰撞問題的基本定理一般采用動量定理和動量矩定理的積分形式，來確定力的作用與運動變化的關(guān)系。（1）用于碰撞過程的動量定理沖量定理上式用于碰撞過程的質(zhì)點系動量定理，又稱為沖量定

4、理: 質(zhì)點系在碰撞開始和結(jié)束時動量的變化，等于作用于質(zhì)點系的外碰撞沖量的主矢（公式中不計普通力的沖量）或 式中和分別是碰撞開始和結(jié)束時質(zhì)心的速度。上式稱為碰撞時的質(zhì)心沖量定理。（2）用于碰撞過程的動量矩定理沖量矩定理或 上式用于碰撞過程的動量矩定理，又稱為沖量矩定理:質(zhì)點系在碰撞開始和結(jié)束時對任一點O（或軸）的動量矩的變化，等于作用于質(zhì)點系的外碰撞沖量對同一點（或軸）的矢量和（或代數(shù)和）。對于剛體統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動的情形，上式可寫為式中分別表示剛體在碰撞結(jié)束瞬時和開始瞬時的角速度，是剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量。當(dāng)外碰撞沖量對某點或某軸)的矩的矢量和(或代數(shù)和)等于零時，則質(zhì)點系對該點(或該軸)的動量短守恒。（

5、3）剛體平面運動的碰撞方程(用于剛體平面運動碰撞過程中的基本定理) 式中分別為平面運動剛體碰撞前后的角速度。8、撞擊中心如圖所示，若剛體具有與轉(zhuǎn)軸垂直的對稱面，欲使其在外碰撞沖量作用下，轉(zhuǎn)軸處不產(chǎn)生碰撞沖量，則外碰撞沖量必須作用在物體的對稱平面內(nèi)，且垂直于質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸的連線，的作用線到轉(zhuǎn)軸的距離為則稱點K稱為撞擊中心。即：當(dāng)外碰撞沖量作用于物體質(zhì)量對稱平面內(nèi)的撞擊中心，且垂直于軸承中心與質(zhì)心的連線時，在軸承處不引起碰撞沖量。二、知識結(jié)構(gòu)圖解三、習(xí)題分類解題步驟1、習(xí)題分類(1)含有對心碰撞或正碰撞的動力學(xué)問題。(2)含有平面偏心碰撞或平面斜碰撞的動力學(xué)問題。2、解題步驟和要點(1)首先應(yīng)明確運動

6、過程可能出現(xiàn)的3個階段即碰撞前階段、碰撞階段和碰撞后階段。根據(jù)題意，恰當(dāng)選取各階段的研究對象。對于碰撞前階段和撞后階段，應(yīng)按照動力學(xué)的常規(guī)方法處理；而對于碰撞階段，應(yīng)根據(jù)碰撞的特征、假設(shè)和基本定理、恢復(fù)因數(shù)公式等進行特殊的分析和計算。(2)撞前階段。分析撞前階段有關(guān)物體的受力情況和運動精況，按動力學(xué)常規(guī)方法計算物體碰撞開始瞬時的力學(xué)要素(如：物體的角速度，質(zhì)心的速度，碰撞接觸點的速度等)。(3)碰撞階段的力學(xué)分析。(a)首先應(yīng)明確是研究碰撞的哪一個階段：變形階段，恢復(fù)階段，還是碰撞的全過程。(b)對碰撞物體進行受力分析和運動分析。首先要分清平常力和碰撞力，并忽賂碰撞過程中物體的位移和平常力的沖

7、量，還要分清內(nèi)碰撞沖量和外碰撞沖量，只考慮外碰碰撞沖量。(c)把有關(guān)力學(xué)要索(如：碰撞沖量，物體的角速度及其質(zhì)心速度和碰撞接觸處的的速度等)畫在研究對象上，最好能分別畫出碰撞開始和結(jié)束兩瞬時的力學(xué)要素圖。(4)建立碰撞階段的力學(xué)方程。四、重點與難點1重點(1)碰撞現(xiàn)象的特點。(2)恢復(fù)因數(shù)的物理意義和計算。(3)碰撞階段的基本定理及其應(yīng)用。(4)撞擊中心。2難點(1)正確劃分包含碰撞的動力學(xué)問題的不同階段，一般可能出現(xiàn)撞前階段，碰撞階段和撞后階段。(2)剛體平面運動的碰攫方程及其應(yīng)用。典型例題舉例例1：恢復(fù)系數(shù)測定法：質(zhì)量分別為m和mz的小球用等長的繩子掛起來，將其中一球拉過偏角 ，然后無初速

8、度地釋放，它撞擊另一球，使它產(chǎn)生的最大偏角為，設(shè)與已由實驗測出，求恢復(fù)因數(shù)k。 例2：勻質(zhì)細桿AB的質(zhì)量是，對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑是，由水平位置無初速釋放，下落高度后扦上的D點碰在桌子邊緣上，點D到質(zhì)心的距離是，如圖(a)所示,假定是完全塑性碰撞, ，求碰撞結(jié)束瞬時質(zhì)心c的速度，桿的角速度及碰撞沖量。 練習(xí)題1、如圖一所示，用打樁機打入質(zhì)量為50的樁柱，打樁機的質(zhì)量為450，由高度h=處落下，其初始速度為零。如恢復(fù)因數(shù)k=0，經(jīng)過一次錘擊后，樁柱深入1，試求樁柱進入土地時的平均阻力。 圖一 圖二 圖三2、如圖二所示，帶有幾個齒輪的凸輪繞水平的軸轉(zhuǎn)動，并使樁錘運動。設(shè)在凸輪與樁錘碰撞前樁錘是靜止的，凸

9、輪的角速度為。若凸輪對輪的轉(zhuǎn)動慣量為，錘的質(zhì)量為，并且碰撞是非彈性的，碰撞點到軸的距離為，求碰撞后凸輪的角速度、錘的速度和碰撞時凸輪與錘間的碰撞沖量。3、一均質(zhì)桿的質(zhì)量為，長為，其上端固定在圓柱鉸鏈上，如圖三所示。桿由水平位置落下，其初始速度為零。桿在鉛直位置處撞到一質(zhì)量為的重物，使后者沿著粗糙的水平面滑動，動摩擦因數(shù)為，如碰撞是非彈性的，求重物移動的路程。4、球1速度=6/s，方向與靜止球2相切，如圖四所示，兩球半徑相同、質(zhì)量相等，不計摩擦。碰撞的恢復(fù)因數(shù)k=0.6，求碰撞后兩球的速度。/ 圖四 提示5、小球的質(zhì)量0.5，懸線長1.2，自圖五(a)所示水平位置無初速釋放，當(dāng)懸線轉(zhuǎn)到圖五(b)

10、所示鉛直位置時，小球與質(zhì)量=1.5的靜止物塊B發(fā)生彈性碰撞。碰撞結(jié)束后懸線可擺回到與鉛直線成偏角的位置，而物塊B沿水平面向前移動了距離s1.1而停止。試求小球與物塊碰撞的恢復(fù)因數(shù)，以及物塊與水平面間的摩擦因數(shù)。 圖五（a） 圖四（b） 提示6、如圖六所示，在測定碰撞恢復(fù)因數(shù)的儀器中，有一均質(zhì)質(zhì)桿可繞水平軸轉(zhuǎn)動，桿長為，質(zhì)量為。桿上帶有用試驗材料所制的樣塊，質(zhì)量力。桿受重力作用由水平位置落下，其初角速度為零在鉛直位置時與障礙物相碰。如碰撞后桿回到與鉛直線成角處，求恢復(fù)因數(shù)。又問：在碰撞時欲使軸承不受附加壓力，樣塊到轉(zhuǎn)動軸的距離應(yīng)為多大？7、如圖七所示，質(zhì)量為、長為的均質(zhì)桿AB，水平地自由下落一段距離h后與支座D碰撞()。假定碰撞是塑性的，求碰撞后的角速度和碰撞沖量。 圖六 圖七8、圖八所一均質(zhì)圓柱體，質(zhì)量為，半徑為，沿水平面作無滑動的滾動。原來質(zhì)心以等速運動，突然圓柱與一高為(r)的凸臺碰撞。設(shè)碰撞是塑性的，求圓柱體碰撞后質(zhì)心的速度、柱體的角速度和碰撞沖量。 圖八 提示9、均質(zhì)細